🍔 🅰️ 👩🏻‍🔧 नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन, स्पेस-टाइम और एप्सिलॉन प्रोडक्ट की असहमति 🤟🏿 👩🏾‍⚕️ 🙋🏿

इस लेख की संपूर्ण सामग्री गणितीय विश्लेषण में संस्थान पाठ्यक्रम के प्रथम वर्ष के स्तर की समस्या को हल करने का एक परिणाम है।

यहां हम जाली कार्यों के लिए एक नया उत्पाद पेश करते हैं (हम इसे एप्सिलॉन गुणन कहेंगे), जो हमें इंटीग्रल डिफरेंशियल इक्वेशन (नॉनलाइनर सहित) और पुनरावृत्ति संबंधों के बीच एक दिलचस्प संबंध देखने का अवसर देता है। यह आपको असामान्य कोण से उन्हें हल करने के लिए कुछ तरीकों को देखने की अनुमति देता है।

लेकिन, जो बात मुझे विशेष रूप से रुचिकर लगी, वह यह है कि नया काम हमें अंतरिक्ष-समय की निरंतरता जैसी मूलभूत चीजों पर "अटकलें" करने की भी अनुमति देता है। यह तर्क, निश्चित रूप से, बल्कि एक बौद्धिक अभ्यास के रूप में माना जाना चाहिए।

मुझे यह प्रतीत हुआ कि यह गणितीय पुनर्खरीद या, यदि आप चाहें, तो तकनीकी विश्वविद्यालय के पहले या दूसरे वर्ष के ज्ञान के स्तर पर एक छोटी गणितीय यात्रा गणित में रुचि रखने वाले हैबर पाठकों को रुचि दे सकती है।

टिप्पणी

आप किसी भी लिंक को नहीं देखेंगे और सामान्य तौर पर, यह सब किसी एक व्यक्ति के विचारों का परिणाम है
शायद (और यहां तक कि सबसे अधिक संभावना है), यह सब नया नहीं है, और शायद कुछ ऐसे शब्द जो मैं उपयोग करता हूं, वे गणितीय परंपरा के अनुरूप नहीं हैं, लेकिन चूंकि यह वैज्ञानिक प्रकाशन नहीं है, इसलिए नवीनता का कोई दावा नहीं है और यह सब काफी सरल है, फिर यह मेरी राय में शब्दावली अंतर, वास्तव में कुछ महत्वपूर्ण नहीं है

सारांश

इस लेख में, हम दो प्रकार के कार्यों (वास्तविक संख्या के क्षेत्र में परिभाषित) के बारे में बात करेंगे: विश्लेषणात्मक और जाली।

1

, $F(x), G(x), ...$ , ( $N_0$ ), $f_n, g_n, ...$ . $A^\epsilon$ .

2

, . , . ( ),

हम इन दो वर्गों से कार्यों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करेंगे। हम जाली कार्यों के लिए नए संचालन भी शुरू करेंगे। ये ऑपरेशन "सामान्य" कार्यों पर "सामान्य" ऑपरेशन के समान होंगे। हम उपसर्ग "एप्सिलॉन" जोड़कर इन नए कार्यों को अलग कर देंगे। तो "साधारण" व्युत्पन्न एप्सिलॉन व्युत्पन्न के लिए अनुरूप होगा , एप्सिलॉन उत्पाद के लिए सामान्य उत्पाद , एप्सिलॉन एकीकरण के लिए सामान्य एकीकरण , आदि। इसके अलावा, यदि ऑपरेशन अपरिवर्तित रहता है (जैसा कि समन और घटाव के मामले में), तो नाम नहीं बदलेगा।

इन कार्यों को शुरू करने का एक मुख्य लक्ष्य सरल है - कार्यों के व्युत्पन्न उत्पाद के गुणों को संरक्षित करना:

$(F(x)G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$

जाली कार्यों के मामले में क्या है (

$\in A^\epsilon$ ) ऐसा दिखाई देगा

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$

कहाँ पे

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ - बाएं एप्सिलॉन व्युत्पन्न ऑपरेटर

$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ - एप्सिलॉन-गुणन

यह हमें एक नए परिवर्तन की शुरुआत करने के लिए (उदाहरण के लिए, लाप्लास परिवर्तन के साथ) की अनुमति देगा, जिसे हम एप्सिलॉन-ट्रांसफॉर्म कहेंगे । यह हमें सामान्य मामलों में गैर-समरूप अभिन्न अंतर समीकरणों को बार-बार अभिव्यक्तियों में बदलने और उन्हें (संख्यात्मक या विश्लेषणात्मक रूप से) क्रमशः समवर्ती विधियों द्वारा हल करने का अवसर देगा।

रिमार्क।

वाक्य भी सत्य है: हमें अभिन्न अंतर समीकरणों के तरीकों से पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने का अवसर मिलता है

इस मामले में एक महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि जब जाली फ़ंक्शन का चरण शून्य हो जाता है (

$\epsilon \to 0$ ), हमारे सभी एप्सिलॉन फ़ंक्शंस, एप्सिलॉन संचालन और पुनरावृत्ति समीकरण "साधारण" फ़ंक्शन (शून्य के दाईं ओर विश्लेषणात्मक), उनके बीच साधारण संचालन और सामान्य अभिन्न-विभेद समीकरणों के होते हैं।

लेकिन फिर, यह एक बुनियादी प्रश्न की ओर जाता है: क्या हमारी भौतिक दुनिया में एप्सिलॉन-गुणा "सच" गुणा नहीं है (कम से कम जहां स्थान और समय शामिल है)?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समय की बात, पर्याप्त रूप से छोटे कदम के साथ (उदाहरण के लिए, प्लैंक समय के क्रम के लिए

$t_p \sim 10^{-43}$ सेकंड) एप्सिलॉन-श्रोडिंगर समीकरण c

$\epsilon\sim t_p$ विशेषता समय के साथ अस्थायी प्रक्रियाओं के लिए

$t \gg t_p$ (या फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़्रीक्वेंसी के साथ

$\omega \ll 1/\epsilon$ ) सामान्य श्रोडिंगर समीकरण के समान परिणाम देगा, लेकिन साथ ही, समय परिमाणीकरण स्वाभाविक रूप से पेश किया जाता है।

सिद्धांत रूप में, अंतरिक्ष के लिए एक समान तर्क संभव है।

लेख में उपयोग किए गए पदनाम

$f_n, g_n, p_n ...$ — ,

$\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ ,

$\epsilon \in R$ ,

$\epsilon>0$ .

$f_n$ ( , ,

$g_n,p_n$ )

$n\epsilon$

$A^\epsilon$ —

$f_n$

$f$ — ,

$f_n$

$f$

$F(x), G(x), ..$ — «» . ( )

$\epsilon$ — :

$f_k = f(k\epsilon)$ .

$f_n$

$n\epsilon$

$\nabla$ — , :

$\nabla F(x) = F ^{'}(x)$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ — , - :

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = f_n^\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\nabla_F$ — , , ,

$F(x)$ (

$F(x)$ ) , ,

$\nabla_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla F(x) = G(x) F^{'}(x)$

$\nabla^2_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla^2 F(x) = G(x) F^{''}(x)$

$\overset{\wedge}{I}$ — :

$\overset{\wedge}{I} f_n = f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ — - :

$f_k^\overset{\displaystyle\epsilon}{'} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f$ — , , - ,

$f$ ( -

$f$ ) () , ,

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ —

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle i}}$ —

$i$ - -

$f$ . , ,

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ 2}} = f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{f}$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle (i)}}$ —

$i$ - -

$f$ . , ,

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ (2)}} = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'})\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\overset{\epsilon}{\rightarrow}$ — - ()

$F(x) \overset{\epsilon}{\rightarrow} f_n$ ,

$F(x)$

$f_n$ -,

$f_n$ -

$F(x)$

$F(x)$ — -

$f_n$

$\overset{\epsilon}{\leftarrow}$ — -

लेख का संक्षिप्त तर्क

. - .

$f_n, g_n,p_n$ ,…, $\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ , $\epsilon \in R$ , $\epsilon>0$ .

$\epsilon$ . , , $\epsilon \to 0$ , $\epsilon = 1$
:
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = (f_{n+1} - f_n)/\epsilon$ , $\epsilon$ —
, - fnϵ∗gn.

-:
pk=(fϵ∗g)k=(ϵ(ϵ∇f+ϵ∇g)+∧I)k(fg)|0

pk=(fϵ∗g)k=k∑j=0Cjkj∑i=0Cijfϵ(i)|0gϵ(j−i)|0

pk=(fϵ∗g)k=∑j+i+l=kCj,ikfigj(−1)l

Cj,ik — : Cj,ik=k!j!i!l!, (l+j+i=k)
:
- , , , , () ()
- - , () :
  
  $\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$
- $\epsilon \rightarrow 0$ ( ) - $F(x)G(x)$ , $F(x)$ $G(x)$ , $f_n$ $g_n$ $\epsilon \rightarrow 0$ , :
  
  $F(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} f_k$
  $G(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} g_k$
  
  $F(x)$ $f_n$ , $G(x)$ $g_n$ -
- . , , -, - -:

$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$
- -, (, - ). , - ( ) - () . - $\epsilon$ . , , - :

$\epsilon exp(k\epsilon)=1+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!} +\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}$
. (, , ) - -. . , , - . ,

$\epsilon cos^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ , ,

$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ $\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ $\epsilon cos^{\overset{\displaystyle \epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$

- -. - - . - -. (, - ) -.
, - — () -. , $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ .
, - () ( ) ().

:

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ $\rightarrow$ $f_n$ ( ) $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ $F(x)$ ( )

, - , C, -, . , , , . , , , .
, . :

C $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ $\rightarrow$ $F(x)$ ( ) $\overset{\displaystyle\epsilon}{ \rightarrow}$ $f_n$ ( C)
, , , - -
- ()
- ( )
$\epsilon \rightarrow 0$ ( ) - - . , , $\epsilon \rightarrow 0$ , - — ,… - — , - … , - $\epsilon \rightarrow 0$ . - ( ) , $\epsilon \rightarrow 0$ .
, - «» ( ) ? , , :

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x,t )\Psi(x,t)$

$\Delta x$ $\Delta t$ ( , ), , .

- ( -, -, — -, ...). $\epsilon$ , . -, .
, , «» , -? ?

जालीदार कार्य और एप्सिलॉन व्युत्पन्न

जालीदार कार्य और सेट

$A^\epsilon$

जाली कार्य एक स्थिर कदम के साथ वास्तविक संख्याओं के असतत सेट पर परिभाषित कार्य हैं। हम केवल सेट पर परिभाषित कार्यों पर विचार करेंगे

$\{0,\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,\ldots\}$ कहाँ पे

$\epsilon \in R$ ,

$\epsilon>0$ । इसलिए, उदाहरण के लिए, इस तरह के एक समारोह होगा

$cos(0.1k\pi)$ कहाँ पे

$k$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। जिसमें

$\epsilon = 0.1\pi$ । हम ऐसे कार्यों के सेट को निरूपित करते हैं

$A^\epsilon$ । सभी जाली कार्य जिन्हें हम नीचे मानेंगे वे इस सेट के होंगे

$A^\epsilon$ ।

जाली समारोह उदाहरण $\in A^\epsilon$

समारोह

$cos(0.1k\pi)$ कहाँ पे

$k \in N_0$ :

एप्सिलॉन व्युत्पन्न

हम एप्सिलॉन व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉल करेंगे

$f \in A^\epsilon$ पर

$k$ निम्नलिखित मूल्य:

$f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}_k = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_k} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

तदनुसार, एक फ़ंक्शन जिसका मूल्य है

$k$ किसी के लिए भी

$k$ एप्सिलॉन व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है

$f_n$ पर

$k$ हम एप्सिलॉन व्युत्पन्न फ़ंक्शन कहेंगे

$f_n$ और के रूप में चिह्नित करें

$f_n\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ (या केवल

$f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ )

जाहिर है, फ़ंक्शन

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\in$

$A^\epsilon$ और इसलिए, एप्सिलॉन भेदभाव को फिर से इसके लिए लागू किया जा सकता है, आदि। हम द्वारा निरूपित करेंगे

$^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}$

$n$ -Yu

$\epsilon$ -डिरेक्टिव फंक्शन। यह आसानी से प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है कि

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}_k=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^n}\sum\limits_{j=0}^{n}C_{n}^{j}f_{k+j}(-1)^{n-j}$

एप्सिलॉन एकीकरण

एप्सिलॉन भेदभाव के विपरीत प्रक्रिया को क्रमशः एप्सिलॉन एकीकरण कहा जाता है। समारोह

$g_n\in A^\epsilon$ किसका मूल्य है

$k$ किसी के लिए भी

$k$

$g_k=\epsilon\sum\limits^{k-1}_{i=0}f_i+C$

एप्सिलॉन आदिम फ़ंक्शन को कॉल करेगा

$f$ ।

एक उत्पाद के एप्सिलॉन व्युत्पन्न

दुर्भाग्य से, एक एप्सिलॉन व्युत्पन्न में एक नियमित व्युत्पन्न के गुण नहीं होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि सामान्य मामले में

$(f_n g_n)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} = f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n +\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\neq f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n$

अंश

$\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}$ इस "व्युत्पन्न" को अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के साधारण व्युत्पन्न से अलग करता है। संख्यात्मक विधियों द्वारा नॉनलाइनियर अंतर समीकरणों को हल करने के मामले में, यह गणना में एक अतिरिक्त त्रुटि देता है।

टिप्पणी।

यह अतिरिक्त शब्द विशेष रूप से इस तथ्य की ओर भी ले जाता है कि हम श्रृंखला में जाली फ़ंक्शन के विस्तार के लिए सामान्य टेलर फॉर्मूला लागू नहीं कर सकते हैं

अब आइए कल्पना करें कि हमारे पास यह अतिरिक्त सदस्य नहीं होगा। ताकि यह हमें दे सकें?

कम से कम, हम पुनरावृत्ति समीकरण (सेट से कार्यों के साथ समीकरण) को हल करने के लिए अंतर समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों को लागू कर सकते हैं

$A^\epsilon$ ) उदाहरण के लिए, हमने टेलर श्रृंखला में विस्तार किया होगा, हम भागों में एकीकरण (एप्सिलॉन-एकीकरण) का उपयोग कर सकते हैं, लाप्लास के ट्रांसफ़ॉर्मेशन (एप्सिलॉन-ट्रांसफ़ॉर्मेशन) को लागू कर सकते हैं। लेकिन वास्तव में, सब कुछ और भी दिलचस्प है, और यह लेख इस के लिए समर्पित है।

लेकिन इस अतिरिक्त तत्व से कैसे छुटकारा पाएं? हम बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक और गुणन (एप्सिलॉन-गुणा)।

मूल समस्या

यह ठीक समस्या है, जिसका समाधान पूरा लेख है।

हम एप्सिलॉन उत्पाद के लिए एक सूत्र खोजना चाहते हैं

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k$ निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए:

साधारण गुणन के गुण संतुष्ट होंगे, जैसे कि कम्यूटिविटी, समरूपता, वितरण, एक इकाई का अस्तित्व (एकल) और एक शून्य तत्व (एकल)
जाली कार्यों के एप्सिलॉन उत्पाद के एप्सिलॉन व्युत्पन्न के लिए, हमारे पास (साधारण) विभेदी कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए एक ही सूत्र होना चाहिए, अर्थात

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$
प्रयास करते हुए $\epsilon \rightarrow 0$ (लैटिस फंक्शन स्टेप) एप्सिलॉन उत्पाद को सामान्य उत्पाद की ओर ले जाना चाहिए $F(x)G(x)$ कहाँ पे $F(x)$ तथा $G(x)$ क्रमशः फ़ंक्शंस फ़ंक्शन करने के लिए क्रमशः कार्य करते हैं $f_n$ तथा $g_n$ पर $\epsilon \rightarrow 0$ , अर्थात:

$F(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} f_k$
$G(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} g_k$

एप्सिलॉन गुणन

फ़ंक्शन इन सभी गुणों को संतुष्ट करता है।

$p_k$ के रूप में परिभाषित (सभी तीन सूत्र बराबर हैं):

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=(\epsilon({{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{f}}+{{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{g}})+{\overset{\wedge}{I}})^k (f g)|_0$

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$ ,
कहाँ

$C_{k}^{j,i}$ - न्यूटन के द्विपद गुणांक:

$C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , (

$l+j+i=k$ )

नोट

लेख को अधिभार नहीं देने के लिए, हम प्रमाण नहीं देंगे, लेकिन पहले दो गुण आसानी से सिद्ध हो जाएंगे, अंतिम इतना स्पष्ट नहीं है

नए काम के साथ थोड़ा सहज होने के लिए, कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. (संख्या से गुणा)

$f_n\in A^{\epsilon}$

$f_k = \lambda$ ,

$\lambda$ — ,

$g_k \in A^{\epsilon}$ -

$p =f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}g$

$p_k = \lambda g_k$ .

-.

, -

$f_n \in A^\epsilon$ 1, — 0.

उदाहरण 2. (एप्सिलॉन डिग्री)

- -

$f_k = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$ , - ( -)

$F(x) = x^i$ :

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}=i!C_k^i\epsilon^i$

, - ( -)

$x^i=(k\epsilon)^i$

$i!C_k^i\epsilon^i$

, ,

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}=k(k-1)\epsilon^2$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}=k(k-1)(k-2)\epsilon^3$

,

$(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$

$i>k$

- - , ,

$(k^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}})^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}=ik^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i-1}}$

$\epsilon$ , , .. $\epsilon$ ( $\epsilon >0$ , $\epsilon \in R$ ), 1. , $\epsilon$ , , , $\epsilon \to 0$

एप्सिलॉन टेलर सीरीज

अब हमारे पास टेलर विस्तार का एक पूरा एनालॉग है:

$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$

हम इस श्रृंखला को टेलर की एप्सिलॉन श्रृंखला कहेंगे, और अपघटन को ही टेलर की श्रृंखला में एप्सिलॉन श्रृंखला कहा जाएगा।

एप्सिलॉन रूपांतरण

परिभाषा (एप्सिलॉन परिवर्तन)

आज्ञा दें

$\exists x_0 >0$ सेट पर ऐसा है

$[0,x_0)$ कार्यों की टेलर श्रृंखला

$F(x)$ शून्य के दाहिने पड़ोस में ही कार्य में परिवर्तित होता है। फिर समारोह

$F(x)$ हम विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन को दाईं ओर शून्य पर कॉल करेंगे। फिर कार्य करता है

$F$ तथा

$f\in A^\epsilon$ यदि किसी पूर्णांक या शून्य के लिए एप्सिलॉन-संयुग्म कहा जाएगा

$i$

$i$ सही व्युत्पन्न

$F$ शून्य के बराबर है

$i$ एप्सिलॉन व्युत्पन्न कार्य

$f$ शून्य पर।

$F^{(i)}|_{+0}=f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}_0, \forall i \in N_0$

समारोह

$f$ तब हम एप्सिलॉन इमेज को कॉल करेंगे

$F$ या यदि इस फ़ंक्शन का नाम है (उदाहरण के लिए, cos), तो हम बस एप्सिलॉन को "फ़ंक्शन नाम" (उदाहरण के लिए, एप्सिलॉन-कोसाइन) कहते हैं और इसे निरूपित करते हैं

$\epsilon$ `` फ़ंक्शन पदनाम '' (

$\epsilon$ क्योंकि)। समारोह

$F$ हम फ़ंक्शन के एप्सिलॉन व्युत्क्रम छवि को कहते हैं

$f$ ।

उदाहरण 1. (एप्सिलॉन प्रदर्शक)

$\epsilon{\exp}$ .

$\sigma$ . -

$\exp(\sigma x)$

$\epsilon exp(\sigma x)_k=1+C_k^1\sigma \epsilon+C_k^2(\sigma \epsilon)^2+\ldots+C_k^k(\sigma\epsilon)^k=(1+\sigma \epsilon)^k$

,

$(1+ \sigma x/k)^k\overset{k\to\infty}{\to}\exp(\sigma x)$

,

$\epsilon = x/k \to 0$ , ( ):

$\epsilon exp(\sigma x) \overset{\epsilon\to\ 0}{\to} \exp(\sigma x)$

-.

उदाहरण 2. (एप्सिलॉन-कोसाइन, एप्सिलॉन-साइन)

- -.

$\lambda$ — . T

$\epsilon{\cos(\lambda x)}_k=\frac{1}{2}((1+i\lambda\epsilon)^k+(1-i\lambda\epsilon)^k)$

$\epsilon{\cos(\lambda x)}\overset{\epsilon\to0}{\to}\cos{(\lambda x)}$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}_k=\frac{1}{2i}((1+i\lambda \epsilon)^k-(1-i\lambda \epsilon)^k)$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}\overset{\epsilon\to0}{\to}\sin{(\lambda x)}$

उदाहरण 3. (एप्सिलॉन-डिग्री में X द्वारा एप्सिलॉन-गुणा)

$f_n \overset{\displaystyle \epsilon}{*} x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}}$

$\lambda$ —

$x^\lambda F(x)$

$(x^\lambda F(x))^{(n)}|_{x = 0} = \sum\limits_{j=0}^{\infty}C^j_n (x^\lambda)^{(j)}F^{(n-j)}(x) |_{x = 0} = C_n^\lambda \lambda! F^{(n-\lambda)}(x) |_{x = 0}$

- -

$f_n \overset{\displaystyle \epsilon}{*} x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} = f_{n - \lambda } x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}}$

,

$\lambda$ , ,

$\lambda$

एप्सिलॉन परिवर्तन संचालन

इस तालिका में और निम्नलिखित फ़ंक्शन में

$F(x)$ तथा

$f_n$ , तथा

$G(x)$ तथा

$g_n$ - युग्मित एप्सिलॉन-संयुग्म, अर्थात्।

$F(x) \overset{\epsilon}\to f_n$

$G(x) \overset{\epsilon}\to g_n$

फिर ऑपरेशन को रूपांतरित किया जाता है (एप्सिलॉन रूपांतरण के परिणामस्वरूप) निम्नानुसार है:

$F(x) \equiv G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \equiv g_n$

$F(x) + G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n + g_n$

$F(x) G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \displaystyle\overset\epsilon{*} g_n$

$F'(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f \displaystyle\overset\epsilon{'}_n$

$\int F(x)dx$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon\sum\limits^{k-1}_{i=0}f_i$ (एप्सिलॉन आदिम)

कुछ विश्लेषणात्मक कार्यों के एप्सिलॉन परिवर्तन

$F(x) \equiv \lambda$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \equiv \lambda$

$\lambda F(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\lambda f_n$

$x^i$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}=i!C_k^i\epsilon^i$

$\exp(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon exp(\lambda x)_k=(1+\lambda \epsilon)^k$

$\cos(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon{\cos(\lambda x)}_k=\frac{1}{2}((1+i\lambda\epsilon)^k+(1-i\lambda\epsilon)^k)$

$\sin(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}_k=\frac{1}{2i}((1+i\lambda \epsilon)^k-(1-i\lambda \epsilon)^k)$

$(1 + \lambda x)^{-1}$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$(1+\lambda x)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{-1}}=1-\lambda x +\lambda^2 x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}-\lambda^3x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}+...$ (के लिये

$|\lambda x| < 1$ ए)

टेलर एप्सिलॉन का विस्तार

$f_k = (1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^k f|_{k=0}=f_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$

यह सूत्र स्पष्ट हो जाता है यदि हम नोटिस करते हैं कि ऑपरेटर

$(1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^i$ एक ऑफसेट ऑपरेटर है

$i$ कदम:

$(1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^i f_k = f_{k+i}$

एप्सिलॉन लैपलेस ट्रांसफॉर्म

हम एप्सिलॉन लैप्लस ट्रांसफॉर्म को भी पेश कर सकते हैं और इसका उपयोग कर सकते हैं और साथ ही लैपल्स ट्रांसफॉर्म को जाली कार्यों के संबंध में बदल सकते हैं।

$\in A^\epsilon$ लेकिन यह इस लेख के दायरे से परे है।

त्रिकोणमितीय सूत्रों के लिए एप्सिलॉन ट्रांसफॉर्मेशन

पूर्वगामी को देखते हुए, हम लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों के एनालॉग

${\epsilon{\cos(x)}}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}+{\displaystyle\epsilon{\sin(x)}}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}\equiv 1$

${\epsilon{\cos(x)}}{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\equiv-\epsilon{\sin(x)}$

${\epsilon{\sin(x)}}{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\equiv\epsilon{\cos(x)}$

${\epsilon{\cos(\alpha+\beta)}}\equiv{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}-{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\cos(\alpha-\beta)}}\equiv{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}+{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\sin(\alpha+\beta)}}\equiv{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}+{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\sin(\alpha-\beta)}}\equiv{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}-{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

लेकिन फिर भी, एप्सिलॉन-कोसाइन और एप्सिलॉन-साइन सामान्य कोसाइन और साइन के विपरीत, एक महत्वपूर्ण विशेषता नहीं है - वे आवधिक नहीं हैं। वास्तव में,

$\epsilon{\cos(\omega t)}_k=\frac{1}{2}((1+i\omega \epsilon)^k+(1-i\omega \epsilon)^k)=\left({\sqrt{1+(\omega \epsilon)^2}}\right)^k \cos{(k(arctg(\omega \epsilon)))}$

$\epsilon{\cos(\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\cos{(t \displaystyle \frac{arct(\omega \epsilon)}{ \epsilon})}$

भी

$\epsilon{sin(\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\sin{(t \displaystyle \frac{arctg(\omega \epsilon)}{ \epsilon})}$

एक ही समय में कार्य करता है

$sin( t(arctg(\omega \epsilon)/\epsilon))$ तथा

$\cos(t(arctg(\omega\epsilon/)\epsilon))$ - एक अवधि के साथ आवधिक कार्य

$2\pi\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ । इसलिए कार्य करता है

$\epsilon{\cos(x)}$ तथा

$\epsilon{\sin(x)}$ - गैर-आवधिक कार्य, बिंदुओं पर शून्य के साथ

$(\pi/2+\pi n)\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ तथा

$\pi n\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ तदनुसार, इस मामले में, मिनीमा और मैक्सिमा के बीच `` रेंज '' दूर ले जाने पर

$t$ के रूप में बढ़ता है

$({1+\omega^2\epsilon^2})^{\frac{t}{2\epsilon}}$ ।

टिप्पणी

तदनुसार, के लिए एप्सिलॉन प्रतिपादक हमारे पास

$\epsilon{exp(i\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\exp{(i \displaystyle \frac{arctg(\omega \epsilon)}{ \epsilon}t)}$

एप्सिलॉन-मैपिंग विधि द्वारा विभेदक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. हार्मोनिक दोलनों

$F^{''}(t) + \omega^2 F(t) = 0$

.

1. ( )

$\epsilon^2 f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)} + \epsilon^2\omega^2 f = f_{k+2} - 2f_{k+1} + (1+ \epsilon^2\omega^2)f_{k} = f_{k+2} - 2f_{k+1} + \lambda f_{k}\equiv 0$

$\lambda = 1+\epsilon^2 \omega^2$ .

.

, , , .

, , .

2. . (- )

$n$ - - - .

$(f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+ \omega^2 f)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} = f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n+2)}} + \omega^2 f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} \equiv 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n+2)}}|_0 + \omega^2 f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}|_0 = 0$

3. . ( )

,

$f_0 = F(0)$ ,

$(f_1 - f_0)/\epsilon = F'(t)|_{t=0}$ .

,

$F(0) = 0$ ,

$F'(0) = 1$ . :

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2k)}}|_0 = 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2k+1)}}|_0 = (-1)^k\omega^{2k}$

4. . ( )

$F(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k\displaystyle{\frac{\omega^{2k}t^{2k+1}}{(2k+1)!}} = \displaystyle\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)$

( ),

2. . ( $f_k$ )

$\epsilon$ $\lambda$ , $\lambda$ , $\epsilon$ $\in R$ , , $\epsilon = 1$

$k$ , 0. , , , , .

, , ,

$F(0) = 0$ , 1. :

$f_0 = 0$

$f_1 = \epsilon$

$f_2 = 2f_1 - \lambda f_0 = 2\epsilon$

$f_3 = 2f_2 - \lambda f_1 = \epsilon(4 -\lambda)$

$f_4 = 2f_3 - \lambda f_2 = 2\epsilon(4 -\lambda) -2 \epsilon\lambda = \epsilon(8 - 4\lambda)$

$f_5 = 2f_4 - \lambda f_3 = \epsilon(2(8 -4\lambda) -\lambda (4- \lambda)) = \epsilon(\lambda^2 - 12\lambda +16)$

…

3. . (- )

$f_0 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{'}|_0 = (f_1 -f_0)/\epsilon = 1$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}|_0 = f_2 - 2f_1 +f_0 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}|_0 =\epsilon(f_3 -3f_2 + 3f_1 - f_0)/\epsilon^3 = (4 - \lambda - 6 + 3 - 0)/\epsilon^2 = (1 - \lambda)/\epsilon^2 = - \omega^2$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(4)}|_0 =(f_4 - 4f_3 +6f_2 - 4f_1 + f_0)/\epsilon^4 = (8 - 4\lambda - 4(4-\lambda) + 12 - 4)/\epsilon^3 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(5)}|_0 = ... = \omega^4$

…

4. . ( )

( , ) , - , :

$F(x) = f_0 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}|_0}{1!}x + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}|_0}{2!}x^2 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}|_0}{3!}x^3 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(4)}}|_0}{4!}x^4 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(5)}}|_0}{5!}x^5 + ...$

$F(x) = t - \displaystyle\frac{\omega^2}{3!}t^3 + \displaystyle\frac{\omega^4}{5!}t^5 + ...$

.

, , -, , ,

उदाहरण 2. बेसेल समीकरण

- . , , .

$x^2F''+xF'+(x^2-\mu^2)F\equiv 0$

1. ( )

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+x\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}+(x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}-\mu^2)\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f\equiv0$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}f_{n-2}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+xf_{n-1}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}+x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}f_{n-2}- \mu^2 f\equiv0$

2. . (- )

$\epsilon =1$

$n$ - - .

$2\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}+nf_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}+2\frac{n(n-1)}{2!}f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}-\mu^2f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} =0$

$(n^2-\mu^2)f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}=-n(n-1)f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}$

3. . ( )

-

$f$ :

$\mu^2f_0 = 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}= f_0\displaystyle\frac{\mu^2}{1 - \mu^2}$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}= - f_0\displaystyle\frac{2}{(4-\mu^2)}$

…

$f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}=- f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n^2-\mu^2}$

$b_n$ —

$n$ - - .

$b_n =- \displaystyle\frac{b_{n-2}}{n^2-\mu^2}$

,

$\mu$ 0, T 0.

$\mu$ , ,

$\mu$ - - T .

$n = 2k+\mu$ - 0,

$n = 2k -1 +\mu$ (

$k$ — ) — 0.

$2k+\mu$ — - .

$2k + \mu$

$n$

$b_{2k+\mu} =- \displaystyle\frac{b_{2(k-1) +\mu}}{4k(k+\mu)}$

,

$2k+\mu$ - - T

$b_{2k+\mu}=C\displaystyle{\frac{(-1)^k}{k!(k+\mu)!2^{2k+\mu}}}$

$\mu$ - , C- ,

4. . ( )

$\mu$ ,

$C = 1$

$F(x)=\sum_\limits{k=0}^{\infty}{\displaystyle{\frac{(-1)^k}{k!(k+\mu)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\mu}}}$

,

$\mu$ .

— T .

उदाहरण 3. फाइबोनैचि संख्या

, -.

, :

$f_{k+2}=f_k+f_{k+1}$ ,
,

$f_0=0$ ,

$f_1=1$ , ,

$f_0\overset{\displaystyle\epsilon}{'}=1/\epsilon$

$f_k+2\epsilon f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}+\epsilon^2f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=f_k+f_k+\epsilon f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}$

$f-\epsilon f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}-\epsilon^2f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=0$

,

$\epsilon=1$ . T

$f-f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}-f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=0$ ,

$f_0=0$

$f_0\overset{\displaystyle\epsilon}{'}=1$

1. ( -)

-

$F-F'-F''=0$

$F(+0)=0$ ,

$F'(+0)=1$

2. ( )

. .

$p^2L(p)-0-1+p L(p)+0-L(p)=0$

$L(p)=\displaystyle{\frac{1}{(p^2+p-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{(p_1-p_2)} \left[\frac{1}{p-p_1}-\frac{1}{p-p_2}\right]}$ ,

$p_1$ ,

$p_2$ —

$p^2+p-1=0$ :

$p_1=(-1+\sqrt{5})/2$

$p_2=(-1-\sqrt{5})/2$ .

$F(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}}(\exp{(p_1x)}-\exp{(p_2x)})$ .

3. ( -)

, -

$F$ .

$f_k=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}}(\epsilon{\exp{(p_1x)}}-\epsilon{\exp{(p_2x)}})=\displaystyle{{\frac{\left((1+\epsilon\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^k-\left(-1+\epsilon\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right)}{\sqrt{5}}}}$

,

$\epsilon=1$

$f_k=\displaystyle{{\frac{\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right)}{\sqrt{5}}}}$

एप्सिलॉन मैपिंग गुण ε → 0 के रूप में

रिवर्स एप्सिलॉन रूपांतरण बस निर्देशन द्वारा किया जा सकता है

$\epsilon \to 0$

इसे एक प्रमेय के रूप में और अधिक सख्ती से तैयार किया जा सकता है, जिसे मैं बिना प्रमाण के दे दूंगा।

प्रमेय

कार्य करते हैं

$F$ तथा

$f$ - किसी के लिए एप्सिलॉन-संयुग्म

$\epsilon$ । फिर, प्रयास करते हुए

$\epsilon \to 0$ , उसे उपलब्ध कराया

$k\epsilon=const=a\in(0,x_0)$ (कहाँ पे

$x_0$ इसका वही अर्थ है जो एप्सिलॉन मैपिंग की परिभाषा में है), मूल्य

$f_k$ मंच पर

$(0,x_0)$ प्रतिबद्ध है

$F(a)$ , अर्थात

$\lim\limits_{\epsilon \to0, k\epsilon=a}f(k\epsilon)=F(a)$

गैर विश्लेषणात्मक कार्य

एप्सिलॉन-डिग्री में x द्वारा विभाजन

( ) .

«» ?

, -

$\displaystyle\frac{1}{x^\lambda}$ ,

$\lambda$ — . 0. -

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda}$ .

$g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} f_n$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} g_n = f_n$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}g_{n-\lambda}$

$g_{n-\lambda} = f_n/x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda} =\displaystyle\frac {f_n}{n(n-1)..(n-\lambda + 1)}$

$g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} f_n =\displaystyle\frac {n!f_{n + \lambda}}{(n+\lambda)!}$

$f_n = \overset{\wedge}{I}$ , ,

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} = \displaystyle\frac {n!}{(n+\lambda)!}$ , ,

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda} = \displaystyle\frac {n!}{(n-\lambda)!}$

$\lambda$ (

$\lambda \in N_0$ )

एप्सिलॉन-उत्पाद और अंतरिक्ष-समय की विसंगति

उपरोक्त सभी एक मौलिक प्रश्न की ओर जाता है: क्या हमारी भौतिक दुनिया में एप्सिलॉन-गुणा "सही" गुणा नहीं है (कम से कम यह अंतरिक्ष या समय पर आता है)?

उदाहरण के लिए, एक आयामी श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x,t)\Psi(x,t)$

यह समीकरण अंतरिक्ष-समय की निरंतरता और एक असीम मूल्य की संभावना को मानता है

$\Delta x$ तथा

$\Delta t$ (यदि हम विभेदीकरण का उपयोग करते हैं तो यह स्पष्ट रूप से स्वीकार किया जाता है)। यदि हम समय के बारे में बात करते हैं, तो इसका अर्थ है अनंत ऊर्जा, जो ब्रह्मांड के बारे में आधुनिक विचारों का विरोधाभासी है।

तर्क को जटिल नहीं करने के लिए, आइए मामले पर विचार करें

$U$ स्वतंत्र

$t$ । इस मामले में

$\Psi(x,t)$ के रूप में लिखा जा सकता है:

$\Psi(x,t) = \psi(x)\exp(-iEt/\hbar)$

परंतु

$\exp(-iEt/\hbar)$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, जिसका अर्थ है कि हम अपने दृष्टिकोण को उस पर लागू कर सकते हैं, अर्थात, हम अपने मूल श्रोडिंगर समीकरण का एक एप्सिलॉन परिवर्तन (समय के सापेक्ष) कर सकते हैं और हम प्राप्त करते हैं

$i\hbar\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) + U(x)\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t)$

$\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) = \psi(x)\epsilon exp(-iEt/\hbar)$

जिसमें

$\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) \overset{\epsilon \to 0}{\to}\Psi(x,t)$

अर्थात, बहुत कम समय के साथ (समय मात्रा)

$\epsilon$ जो हमारी गणना के लिए आवश्यक नहीं है, हम (साधारण) श्रोडिंगर समीकरण और एप्सिलॉन-श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के बीच अंतर नहीं देखेंगे।

लेकिन इसका मतलब यह है कि हम वास्तव में यह नहीं कह सकते हैं कि कौन सा काम "सच" ("स्वभाव से इस्तेमाल किया गया") है - हमारा साधारण या एप्सिलॉन उत्पाद (समय की एक छोटी मात्रा के साथ)।

इसके अलावा, एप्सिलॉन उत्पाद के मामले में (और, तदनुसार, श्रोडिंगर एप्सिलॉन समीकरण और इसके एप्सिलॉन-वेव समाधान), हमारे पास एक स्पष्ट प्लस-टाइम मात्राकरण प्राकृतिक हो जाता है, और हम अनंत ऊर्जा की आवश्यकता का सामना नहीं करते हैं। वास्तव में, हमारे पास समान समाधानों के साथ समान समीकरण हैं, लेकिन साथ ही हम स्वाभाविक रूप से समय की निरंतरता की धारणा की आवश्यकता को समाप्त करते हैं।

- , , , , . , . , , $\Delta x \ll \delta_x$ / $\Delta t \ll \delta_t$ . , , . « » , $\Delta x \gg \delta_x$ / $\Delta t \gg \delta_t$ . , . -, , $\epsilon$ — $\Delta x$ / $\Delta t$ जब यह अभी भी समय और / या स्थान के बारे में बात करने के लिए समझ में आता है (मोटे तौर पर बोल रहा है, यह "स्पॉट" का औसत आकार है)।

किस प्रकार जांच करें?

तो, अगर समय एक "कदम" के साथ असतत है

$\epsilon$ , और "सच" गुणा एप्सिलन-गुणा गुणा समय विसंगति के एक कदम के साथ है, फिर यह कैसे प्रकट किया जा सकता है? क्या किसी विचार या वास्तविक प्रयोग को स्थापित करना और समझना संभव है कि कौन सा काम "सच" है और कौन सा कदम (क्वांटम) उपयोग किया जाता है?

यह समझने के लिए कुछ अनुमान दिए जा सकते हैं कि दुनिया के बारे में हमारे विचार कितना बदल जाएंगे यदि "सही" वास्तव में "एप्सिलॉन-गुणा" (और सामान्य गुणन नहीं है)।

याद करें कि

$\epsilon{exp(i\omega_0 t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega_0^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\exp{(i \displaystyle \frac{arctg(\omega_0 \epsilon)}{ \epsilon}t)}$

फिर के लिए

$\omega_0\epsilon \ll 1$ हमारे पास है:

आवृत्ति साइन लहर की आवृत्ति से अलग होगी $\omega_0$ और बराबर होगा

$\omega = \displaystyle \frac{arctg(\omega_0 \epsilon)}{ \epsilon} \approx \omega_0(1 - \displaystyle\frac{\omega_0^2\epsilon^2}{3})$
आयाम के रूप में वृद्धि होगी

$(1+(\omega_0\epsilon)^2))^{\frac{t}{2\epsilon}} \approx 1 + \displaystyle\frac{t\omega^2_0\epsilon}{2}$

आइए मोटे तौर पर आकलन करें कि क्या हम इस अंतर को नोटिस कर पा रहे हैं?

उदाहरण 1. ब्रह्मांड के जीवन के दौरान परिवर्तन।

मान लीजिए कि हमारी लौकिक विसंगति प्लैंक समय से तुलनीय है:

$t_p \approx 10^{−43 }$ सेकंड

ब्रह्मांड जीवनकाल:

$t_{u} \approx 10^{17}$ सेकंड

किस आवृत्तियों के लिए खोजें

$\omega_0$ ब्रह्मांड के जीवनकाल के दौरान, दोलनों का आयाम 0.5% तक बदल सकता है।

$t_u t_p\omega^2_0 = 10^{-2}$

$\omega_0 = \displaystyle\frac{10^{-1}}{\sqrt{t_ut_p}} = 10^{-1}10^{13} = 10^{12}$ rad / s

इसका मतलब है कि 1 THz के क्रम की आवृत्तियों के लिए (या ऊर्जा वाले कणों के लिए

$10^6$ eV) ब्रह्मांड के जीवनकाल के दौरान, आयाम (तरंग फ़ंक्शन) लगभग एक प्रतिशत (क्रम) से बदल जाएगा। यही है, यह स्पष्ट है कि कम से कम सामान्य जीवन में हम इसे बिल्कुल नहीं देख सकते हैं।

उदाहरण 2. प्रति सेकंड परिवर्तन

चलो अनुमान लगाते हैं कि एक अल्ट्राहैग-एनर्जी पार्टिकल परिवर्तन की तरंग फ़ंक्शन का आयाम कितनी बार है

$10^{18}$ एक सेकंड में ई.वी.

$10^{18}$ ev क्रम में मेल खाती है

$10^{24}$ हर्ट्ज

$(1+(\omega_0 t_p)^2))^{\frac{1}{2t_p}} \approx 10^{48}10^{-43} = 10 ^5$

यही है, एक सेकंड में इस तरह के कण की तरंग फ़ंक्शन का आयाम 100 हजार गुना (ऑर्डर) बढ़ जाएगा।

यह पर्याप्त लग रहा है। लेकिन इसका पता कैसे लगाया जाए? तथ्य यह है कि भौतिक अर्थ में लहर फ़ंक्शन स्वयं नहीं है, लेकिन

$\Psi\Psi^*$ , और एक एप्सिलॉन छवि के मामले में, यह होगा

$\overset{\epsilon}\Psi \displaystyle\overset{\displaystyle \epsilon}{*}\overset{\epsilon}\Psi$ । परंतु

$\epsilon exp(-iEt/\hbar) \overset{\displaystyle\epsilon}{*} \epsilon exp(iEt/\hbar) = 1$

इससे पता चलता है कि सिर्फ एक मात्रा जिसका भौतिक अर्थ नहीं है, और यह दृष्टिकोण हमें इस सवाल का जवाब देने की अनुमति नहीं देगा।

टिप्पणियों से सवालों के जवाब

एप्सिलॉन उत्पाद कैसे प्राप्त किया गया था?

( 0).
:

$f(x)g(x) = exp(\nabla_f + \nabla_g) f(x)g(x)|_{x=0}$

$exp(\nabla_f + \nabla_g)$ —

$1 + (\nabla_f + \nabla_g) + (\nabla_f + \nabla_g)^2/2! + (\nabla_f + \nabla_g)^3/3! + ...$

,

$exp(ax) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0,k\epsilon = x}(1+a\epsilon)^k$

-,

$exp (ax)$

$(1+a\epsilon)^k$ ( , -) ,

$f(x), g(x)$ (

$A^ \epsilon$ )

$f_n, g_n$ .

, , :

$\overset{\wedge}{I}$ — :

$\overset{\wedge}{I} f_n = f_n$

,

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=f_0g_0+C_k^1\epsilon({f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0g_0+{g\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0f_0)+C_k^2\epsilon^2({f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}|_0g_0+2{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0{g\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0+{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}|_0f_0)+\ldots$

:

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\epsilon^j\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$

:

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$

$C_{k}^{j,i}$ — :

$C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , (

$l+j+i=k$ )

नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन, स्पेस-टाइम और एप्सिलॉन प्रोडक्ट की असहमति

सारांश

जालीदार कार्य और एप्सिलॉन व्युत्पन्न

एप्सिलॉन गुणन

एप्सिलॉन रूपांतरण

त्रिकोणमितीय सूत्रों के लिए एप्सिलॉन ट्रांसफॉर्मेशन

एप्सिलॉन-मैपिंग विधि द्वारा विभेदक समीकरणों को हल करने के उदाहरण

एप्सिलॉन मैपिंग गुण ε → 0 के रूप में

गैर विश्लेषणात्मक कार्य

एप्सिलॉन-उत्पाद और अंतरिक्ष-समय की विसंगति

किस प्रकार जांच करें?

टिप्पणियों से सवालों के जवाब

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