👨🏾‍🏫 👩🏼‍🤝‍👨🏽 💾 एकीकृत छवियों का उपयोग करके ओ (1) के लिए द्रव्यमान के केंद्र की गणना 👌🏼 ❣️ 👚

एक एकीकृत छवि एक एल्गोरिथ्म है जो आपको एक बहुआयामी सरणी के आयताकार सबसेट में संलग्न मूल्यों के योग की कुशलता से गणना करने की अनुमति देता है। उनका बहुत विचार बहुआयामी संभाव्यता वितरण कार्यों के अध्ययन के लिए है, और अब तक उन्होंने उन क्षेत्रों में सफल आवेदन पाया है जो सीधे मुख्य टूलकिट के रूप में संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, पैटर्न मान्यता में।

आज हम एक अलग-अलग क्षेत्र - कम्प्यूटेशनल भौतिकी में एकीकृत छवियों को लागू करने के बारे में एक जिज्ञासु मामले पर विचार करेंगे। अर्थात्, देखते हैं कि क्या होता है अगर हम उनके साथ नाड़ी क्षेत्र के द्रव्यमान के केंद्र की गणना करते हैं, और इस सहानुभूति से क्या लाभ हो सकता है।

इस लेख में मैं बताऊंगा:

यह किस तरह का कार्य है;
एकीकृत छवियों के बारे में और पढ़ें;
N (-);
;
, , .

N

एन निकायों की एक प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण बातचीत के लिए एक कठोर समाधान क्वाड्रमैटिक जटिलता है कि एल्गोरिदम को संदर्भित करता है: सिस्टम के अन्य सभी निकायों का प्रत्येक शरीर पर गुरुत्वाकर्षण प्रभाव पड़ता है ^[1] । नतीजतन, गुरुत्वीय इंटरेक्शन जरूरत के बल एन से प्रत्येक के लिए गणना करने के लिए ² /2 जोड़ी।

यह बताने के लिए कि एक सख्त समाधान कितना समय लेने वाला है, आप आधुनिक कंप्यूटर के प्रदर्शन के साथ एक वास्तविक प्रणाली की गणना करने की जटिलता को सहसंबद्ध करने का प्रयास कर सकते हैं।

तीन-आयामी अंतरिक्ष में दो निकायों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करने के लिए, आपको एक फ्लोटिंग पॉइंट (FLOP) के साथ 20 ऑपरेशन करने होंगे। सौर मंडल में, 200 किलोमीटर (सूर्य, 9 ग्रह, बौने ग्रह और उपग्रह सहित) से लगभग 100 पिंड बड़े हैं ^[2]। पृथ्वी की कक्षा में क्षुद्रग्रहों की अनुमानित संख्या लगभग 20 हजार है ^[3] । क्षुद्रग्रह बेल्ट में, 1 किमी ^[4] से बड़े 1.1 से 1.9 मिलियन शरीर हैं और बृहस्पति के "ट्रोजन" ^[5] और "ग्रीक" समूहों में लगभग एक मिलियन समान हैं । क्विपर बेल्ट में, 20 किमी ^[6] से बड़ी लगभग 100 मिलियन वस्तुएं और लगभग 2 ट्रिलियन से अधिक ऊर्ट बादल ^{[7] में हैं} ।

अंतिम गुरुत्वाकर्षण समस्या को सख्ती से हल करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल शक्ति मानव मस्तिष्क के काम को तंत्रिका स्तर (2.5 × 10 ²⁶ ) ^{[8] में} अनुकरण करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल शक्ति से छोटी परिमाण का एक आदेश है।। यही कारण है कि इसका कठोर समाधान आमतौर पर लगभग एक के द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

गुरुत्वाकर्षण समस्या के अनुमानित समाधान के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले एल्गोरिदम में से एक - ट्री कोड - में एक क्वैसिलिनियर समय जटिलता हे (एन * लॉगएन) ^{[9] है} । ट्री कोड एक स्थानिक वृक्ष का निर्माण करता है और इस वृक्ष में प्रत्येक नोड के लिए सभी पिंडों के द्रव्यमान का कुल द्रव्यमान और केंद्र की गणना करता है जो इसमें आते हैं। भविष्य में, प्रत्येक शरीर पर काम करने वाले गुरुत्वाकर्षण बलों की गणना करते समय, ट्री कोड अन्य निकायों के प्रत्यक्ष प्रभाव को ध्यान में नहीं रख सकता है, लेकिन पेड़ के नोड्स का प्रभाव, और दूरी के आधार पर, यह कभी-कभी बड़े नोड्स का चयन करता है जिसमें निकायों के कई सबसे बड़े उपसमूह के पैरामीटर होते हैं।

विकिपीडिया से चित्रण। केंद्र में शरीर पर हरे आयतों द्वारा इंगित नोड्स का द्रव्यमान होता है। केवल निकटतम निकायों के द्रव्यमान को सीधे ध्यान में रखा जाता है।

गति क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण की समस्या

गति क्षेत्र एक असतत वेक्टर फ़ील्ड mv (p) है , जो विचाराधीन अंतरिक्ष p के प्रत्येक बिंदु के साथ द्रव्यमान-वेग जोड़ी को जोड़ता है। पल्स फ़ील्ड को किसी भी आयाम के स्थान के लिए सेट किया जा सकता है। द्रव्यमान-वेग की जोड़ी गति को दर्शाती है और आयाम R + 1 के एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करती है , जहां R उस स्थान का आयाम है जिसके लिए नाड़ी क्षेत्र दिया गया है। उदाहरण के लिए, R = 2 के लिए यह वेक्टर { v _x , v _y , m } हो सकता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस प्रणाली के विवरण का गणितीय रूप से पारंपरिक संस्करण एक वेक्टर वेग क्षेत्र और एक स्केल द्रव्यमान क्षेत्र का संयोजन है। इस मामले में, हम खुद को एक वेक्टर में गति और द्रव्यमान को संयोजित करने की स्वतंत्रता देते हैं, क्योंकि हम गणितीय होने का नाटक नहीं करते हैं।

दालों के वेक्टर क्षेत्र का एक छोटा सा हिस्सा: जनता को रंगों से, तीर द्वारा दिशाओं से संकेत मिलता है। दालों का

वेक्टर क्षेत्र 729 × 729 तत्वों के आकार के साथ। बाईं ओर जनता हैं। दाईं ओर आवेग हैं। इस चित्रण में दालों को एचएसवी प्रारूप में रंग-कोडित किया गया है (ह्यू पल्स दिशा है, और मान रैखिक रूप से अपने पूर्ण मूल्य के क्रम को प्रदर्शित करता है ताकि कम से कम अंतर करने योग्य (मान = 0.05) दालें 10 ^-7 के क्रम के हों , और सबसे चमकदार दालों (मान = 1) , 0) 10 ³ और उच्चतर के क्रम के हैं )।

इसके समान - ग्रिड - भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने के लिए तरीकों का व्यापक रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किया जाता है ताकि गैस बादलों के विकास, सितारों और आकाशगंगाओं का निर्माण हो सके। इनमें एसएएमआर विधि ^[10] या हाइड्रोडायनामिक्स ^[11] का ग्रिड मॉडल शामिल है ।

एन निकायों के गुरुत्वाकर्षण समस्या के मामले में, एक असतत क्षेत्र के विकास को अपने सभी असतत तत्वों पर इस क्षेत्र को बनाने वाले सभी द्रव्यमानों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव को ध्यान में रखना चाहिए। यह ध्यान में रखना आवश्यक है कि समस्या की जटिलता अप्रत्यक्ष रूप से अंतरिक्ष के आयाम पर निर्भर करती है R : उदाहरण के लिए, एक विमान पर एक क्षेत्र के लिए जिसमें 1000 × 1000 तत्व होते हैं, कुल संख्या N 10 ⁶ होगीतत्वों, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक ही आकार के एक क्षेत्र में पहले से ही 10 ⁹ तत्व शामिल होंगे ।

फिर भी, कई चालें हैं जो गति क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण समस्या को हल करना संभव बनाती हैं। मल्टीग्रिड विधि विभिन्न आकारों के कई ग्रिडों का समर्थन करते हुए पदानुक्रमित विवेकाधिकार का उपयोग करती है ^[12] । मल्टीपोल विस्तार एक वस्तु ^{[13] के} रूप में एक दूसरे के करीब स्थित स्रोतों के समूहों का व्यवहार करता है । मल्टीग्रिड में quasilinear कम्प्यूटेशनल जटिलता और लॉगरिदमिक मेमोरी जटिलता है। मल्टीपोल एक्सपेंशन विकल्पों में से एक - FMM - कम कम्प्यूटेशनल सटीकता ^{[14] के} बदले में रैखिक कम्प्यूटेशनल जटिलता दर्शाता है ।

नीचे हम एक और विधि पर विचार करते हैं जो हमें क्वैसिलिनियर समय में दालों के असतत क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण समस्या को हल करने की अनुमति देता है और स्मृति में रैखिक जटिलता है।

एकीकृत छवि

अभिन्न छवि एक स्थिर आयताकार क्षेत्र ^[15] में मूल छवि के तत्वों के निरंतर समय की गणना करने की अनुमति देती है । कंप्यूटर ग्राफिक्स में, एकीकृत छवियों को मूल रूप से माइपमैपिंग और अनिसोट्रोपिक फ़िल्टरिंग ^{[16] के} विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया गया था । इसके अलावा, वे डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग और पैटर्न मान्यता तकनीकों के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किए जाते हैं।

एक एकीकृत छवि कम्प्यूटेशनल जटिलता और स्मृति जटिलता के बीच व्यापार-बंद के सबसे स्पष्ट उदाहरणों में से एक है। छवि तत्वों के योग की गणना के लिए एक "भोले" एल्गोरिथ्म में ओ (एम * एन) की एक समय जटिलता और ओ (1) की एक स्मृति जटिलता है। एकीकृत छवि आपको O (1) समय में समान गणना करने की अनुमति देती है और O (M * N) मेमोरी जटिलता है।

किसी दिए गए क्षेत्र में तत्वों की राशि की गणना करने के लिए एक एकीकृत छवि का उपयोग करना

। अभिन्न छवि की गणना के लिए एल्गोरिथ्म रेखीय कम्प्यूटेशनल जटिलता की विशेषता है और जीपीजीपीयू ^{[17] के} तहत आसानी से समानांतर किया जाता है । इसे दो-पास गॉसियन फ़िल्टर ^{[18] की} तरह लागू किया जाता है : पहली पास में, पंक्तियों के लिए आंशिक रकम पर विचार किया जाता है, दूसरे में, ये आंशिक रकम कॉलम में जमा होती हैं।

दो पासों में एकीकृत छवि की गणना। बाईं ओर मूल छवि है। केंद्र में लाइनों के लिए आंशिक मात्रा में हैं। दाईं ओर अंतिम एकीकृत छवि है।

बाईं ओर तत्वों के द्रव्यमान वाली एक छवि है। दाईं ओर इसकी अभिन्न छवि है। बाईं और दाईं ओर की छवियां अलग-अलग लॉगरिदमिक पैमानों का उपयोग करती हैं।

एक एकीकृत छवि का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण समस्या का एक अनुमानित समाधान

इसके निपटान में आम जनता की एक अभिन्न छवि होने के कारण, ट्री कोड की विशेषता और इसके लिए मल्टीपोल एक्सप्लोरेशन को अनुकूलित करना मुश्किल नहीं है। अतः असतत क्षेत्र के प्रत्येक तत्व के लिए:

हम सीधे केवल आठ पड़ोसी तत्वों के द्रव्यमान के प्रभाव को ध्यान में रखते हैं;
हम एक एकीकृत छवि का उपयोग करके उनके द्रव्यमान के योग की गणना करके, आठ तत्वों (3 × 3) से मिलकर आठ पड़ोसी क्षेत्रों के प्रभाव को ध्यान में रखते हैं;
प्रत्येक बाद के चरण में, हम इस क्षेत्र का आकार 3 गुना (9 × 9, 27 × 27, 81 × 81, आदि) तक बढ़ाते हैं जब तक कि यह पूरे वेक्टर क्षेत्र के आकार से अधिक न हो जाए।

जनता

की एक अभिन्न छवि का उपयोग करके दालों के एक वेक्टर क्षेत्र के एक तत्व पर काम करने वाली ताकतों की एक अनुमानित गणना। अभिन्न छवि का उपयोग करके दालों के एक क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण समस्या के अनुमानित समाधान की जटिलता quilinilinly बढ़ती है, जैसे O (N * 8 * log3 (sqrt (N))) R = 2 के लिए। और जैसे R = 3. के लिए O (N * 26 * log3 (cbrt (N)))

हालांकि, इस रूप में, इस समाधान में मल्टीग्रिड तकनीक के समान दोष है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण फ़ंक्शन के कम आवृत्ति वाले घटकों की ठोस असततता "कठोरता"। इस समस्या को प्रदर्शित करने का सबसे आसान तरीका स्पष्ट रूप से है।

इस चित्रण में बलों को एचएसवी प्रारूप में रंग कोडित किया गया है (ह्यू बल की दिशा है, मान रैखिक रूप से अपने पूर्ण मूल्य के क्रम को प्रदर्शित करता है ताकि कम से कम भेद करने योग्य (मान = 0.05) बल 10 ^-7 के क्रम के हों , और प्रतिभाशाली बल (मान = 1) 0) 10 ³ और उच्चतर के क्रम के हैं )।

ऊपर चित्रण में, गुरुत्वाकर्षण समारोह के कम आवृत्ति घटकों के "कठोरता" का प्रभाव नग्न आंखों पर ध्यान देने योग्य है। लेकिन अगर "मल्टीग्रिड" में यह "कठोरता" नमूना आवृत्ति में कमी के कारण होता है, तो एकीकृत छवि में यह जनता के स्थानिक वितरण की प्रकृति के बारे में जानकारी की कमी के कारण होता है। तथ्य यह है कि एक एल्गोरिथ्म जो एक एकीकृत छवि का उपयोग करके बलों का अनुमान लगाता है वह मानता है कि द्रव्यमान का केंद्र क्षेत्र के केंद्र के साथ मेल खाता है।

चित्रण का केंद्र बड़े पैमाने पर शेष क्षेत्र में समान रूप से एक समान द्रव्यमान वितरण के साथ बड़े पैमाने पर चरम को दर्शाता है। द्रव्यमान का चरम

चार आयताकार क्षेत्रों में से प्रत्येक में पड़ता है। जाहिर है, प्रत्येक क्षेत्र के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति लगभग सफेद रंग से संकेतित तत्व के साथ मेल खाना चाहिए, जिसमें से बड़े पैमाने पर पीले रंग से संकेतित क्षेत्र के अधिकांश तत्वों की तुलना में अधिक परिमाण के तीन आदेश हैं। हालांकि, इन क्षेत्रों के लिए गुरुत्वाकर्षण समारोह के कम आवृत्ति घटकों की गणना में, यह माना जाता है कि उनके केंद्र बड़े पैमाने पर हलकों द्वारा इंगित क्षेत्रों के केंद्रों के साथ मेल खाते हैं।

एकीकृत छवि में अतिरिक्त जानकारी को पेश करके इस समस्या को हल किया जा सकता है, जिससे किसी दिए गए क्षेत्र में न केवल जनता की राशि की गणना करना संभव होगा, बल्कि द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक भी होंगे।

सबसे पहले, आइए एक छवि की कल्पना करने की कोशिश करें, जिसमें से प्रत्येक तत्व का अपना निर्देशांक होता है। इसी अभिन्न छवि में निर्देशांक का योग होगा। इसलिए, इस क्षेत्र में तत्वों की कुल संख्या से विभाजित इस एकीकृत छवि का एक मनमाना क्षेत्र का योग, इस क्षेत्र के केंद्र के निर्देशांक के बराबर होगा।

निर्देशांक की अभिन्न छवि

निर्देशांक 3 के साथ निचले बाएँ कोने में उदाहरण के लिए ले चलो; 1} और ऊपरी दिशा में निर्देशांक {7 के साथ; 5}। इस क्षेत्र के निर्देशांक का योग {१६ of; 120} - {18; 45} - {28; 0} + {3; 0} {125 है; 75}, तत्वों की कुल संख्या 25 है, इसलिए, इसके केंद्र के निर्देशांक {5 होंगे; 3}।

जो कुछ किया जाना बाकी है वह इस विशेष मामले को सामान्य बनाने के लिए है जिसमें हम मानते हैं कि छवि के सभी तत्वों में एकता के बराबर वजन गुणांक है। विभिन्न भारों को ध्यान में रखते हुए, हम उनके द्वारा तत्वों के निर्देशांक को गुणा करेंगे। और हम क्षेत्र के केंद्र के भारित निर्देशांक प्राप्त करेंगे, यदि हम भारित कारकों के योग से भारित निर्देशांक की राशि को विभाजित करते हैं।

भारित निर्देशांक की एकीकृत छवि। बड़ा फ़ॉन्ट वजन को इंगित करता है

निर्देशांक 2 के साथ निचले बाएं कोने में क्षेत्र पर विचार करें; 1} और ऊपरी दिशा में निर्देशांक के साथ {5; 4}। इस क्षेत्र के भारांक गुणांक 4.8 - 1.0 - 0.6 + 0.2 का योग 3.4 है, और इसके भारित निर्देशांक का योग {11.1; 13.2} - {0.5; 2.0} - {1.5; 0,0} + {0,1; 0,0} {9,2 के बराबर है; 11.2}। इस प्रकार, इस क्षेत्र के केंद्र के भारित निर्देशांक {2.7 हैं; 3.3}।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह सर्किट वास्तव में काम करता है, आप नेत्रहीन - दूरी परिवर्तन ^[19] का उपयोग करके एक दूर के क्षेत्र में भारित निर्देशांक के साथ एकीकृत छवि को परिवर्तित करके कर सकते हैं ।

एक समन्वित छवि को भारित निर्देशांक के साथ दूरी क्षेत्र में परिवर्तित करना। बाईं ओर आम जनता की छवि है। निम्नलिखित छवि 3 × 3 तत्वों के क्षेत्र के लिए द्रव्यमान के केंद्र की दूरी है। अगला 9 × 9 और 27 × 27 तत्वों के आकार वाले क्षेत्रों के लिए बड़े पैमाने पर केंद्रों की दूरी है। इस चित्रण में दूरी के मूल्यों को नमूने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र के आकार के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

एक एकीकृत दूरी क्षेत्र के लिए भारित निर्देशांक के साथ एक एकीकृत छवि को परिवर्तित करता है। एचएसवी प्रारूप में दिशा और दूरी को कोडित किया जाता है, जहां ह्यू दिशा है, मान सामान्यीकृत दूरी है। इस चित्रण में दूरी के मूल्यों को नमूने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र के आकार के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

उपरोक्त सभी का सारांश:

, , ( , R = 3) ― , , .
.
O(1).
O(M*N).

. ― . ― .

एकीकृत छवियों की प्रमुख विशेषताओं में से एक पर ध्यान देने का समय, जो अभी भी उनके आवेदन के दायरे को सीमित करता है, अर्थात्, संसाधन खपत और संख्यात्मक स्थिरता। इसलिए, मूल छवि में मौजूद मानों की सीमा के आधार पर, इसकी अभिन्न छवि के लिए एक लंबा डेटा प्रकार आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, मानक विचलन की गणना करते समय, मूल छवि (मान सीमा 0..255) के अलावा, संबंधित मानों के वर्गों वाले मान (मान सीमा 0..65535) का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, 32 बिट्स ^[20] की बड़े पैमाने पर एकीकृत छवियों की गणना के लिए सटीकता पर्याप्त नहीं है ।

एक समान स्थिति भारित निर्देशांक के साथ एकीकृत छवियों के मामले में देखी जाती है। अपने आप से, समन्वित के योग का मान जो कि एकीकृत छवि में संग्रहीत होना चाहिए, छवि के आकार N के आधार पर बढ़ता है: चतुष्कोणीय रूप से एक-आयामी मामले के लिए 0 + 1 + 2 + ... + N - 1 = (N - 1) * N / 2 और मूल रूप से आदि। दो आयामी एन * (एन - 1) * एन / 2। उदाहरण के लिए, 2048 × 2048 आकार (4292870144 के बराबर), एक 32-बिट अहस्ताक्षरित पूर्णांक (जिसका अधिकतम मूल्य 4294967295 है) की छवि के लिए समन्वित एक पूर्णांक के योग को संग्रहीत करने के लिए मुश्किल से पर्याप्त है। बड़ी एकीकृत छवियों की गणना करते समय, अतिप्रवाह होता है।

एकीकृत छवियों में 32-बिट चल बिन्दु संख्या के उपयोग (एक खगोलीय दूरी के अनुसार अतिप्रवाह की समस्या 10 विलंब ³⁸ 10 - ¹⁰), लेकिन एक ही समय में, भारांक निर्देशांक के साथ गणना की सटीकता, संक्षेपण ^{[21] के} दौरान जमा हुई ट्रंकेशन त्रुटि के कारण काफी कम हो जाती है ।

4 × 4 तत्वों के आकार वाले क्षेत्र के द्रव्यमान के भारित केंद्र की गणना में त्रुटि का पूर्ण मूल्य। एकीकृत छवि में एकल परिशुद्धता संख्या (32 बिट्स) होती हैं।

32 × 32 तत्वों के आकार वाले क्षेत्र के द्रव्यमान के भारित केंद्र की गणना में त्रुटि का पूर्ण मूल्य। एकीकृत छवि में एकल परिशुद्धता संख्या (32 बिट्स) होती हैं।

छोटे क्षेत्रों के लिए द्रव्यमान के भारित केंद्र की गणना से सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य प्राप्त किया जाता है। परिमाण के दो आदेशों द्वारा क्षेत्र के आकार में वृद्धि से परिमाण के चार आदेशों द्वारा गणना की पूर्ण त्रुटि की भयावहता में कमी आती है। इस मामले में, भारांक गुणांक (जो तत्वों के भारित निर्देशांक की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है) के मूल्यों की सीमा पर गणना की त्रुटि की कोई निर्भरता नहीं पाई गई।

भार की सीमा में वृद्धि द्रव्यमान के भारित केंद्र की गणना में त्रुटि के निरपेक्ष मूल्य को प्रभावित नहीं करती है। ग्राफ "सबसे खराब" क्षेत्र (एकीकृत छवि के ऊपरी दाएं कोने में) के लिए त्रुटियों को दर्शाता है। एकीकृत छवि का आकार 256 × 256 तत्व है।

द्रव्यमान के भारित केंद्र की गणना में त्रुटि का पूर्ण मूल्य क्षेत्र के बढ़ते आकार के साथ घटता है। ग्राफ "सबसे खराब" क्षेत्र (एकीकृत छवि के ऊपरी दाएं कोने में) के लिए त्रुटियों को दर्शाता है।

ऊपर वर्णित विश्लेषण के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एकीकृत छवियों का उपयोग करके द्रव्यमान के भारित केंद्रों की गणना के लिए एकल-सटीक संख्याओं का उपयोग केवल 512 × 512 के आकार के तत्वों की छवियों के लिए व्यावहारिक समझ में आता है। आकार में और वृद्धि के साथ, त्रुटि का परिमाण छवि तत्व के आकार के साथ तुलनीय हो जाता है। और यद्यपि यह त्रुटि क्षेत्र के बढ़ते आकार के साथ कम हो जाती है, यह एक छोटे आकार के क्षेत्र हैं जिनका अंतिम परिणाम पर सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है - गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण - इसलिए, केवल संबंधित त्रुटियों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

बड़ी छवियों के लिए, आप दोहरे-सटीक भारित निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं या विवेकाधिकार का एक और स्तर जोड़ सकते हैं: मूल छवि को कई भागों में विभाजित करें और इनमें से प्रत्येक भाग के लिए अलग-अलग अभिन्न चित्र पढ़ें। कम्प्यूटेशनल जटिलता के दृष्टिकोण से, यदि एक क्षेत्र के तत्वों की राशि की गणना करने के लिए एक से अधिक अभिन्न छवि का उपयोग किया जाता है, लेकिन यह "एक से अधिक" एक स्थिर है, योग गणना एल्गोरिदम की जटिलता नहीं बदलती है।

निष्कर्ष

एक एकीकृत छवि के उपयोग के उपरोक्त उदाहरण को संभवतः महत्व (महत्व नमूना) के नमूने के लिए एक इष्टतम एल्गोरिथ्म ओ (1) विकसित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। जीपीयू के दृष्टिकोण से मौजूदा - और अत्यंत संसाधन-गहन - एल्गोरिदम में रैखिक जटिलता ओ (एन) है और आधुनिक प्रकाश व्यवस्था के आधुनिक तरीकों में आवेदन पाते हैं ^{[22, 23]} ।

सामान्य तौर पर, मेरी राय में, एकीकृत छवियां सबसे अधिक अंडररेटेड एल्गोरिदम में से एक हैं। वे माइपमैपिंग और अनिसोट्रोपिक फ़िल्टरिंग दोनों का एक उत्कृष्ट विकल्प हो सकते हैं, और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि बाद को GPU ^{[24, 25]} पर कैसे लागू किया जाता है, यह काफी संभव है कि वे पहले से ही एक अधिक प्रभावी उपाय हों।

संदर्भ

सूची देखें

एकीकृत छवियों का उपयोग करके ओ (1) के लिए द्रव्यमान के केंद्र की गणना

N

गति क्षेत्र के लिए गुरुत्वाकर्षण की समस्या

एकीकृत छवि

एक एकीकृत छवि का उपयोग करके गुरुत्वाकर्षण समस्या का एक अनुमानित समाधान

निष्कर्ष

संदर्भ

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