सभी को नमस्कार! दूरस्थ कार्य के लिए संक्रमण के परिणामस्वरूप, मुझे हेक्सापॉड (सड़क पर बचत के कारण प्रति दिन +2 घंटे) विकसित करने के लिए अधिक खाली समय मिला। मैं अंत में वास्तविक समय में गति पथ के निर्माण के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म बनाने में सक्षम था। नए गणित ने केवल दो मापदंडों को बदलकर बुनियादी आंदोलनों को लागू करना संभव बना दिया। यह "ऑटोपायलट" के कार्यान्वयन की दिशा में एक और कदम है। इस लेख में मैं नए गणित के बारे में विस्तार से बात करने की कोशिश करूँगा और यह आम तौर पर कैसे काम करता है। कई चित्र और gif होंगे।

विकास के चरण:

भाग 1 - डिजाइन
भाग 2 - विधानसभा
भाग 3 - कीनेमेटीक्स
भाग 4 - प्रक्षेपवक्र और अनुक्रमों का गणित
भाग 5 - इलेक्ट्रॉनिक्स
भाग 6 - 3 डी प्रिंटिंग में संक्रमण
भाग 7 - नए आवास, अनुप्रयोग सॉफ्टवेयर और संचार प्रोटोकॉल
भाग 8 - आंदोलन के उन्नत गणित

समय पर वापस

इस बिंदु तक, सभी बुनियादी आंदोलनों (आगे, पीछे, रोटेशन) को "वर्तमान स्थिति से पैर को बिंदु (एक्स, वाई, जेड) ले जाने के लिए रैखिक / साइनसोइडल / किसी भी आंदोलन का उपयोग करके" के रूप में सेट किया गया था। यह काफी अच्छी तरह से और मज़बूती से काम करता है, लेकिन आंदोलन को गंभीर रूप से सीमित करता है। उदाहरण के लिए, त्रिज्या R1 के साथ एक चाप के साथ आंदोलन का एहसास करने के लिए, आपको प्रत्येक अंग के लिए आंदोलन की शुरुआत और अंत के निर्देशांक की गणना करने की आवश्यकता है, आवेदन में एक अतिरिक्त बटन जोड़ें ताकि आप इस आंदोलन का चयन कर सकें। तदनुसार, एक अलग त्रिज्या आर 2 के साथ एक चाप के साथ आंदोलन को जोड़ने के लिए, आपको फिर से निर्देशांक की गणना करने और एक और बटन जोड़ने की आवश्यकता है। बेहद असहज।

अब, मूल आंदोलनों के कार्यान्वयन के लिए, एक गणितीय इकाई का उपयोग किया जाता है, जिसे दो मापदंडों के साथ विभिन्न स्थितियों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। नए गणित का मुख्य बोनस आंदोलन के दौरान अपने त्रिज्या में परिवर्तन के साथ एक चाप के साथ आंदोलन के लिए समर्थन था!

एल्गोरिथ्म का आइडिया

सबसे पहले, यह समझाने के लायक है कि यह उंगलियों पर कैसे काम करता है। यदि आप एक सर्कल पर एक निश्चित आकार की खिड़की का चयन करते हैं और इसकी त्रिज्या बढ़ाना शुरू करते हैं तो क्या होगा? यही तो:


क्या सब कुछ सिर्फ सच है? सर्कल के त्रिज्या को बदलकर, हम आंदोलन के विभिन्न प्रक्षेप पथ और कुछ सटीकता के साथ एक सीधी रेखा प्राप्त कर सकते हैं। इस पर रोकना संभव था, लेकिन सब कुछ इतना रसपूर्ण नहीं है। आप इसे केवल त्रिज्या के आधार पर नहीं ले सकते हैं और लागू कर सकते हैं - इसकी बारीकियां हैं।

हेक्सापॉड के अंगों की प्रारंभिक स्थिति क्रमशः विभिन्न हलकों पर हो सकती है, समीकरण के पैरामीटर पहले से अलग होंगे। मेरे मामले में, अंगों की व्यवस्था इस प्रकार है (लगभग):


जिस दूरी पर यात्रा करनी चाहिए उस दूरी का मान उस वृत्त के त्रिज्या पर निर्भर करता है जिस पर वह स्थित है। यह हमें प्रत्येक अंग के लिए प्रक्षेपवक्र की एक व्यक्तिगत गणना पर स्विच करने के लिए मजबूर करता है। इस समस्या को हल करने के लिए, आपको अधिकतम त्रिज्या के साथ एक सर्कल खोजने की आवश्यकता है, चाप के शुरुआती और अंत के कोणों की गणना करें। परिणामी चाप के सापेक्ष अन्य अंगों के लिए आर्क्स हैं। मैंने एल्गोरिथ्म के इस टुकड़े का एक एनीमेशन बनाया:


इस सभी जादू के काम का वर्णन करने के लिए एनीमेशन है (मुझे खुशी है कि हमारे समय में एक्सेल है)। शुरुआत में, हेक्सापॉड को प्रति चक्र (गति के समान) यात्रा करने वाली दूरी का मान बदल जाता है, फिर प्रक्षेपवक्र की वक्रता (स्टीयरिंग व्हील को मोड़ने के समान) के मूल्य में परिवर्तन होता है।


सामान्य तौर पर, यह नए गणित का विचार है, मुझे उम्मीद है कि यह समझाने के लिए सुलभ हो जाएगा। अब आप एल्गोरिथ्म का अधिक विस्तार से विश्लेषण कर सकते हैं और व्यवहार में हाथ से सब कुछ गिनने का प्रयास कर सकते हैं।

गणित

इनपुट पैरामीटर

परिवर्तनीय इनपुट पैरामीटर दूरी (दूरी) और गति पथ की वक्रता (वक्रता) हैं। प्रक्षेपवक्र की वक्रता का मान पर्वतमाला में होना चाहिए [-1.999; -0.001] और [0.001; 1.999], जबकि अधिकतम दूरी का मूल्य हेक्सापॉड की भौतिक विशेषताओं पर निर्भर करता है। मेरे मामले में, प्रति चक्र अधिकतम दूरी 110 मिमी है, बड़े मूल्यों के साथ, अंग एक-दूसरे को पालना शुरू करते हैं। गणना के एक उदाहरण के लिए, हम मान वक्रता = 1.5 और दूरी = 20 लेते हैं।

इसके अलावा, एल्गोरिथ्म को काम करने के लिए, अंगों के प्रारंभिक पदों को जानना आवश्यक है। ये वे बिंदु हैं जहां हेक्सापॉड अपने पैरों पर होने पर अंग स्थित होते हैं। उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित बिंदुओं का उपयोग करेंगे (प्रत्येक अंग की उत्पत्ति COXA अनुलग्नक बिंदु पर स्थित है):


नोट: मैं XZ विमान में काम करता हूं और आप Y समन्वय की उपेक्षा कर सकते हैं। आप चक्र के तीसरे भाग में हेक्सापॉड समन्वय प्रणाली से परिचित हो सकते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

सूत्र और गणना

हम वक्रता और दूरी के मूल्य के आधार पर हेक्सापॉड के आंदोलन के केंद्र के निर्देशांक की गणना करके शुरू करते हैं:

$$

$$R = tg(\frac{(2 - curvature) * \Pi}{4}) * distance$$

$$

$$R = tg(\frac{(2 - 1.5) * \Pi}{4}) * 20 = 8.28$$

नतीजतन, हमें बिंदु मिला [आर; 0] और हेक्सापोड के शरीर का प्रक्षेपवक्र। इसके सापेक्ष, प्रत्येक अंग के लिए प्रक्षेपवक्र की गणना की जाएगी।


अगला, गति के केंद्र के सापेक्ष प्रत्येक अंग के लिए प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या की गणना करना आवश्यक है (बिंदु [आर; 0]) अंग की प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हुए [x0]; z0]। एक अधिक समझने योग्य भाषा बिंदु से खींची गई वेक्टर की लंबाई को खोजने के लिए है [आर; 0] टू द पॉइंट [x0; z0]:

$$

$$R_i = \sqrt{(R - x_{0i})^2 + z_{0i}^2}$$

$$

$$R_0 = \sqrt{(8.28 - (-20))^2 + 20^2} = 34.64$$

$$

$$R_1 = \sqrt{(8.28 - (-35))^2 + 0^2} = 43.28$$

$$

$$R_2 = \sqrt{(8.28 - (-20))^2 + (-20)^2} = 34.64$$

$$

$$R_3 = \sqrt{(8.28 - 20)^2 + (-20)^2} = 23.17$$

$$

$$R_4 = \sqrt{(8.28 - 35)^2 + 0^2} = 26.71$$

$$

$$R_5 = \sqrt{(8.28 - 20)^2 + 20^2} = 23.17$$

स्पष्टता के लिए चित्र। ब्लू वांछित वैक्टर को दर्शाता है।


प्राप्त मूल्यों से हम अधिकतम पाते हैं:

$$

$$R_{max} = maximum(R_{0-5})$$

$$

$$R_{max} = 43.28$$

अगला, आपको प्रत्येक वेक्टर के लिए कोण खोजने की आवश्यकता है जिसे हमने पिछले चरण में आज़माया था।

$$

$$\alpha_{0i} = atan2(z_{0i}; -(R - x_{0i}))$$

$$

$$\alpha_{00} = atan2(20; -(8.28 - (-20))) = 2.52 (144.7°)$$

$$

$$\alpha_{01} = atan2(0; -(8.28 - (-35))) = 3.14 (180°)$$

$$

$$\alpha_{02} = atan2(-20; -(8.28 - (-20))) = -2.52 (-144.7°)$$

$$

$$\alpha_{03} = atan2(-20; -(8.28 - 20)) = -1.04 (-59.6°)$$

$$

$$\alpha_{04} = atan2(0; -(8.28 - 35)) = 0 (0°)$$

$$

$$\alpha_{05} = atan2(20; -(8.28 -20)) = 1.04 (59.6°)$$

अब हम त्रिज्या R_max (प्रक्षेपवक्र की गति के केंद्र से सबसे दूर) के सबसे बड़े वृत्त पर चाप के कोण को पाते हैं, जिसकी लंबाई दूरी मान के बराबर होनी चाहिए। यह कोण अन्य आर्क्स के शुरुआती और अंत कोणों को निर्धारित करता है जिसके साथ अंग हिलेंगे। मुझे लगता है कि नीचे दी गई तस्वीर इसे समझने में मदद करेगी।


कोण की गणना निम्नानुसार की जाती है:

$$

$$arcMax = sign(R) * \frac{distance}{R_{max}}$$

$$

$$arcMax = \frac{20}{43.28} = 0.462 (26°)$$

आगे इस कोण का उपयोग करते हुए, हम अन्य अंगों के लिए आर्क्स के शुरुआती और अंत कोणों की गणना कर सकते हैं। कुछ ऐसा होना चाहिए:


एक छोटा सा विषयांतर। इस एल्गोरिथ्म को लागू करने के लिए, समय की अवधारणा को पेश करना आवश्यक है, जिसका मूल्य सीमा में है [0; 1]। यह भी आवश्यक है कि समय के 0.5 मान के साथ प्रत्येक अंग अपने प्रारंभिक बिंदु पर लौट आए। यह नियम गणना की शुद्धता की जांच है - सभी सर्कल को प्रत्येक अंग के शुरुआती बिंदुओं से गुजरना होगा।

अगला, निम्न सूत्रों का उपयोग करते हुए, आर्क्स के प्राप्त मापदंडों द्वारा अंकों की गणना शुरू होती है:

$$

$$arcAngle_i = (time - 0.5) * \alpha_{0i} + arcMax$$

$$

$$x_i = R + R_i * cos(arcAngle_i)$$

$$

$$z_i = R_i * sin(arcAngle_i)$$

फ़ंक्शन स्रोत कोड

static bool process_advanced_trajectory(float motion_time) {

    // Check curvature value
    float curvature = (float)g_current_trajectory_config.curvature / 1000.0f;
    if (g_current_trajectory_config.curvature == 0)    curvature = +0.001f;
    if (g_current_trajectory_config.curvature > 1999)  curvature = +1.999f;
    if (g_current_trajectory_config.curvature < -1999) curvature = -1.999f;
    
    //
    // Calculate XZ
    //
    float distance = (float)g_current_trajectory_config.distance;

    // Calculation radius of curvature
    float curvature_radius = tanf((2.0f - curvature) * M_PI / 4.0f) * distance;

    // Common calculations
    float trajectory_radius[SUPPORT_LIMBS_COUNT] = {0};
    float start_angle_rad[SUPPORT_LIMBS_COUNT] = {0};
    float max_trajectory_radius = 0;
    for (uint32_t i = 0; i < SUPPORT_LIMBS_COUNT; ++i) {
        
        float x0 = g_motion_config.start_positions[i].x;
        float z0 = g_motion_config.start_positions[i].z;

        // Calculation trajectory radius
        trajectory_radius[i] = sqrtf((curvature_radius - x0) * (curvature_radius - x0) + z0 * z0);

        // Search max trajectory radius
        if (trajectory_radius[i] > max_trajectory_radius) {
            max_trajectory_radius = trajectory_radius[i];
        }

        // Calculation limb start angle
        start_angle_rad[i] = atan2f(z0, -(curvature_radius - x0));
    }
    if (max_trajectory_radius == 0) {
        return false; // Avoid division by zero
    }

    // Calculation max angle of arc
    int32_t curvature_radius_sign = (curvature_radius >= 0) ? 1 : -1;
    float max_arc_angle = curvature_radius_sign * distance / max_trajectory_radius;

    // Calculation points by time
    for (uint32_t i = 0; i < SUPPORT_LIMBS_COUNT; ++i) {
        
        // Inversion motion time if need
        float relative_motion_time = motion_time;
        if (g_motion_config.time_directions[i] == TIME_DIR_REVERSE) {
            relative_motion_time = 1.0f - relative_motion_time;
        }

        // Calculation arc angle for current time
        float arc_angle_rad = (relative_motion_time - 0.5f) * max_arc_angle + start_angle_rad[i];

        // Calculation XZ points by time
        g_limbs_list[i].position.x = curvature_radius + trajectory_radius[i] * cosf(arc_angle_rad);
        g_limbs_list[i].position.z = trajectory_radius[i] * sinf(arc_angle_rad);
        
        // Calculation Y points by time
        if (g_motion_config.trajectories[i] == TRAJECTORY_XZ_ADV_Y_CONST) {
            g_limbs_list[i].position.y = g_motion_config.start_positions[i].y;
        }
        else if (g_motion_config.trajectories[i] == TRAJECTORY_XZ_ADV_Y_SINUS) {
            g_limbs_list[i].position.y = g_motion_config.start_positions[i].y;
            g_limbs_list[i].position.y += LIMB_STEP_HEIGHT * sinf(relative_motion_time * M_PI);  
        }
    }
    
    return true;
}

फिर मैंने वाई समन्वय की गणना (समय से गणना वाई अंक) दिखाने का फैसला किया। गणना चुने गए प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करती है, जो कठोरता से कोड में सेट की जाती है और जमीन पर और हवा में अंग के आंदोलन को महसूस करने के लिए आवश्यक है।

आंदोलन की उल्टी दिशा को लागू करने के लिए एक टुकड़ा भी है (यदि आवश्यकता हो तो उलटा गति समय)। यह आवश्यक है कि जमीन पर तीन अंगों की आवाजाही के दौरान, अन्य तीन अंग हवा के माध्यम से विपरीत दिशा में चलते हैं।

परिणाम