👩🏿‍🚒 🤰🏽 ➖ परीक्षा में गणित में असतत गणित 👨‍👦 🎨 🙋

नमस्कार! मेरा नाम अज़ात है, मैं SHAD में परीक्षा की तैयारी के लिए पाठ्यक्रम बनाता हूं। हाल ही में, हमने असतत गणित पर एक पाठ्यक्रम शुरू किया, इसलिए हमारी टीम सक्रिय रूप से प्रासंगिक विषय पर समस्याओं को हल कर रही है। SHAD 2019 में परीक्षा की जांच करने के बाद , हमने परीक्षा से मनोरंजक कार्यों में हैबर उपयोगकर्ताओं की बहुत रुचि देखी। इसलिए, हम असतत गणित में यहां 4 पसंदीदा पोस्ट करते हैं। का आनंद लें!

समस्या 1 (26 मई, 2018, नंबर 5)

यादृच्छिक मूल्य $X$ एक साथ तत्वों 1 और 2 चक्र की लंबाई के बराबर, सेट का एक यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन के साथ $\{1, 2, \ldots, n\}$ । यदि ऐसा कोई चक्र नहीं है, तो $X = 0$ । एक यादृच्छिक चर के वितरण का पता लगाएं $X$ और उसकी गणितीय अपेक्षा।

फेसला

, , . , $X$ — $P(X = k)$ $k$ . — , $k$ , , $n!$

. . (1 2), $k - 2$ $n - 2$ , $C_{n - 2}^{k - 2}$ . , , , $(n - k)!$ . , . , , . $a$ — $a_1 = b$ , $a_b$ , 1 $b$ ( ). , , $(k -1)!$ . :

P (X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n (n - 1)}

$P(X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n(n - 1)}$

, $k = 0$ $k = 1$ . $k = 1$ , , ( $P(X = 1) = 0$ , .. , ). , $k > n$ , $P(X = k) = 0$ ( ). , $P(X = 0)$ :

P (X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{n (n - 1)} = 1 - \frac{1}{n (n - 1)} \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

$P(X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{k - 1}{n(n - 1)} = 1 - \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$X$ , :

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{k - 1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n (n - 1)} (\sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k) =

$E(X) = \sum_{k = 1}^n k \cdot \frac{k - 1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n(n - 1)} \left( \sum_{k = 1}^n k^2 - \sum_{k = 1}^n k \right) =$

= \frac{1}{n (n - 1)} \cdot (\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)) = \frac{n + 1}{3}

$= \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \left( \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) \right) = \frac{n + 1}{3}$

समस्या 2 (4 जून 2016, संख्या 3)

यादृच्छिक चर $X$ तथा $Y$ दो मान लो और $cov(X, Y) = 0$ । साबित करें कि वे स्वतंत्र हैं।

फेसला

, , , .

: 0 1, $P(X = 1) = p$ , $P(Y = 1) = q$ , $P(X = 1, Y = 1) = r$ . , $r = pq$ . , $E(X) = P(X = 0) \cdot 0 + P(X = 1) \cdot 1 = P(X = 1) = p$ , $E(Y) = P(Y = 0) \cdot 0 + P(Y = 1) \cdot 1 = P(Y = 1) = q$ , $E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = r$ . $cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ , $E(XY) = E(X)E(Y)$ $r = pq$ .

, $X$ $Y$ : , ( , : $P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - P(X = 1, Y = 1) = p - r$ , $P(X = 0, Y = 1) = P(Y = 1) - P(X = 1, Y = 1) = q - r$ , $P(X = 0, Y = 0) = 1 - P(X = 1, Y = 1) - P(X = 0, Y = 1) - P(X = 1, Y = 0)$ ). , , .

$P(X = a) = p, \ P(X = b) = 1 - p, \ P(Y = c) = q, \ P(Y = d) = 1 - q$ , $a < b$ $c < d$ . $X' = \dfrac{X - a}{b - a}$ $Y' = \dfrac{Y - c}{d - c}$ . , $X$ $a$ $b$ , $X'$ 0 1 , $Y$ . , $cov(X', Y') = 0$ , .

E (X^{'}) = \frac{E (X) - a}{b - a} E (Y^{'}) = \frac{E (Y) - c}{d - c}

$E(X') = \frac{E(X) - a}{b - a} \ \ \ E(Y') = \frac{E(Y) - c}{d - c}$

E (X^{'} Y^{'}) = E (\frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c}) = \frac{E (X Y) - c E (X) - a E (Y) + a c}{(b - a) (d - c)}

$E(X'Y') = E\left( \frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c} \right) = \frac{E(XY) - cE(X) - aE(Y) + ac}{(b - a)(d - c)}$

c o v (X^{'}, Y^{'}) = E (X^{'} Y^{'}) - E (X^{'}) E (Y^{'}) = \frac{E (X Y) - E (X) E (Y)}{(b - a) (d - c)} = \frac{c o v (X, Y)}{(b - a) (d - c)}

$cov(X', Y') = E(X'Y') - E(X')E(Y') = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{(b - a)(d - c)} = \frac{cov(X, Y)}{(b - a)(d - c)}$

$cov(X, Y) = 0$ , $cov(X', Y') = 0$ , ...

समस्या 3 (26 मई, 2018, नंबर 8)

लेलैंडिया की जादुई भूमि में 100 शहर हैं, जिनमें से कुछ एयरलाइंस द्वारा जुड़े हुए हैं। यह ज्ञात है कि प्रत्येक शहर से 90 से अधिक एयरलाइंस प्रस्थान करती हैं। साबित करें कि एयरलाइनों द्वारा एक दूसरे के साथ जोड़े गए 11 शहरों में हैं।

फेसला

, — , — . , 91 , 8 . , , , .

( , ). , , , , .., . . 1 9 , , $\lfloor \frac{100}{9} \rfloor = 11$ , .

समस्या 4 (जून 3, 2017, नंबर 4)

टाइंडेक्स में, प्रत्येक कर्मचारी के कम से कम 50 परिचित हैं। यह पता चला कि दो कर्मचारी हैं जो केवल 9 हैंडशेक के बाद एक-दूसरे से परिचित हैं (अर्थात, जोड़ीदार परिचित लोगों की सबसे छोटी कनेक्टिंग श्रृंखला में 8 मध्यवर्ती लोग शामिल हैं)। साबित करें कि इस कंपनी में कम से कम 200 कर्मचारी हैं।

फेसला

, 10 . $A_i$ $i$ - , $\forall i \ |A_i| \geq 50$ .

, $A_1, \ A_4, \ A_7, \ A_{10}$ . , . , $|A_1 \cup A_4 \cup A_7 \cup A_{10}| = |A_1| + |A_4| + |A_7| + |A_{10}| \geq 200$ , ...

यदि आपके पास समस्याओं या किसी टिप्पणी को हल करने के लिए अन्य विचार हैं, तो बेझिझक मुझे टेलीग्राम @ Azatik1000 में लिखें। जवाब देने के लिए हमेशा खुश!

अज़ात कलिमकोव, शैड हेल्पर में क्यूरेटर

परीक्षा में गणित में असतत गणित

समस्या 1 (26 मई, 2018, नंबर 5)

समस्या 2 (4 जून 2016, संख्या 3)

समस्या 3 (26 मई, 2018, नंबर 8)

समस्या 4 (जून 3, 2017, नंबर 4)

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