फजी गणित। रिश्ते और भेड़िया पूंछ

विभिन्न प्रणालियों के संचालन के मापदंडों और सिद्धांतों को विभिन्न प्रकार के संबंधों के साथ आपस में एक चयनित विशेषता द्वारा जोड़ा जा सकता है। यदि, हम कहते हैं, हम इसकी मांग पर किसी सेवा की कीमत के प्रभाव में रुचि रखते हैं, तो इस संबंध को "प्रभाव", "दृढ़ता से प्रभावित", "कमजोर रूप से प्रभावित", आदि प्रकार के संबंधों से वर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, वर्णन के लिए काफी "असतत" वस्तुएं पर्याप्त नहीं हो सकती हैं। ऑटोमेटा के सिद्धांत, पैटर्न की मान्यता, निर्णय लेने आदि की कई लागू समस्याओं के लिए। यह एक फजी मामले में वस्तुओं के बीच संबंध की अवधारणा को सामान्य बनाने के लिए समझ में आता है। इसके अलावा, मॉडल, संभवतः, अधिक पर्याप्त रूप से सिस्टम का वर्णन करेगा, नए प्रकार के रिश्तों के उद्भव के संबंध में थ्रेसहोल्ड जानकारी के नुकसान के बिना सिस्टम का गुणात्मक विश्लेषण करने की अनुमति देता है: समानता, समानता, असमानता, ...

फ़ज़ी रिश्तों की अवधारणा (संबंध, संबंध, संबंध, संबंध समानार्थी हैं), फ़ज़ी सेट की अवधारणा के साथ, फ़ज़ी सेट के पूरे सिद्धांत की मूलभूत नींव को संदर्भित करता है। इस तथ्य के अलावा कि उन्होंने स्वयं मूल्य लागू किया है, उनके आधार पर कई अतिरिक्त अवधारणाएं निर्धारित की जाती हैं जो कि अधिक जटिल प्रणालियों के फजी मॉडल बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं।

फजी संबंध

(माफ़ करना)

परिभाषा

जैसा कि फ़ज़ी सेट्स (HMs) के मामले में , फ़ज़ी रिलेशनशिप उस सामान्य रिश्ते की अवधारणा को सामान्य बनाते हैं जिससे हम (भोले) सेट सिद्धांत में परिचित होते हैं। और संबंधों के लिए नीचे प्रस्तुत कई अवधारणाएं एनएम के लिए संबंधित अवधारणाओं के समान होंगी।

हम फजी रिश्ते की अवधारणाओं को पेश करते हैं और इसके गुणों पर विचार करते हैं।

फजी 2-एरी (बाइनरी) अनुपात $$$R$सार्वभौमिक सेट पर $$$U = U_1 \times U_2$$$$U_1 \times U_2$, $$$\mu_R(x, y) : U_1 \times U_2 \mapsto [0, 1], x \in U_1, y \in U_2$. :

$$

$$R = \bigcup_{(x, y) \in U_1 \times U_2} \mu_R(x, y) / (x, y)$$

n- $$$R$n- .

, $$$[0, 1]$- ( , ..). $$$[0, 1]$. $$$\mu_R(x, y)$$$$(x, y)$$$$xRy \Leftrightarrow (x, y) \in R$. , n- .

.

• ;
• $$$(x_i, y_j)$$$$\mu_R(x_i, y_j)$;
• $$$||\mu_R(x_i, y_j)||$;
• $$$\widetilde{G} = (\widetilde{U}, \widetilde{V})$, $$$\widetilde{U} = \left\{ u_n \right\}, n \in \mathbb{N}$— , $$$\widetilde{V} = \left\{ \rangle \mu_{\widetilde{R}}(u_i, u_j) / (u_i, u_j) \langle, \mu_{\widetilde{R}}(u_i, u_j) > 0 \right\}$— . ( , . , , , xD)

.

$$$R, S$— $$$U_1 \times U_2, x \in U_1, y \in U_2$

$$$R$$$$U$$$$U_1 \times U_2$:

$$

$$supp(R) = \left\{ (x, y): \mu_R(x, y) > 0, (x, y) \in U_1 \times U_2 \right\}$$

$$$R$$$$S$,

$$

$$\forall (x, y) \Rightarrow \mu_R(x, y) \leq \mu_S(x, y)$$

( ) :

$$

$$\mu_R^{(1)}(x, y) = max_y(\mu_R(x, y))$$

:

$$

$$\mu_R^{(2)}(x, y) = max_x(\mu_R(x, y))$$

$$$h(R)$:

$$

$$h(R) = max_x(max_y(\mu_R(x, y))) = max_y(max_x(\mu_R(x, y)))$$

, $$$h(R) = 1$, — .

$$$R$$$$\bar{R}$, :

$$

$$\mu_{\bar{R}}(x, y) = 1 - \mu_R(x, y)$$

, $$$R$$$$R_{} | \mu_{R_}(x, y) = \begin{cases}0, & \mu_R(x, y) < 0.5 \\ 1, & \mu_R(x, y) > 0.5 \\ 0 1, & \mu_R(x, y) = 0.5 \end{cases}.$, 0.5 0.

$$$R$$$$R^{-1}$, $$$\mu_{R^{-1}}(x, y) = \mu_R(y, x).$$$$R^{-1}$$$$R$.

:

$$

$$\mu_{R \cup S}(x, y) = max(\mu_R(x, y), \mu_S(x, y));\\ \mu_{R \cap S}(x, y) = min(\mu_R(x, y), \mu_S(x, y))$$

। सभी फज़ी संबंधों का सेट संघ और चौराहे के संचालन के संबंध में एक वितरण जाली बनाता है; और जाली के लिए आलस्य, सामंजस्य, सहानुभूति, अवशोषण और वितरण की पहचान की पूर्ति से$$$L = [0; 1]$ सभी संबंधों के लिए इन पहचानों की पूर्ति इस प्रकार है।

साधारण सेट के सिद्धांत के आधार पर तर्क में, "संख्या x और y बहुत करीब या / और बहुत अलग हैं" जैसे कथन को "संख्या x और y बहुत करीब या बहुत अलग हैं" को कम किया जाना चाहिए। हालांकि, फ़ज़ी सेट के सिद्धांत में, पहला कथन काफी तार्किक है; यह इस तथ्य को व्यक्त करता है कि संयोजकता "और" सदस्यता फ़ंक्शन के बहुत छोटे मूल्यों के लिए व्याख्या की जाती है, जब x और y के बारे में यह कहना असंभव है कि वे बहुत करीब हैं या कि वे एक दूसरे से बहुत अलग हैं। यह उदाहरण वास्तविक तर्क में निहित उक्तियों के लचीलेपन को अच्छी तरह से दर्शाता है।

: $$$\mu_{R \cdot S}(x, y) = \mu_R(x, y) \cdot \mu_S(x, y)$; : $$$\mu_{R + S}(x, y) = \mu_R(x, y) + \mu_S(x, y) - \mu_R(x, y) \cdot \mu_S(x, y)$.

, . $$$\alpha$- . , . - $$$R_{\alpha} = \left\{ (x, y): \mu_R(x, y) \geq \alpha \right\}$. , $$$\alpha_1 \geq \alpha_2 \Rightarrow R_{\alpha_1} \subset R_{\alpha_2}$.

( ) . $$$R$$$$R = max_{\alpha}(\alpha \times R_{\alpha})$.

. , . (Max-*)-. , 3 .

1. max-min ( ): $$$RS : \mu_{RS}(x, z) = max_{y \in U}(min(\mu_R(x, y), \mu_S(y, z)))$. .
2. min-max ( ): $$$R \circ S : \mu_{R \circ S}(x, z) = min_{y \in U}(max(\mu_R(x, y), \mu_S(y, z)))$.
3. max-• ( ): $$$R * S : sup_{y \in U}(\mu_R(x, y) \cdot \mu_S(y, z))$.

. :

:$$$\mu_R(x, x) = 1, \forall (x, x) \in U$;

: $$$\mu_R(x, y) \leq \mu_R(x, x)$;

: $$$\mu_R(x, x) = 1, \mu_R(x, y) < 1$;

flexx: $$$\mu_R(x, x) = 0, \forall (x, x) \in U$;

: $$$\mu_R(x, y) = \mu_R(y, x)$;

: $$$\mu_R(x, y) \neq \mu_R(y, x) \vee_{()} \mu_R(x, y) = \mu_R(y, x) = 0$;

: $$$x \neq y, \mu_R(x, y) > 0 \Rightarrow \mu_R(y, x) = 0$;

: $$$\mu_R(x, z) \geq max_y(min(\mu_R(x, y), \mu_R(y, z)))$.

… . .

2 NPC-, $$$K_1$$$$K_2$. , . NPC :

$$$K_1:$, , .

$$$K_2:$, , — .

, , :

« » $$$= A = (0.8/3; 0.4/15; 0.3/30).$

« » $$$= B = (0.1/0.9; 0.5/0.5; 0.8/0.1).$

« » $$$= C = (0.8/0.9; 0.5/0.5; 0.3/0.2).$

. : NPC ?

, :

def very(arr: List[set]):
    return [(elem[0]**2, elem[1]) for elem in arr]


def no(arr: List[set]):
    return [(1 - elem[0], elem[1]) for elem in arr]


def attitude(a: List[set], b: List[set], func = lambda x, y: min(x, y)):
    return [[func(i[0], j[0]) for j in b] for i in a]


def attitude_unite(a: List[List], b: List[List]):
    return [[max(a[i][j], b[i][j]) for j in range(len(a[i]))] for i in range(len(a))]


def composition(a: List[List], b: List[List]):
    result = [[0 for j in range(len(b[0]))] for i in range(len(a))]

    for x in range(len(a)):
        for z in range(len(b[0])):
            maximum = min(a[x][0], b[0][z])

            for y in range(0, len(a[0])):
                if maximum < min(a[x][y], b[y][z]):
                    maximum = min(a[x][y], b[y][z])
            
            result[x][z] = maximum

    return result


def index_plus(a: List[List]):
    maximum = max([elem[1] for elem in a])
    result = 0
    for i in range(len(a)):
        result += a[i][0] * (a[i][1] + maximum) / 2

    return result


def ranking_index(a: List[List], b: List[List]):
    return index_plus(a) - index_plus(b)

, — -. , , , index_plus ranking_index. . ( ; , ) :

$$

$$H(A, B) = H_+(A) - H_+(B), \\ \ H_+(X) = \int_{0}^{1}M(X_0)dX, \\ M(X_0) = \frac{(inf_{x \in X_0}(x) + sup_{x \in X_0}(x)) }{2}.$$

$$$A$$$$B$— . . :

A = [(0.8, 3), (0.4, 15), (0.3, 30)]
B = [(0.1, 0.9), (0.5, 0.5), (0.8, 0.1)]
C = [(0.8, 0.9), (0.5, 0.5), (0.3, 0.2)]

$$$x$— « ». $$$" \ \ " = \overline{" \ "} = \overline{CON("")}.$1 3 :

x = no(very(A))
x = [[elem[0] for elem in x]]

NPC $$$K_1$R1. $$$R_1 = A \times B \ \cup \ \overline{A} \times \overline{B}$:

AonB = attitude(A, B)
notAonnotB = attitude(no(A), no(B))
R1 = attitude_unite(AonB, notAonnotB)

$$$y_1$, ( ) $$$R_1$.

y1 = composition(x, R1)
print('y1 = ', y1)
# >> y1 =  [[0.63, 0.3599999999999999, 0.3599999999999999]]

:

notAonC = attitude(no(A), C)
AonnotC = attitude(A, no(C))
R2 = attitude_unite(notAonC, AonnotC)
y2 = composition(x, R2)
print('y2 = ', y2)
# >> y2 =  [[0.5599999999999999, 0.3599999999999999, 0.3599999999999999]]

$$$y_1$$$$y_2$:

y1 = [(y1[0][i], B[i][1]) for i in range(len(y1[0]))]
y2 = [(y2[0][i], C[i][1]) for i in range(len(y2[0]))]

NPC:

print('index = ', ranking_index(y1, y2))
# >> index =  -0.020000000000000018

एक छोटा नकारात्मक मान इंगित करता है कि $$$K_2$अधिक वफादारी से आइटम स्वीकार करते हैं और खिलाड़ी की तलाश को गिनने की अधिक संभावना रखते हैं $$$K_1$।

और आज के लिए बस इतना ही।