🐛 🤰 🙆🏻 गणितज्ञों ने अशांति के सार्वभौमिक कानून को साबित कर दिया है 🅿️ 🍣 🤸🏾

यादृच्छिक प्रक्रियाओं का उपयोग करते हुए, तीन गणितज्ञों ने अशांत प्रणालियों के अराजक गति के अंतर्निहित सुरुचिपूर्ण कानून को साबित किया है

एक शांत नदी की कल्पना करो। अब झाग वाले पानी की एक तेज धारा की कल्पना करें। उनके बीच क्या अंतर है? गणितज्ञों और भौतिकविदों के लिए, यह इस तथ्य में निहित है कि एक शांत नदी एक दिशा में बहती है, और एक साथ कई दिशाओं में एक तूफानी धारा बहती है।

ऐसी अनिश्चित गति वाली भौतिक प्रणालियों को अशांत कहा जाता है । इस तथ्य के कारण कि उनकी गति में एक ही समय में कई विशेषताएं हैं, उन्हें गणितीय रूप से अध्ययन करना बहुत मुश्किल है। गणितज्ञों की एक से अधिक पीढ़ी तब तक बदल जाएगी जब तक कि शोधकर्ता सटीक गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ एक अशांत नदी का वर्णन करना नहीं सीखते।

हालाँकि नए सबूतका कहना है कि हालांकि कुछ अशांत प्रणाली विद्रोही लगती हैं, वास्तव में वे एक सार्वभौमिक कानून का पालन करते हैं। यह पत्र गणित द्वारा दिए गए अशांति के सबसे कठोर विवरणों में से एक प्रदान करता है। और यह तरीकों के एक नए सेट के लिए धन्यवाद प्रतीत होता है जो स्वयं शोधकर्ताओं द्वारा इस hitherto disobedient घटना का अध्ययन करने की प्रक्रिया को बदलते हैं।

"शायद यह अशांति के लिए सबसे आशाजनक दृष्टिकोण है," व्लादिमीर Sverak , मिनेसोटा विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, अशांति पर एक विशेषज्ञ ने कहा।

नया काम चल तरल पदार्थों में उत्पन्न होने वाले पैटर्न का वर्णन करने का एक तरीका प्रदान करता है। उन्हें स्पष्ट रूप से समुद्र के पड़ोसी बिंदुओं पर तापमान में तेज उतार-चढ़ाव या काले और सफेद रंगों के मिश्रण से प्राप्त चित्रों को मंत्रमुग्ध करते हुए देखा जा सकता है। 1959 में, ऑस्ट्रेलियाई गणितज्ञ जॉर्ज बैटरल ने भविष्यवाणी की कि इन पैटर्नों में एक सटीक और विनियमित व्यवहार है। नए साक्ष्यों के अनुसार "भविष्य के नियम" की सच्चाई की पुष्टि होती है क्योंकि यह भविष्यवाणी की गई थी। जैकब बेडरोशियन

ने कहा, "हर जगह पर बैक्टिस के नियम को देखा जा सकता है।"कॉलेज पार्क में मैरीलैंड विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ, एलेक्स ब्लूमेंटल और सैमुअल पैन्शोन स्मिथ के साथ प्रमाण के सह-लेखक । "इस कानून को साबित करके, हम इसकी सार्वभौमिकता का एहसास करने में बेहतर थे।"

ऊपर से नीचे तक अशांति

और यद्यपि नए सबूत ठीक उसी प्रक्रिया का वर्णन नहीं करते हैं जो नदी के अशांत पाठ्यक्रम में होती हैं, वे उनके साथ निकटता से संबंधित हैं और हमारे लिए काफी परिचित हैं। इसलिए, आइए हम उन विशेष प्रकार की अशांति की ओर बढ़ने से पहले उनकी कल्पना करें जो गणितज्ञों ने विश्लेषण की हैं।

पानी से भरे किचन सिंक की कल्पना करें। पानी लगभग एकल द्रव्यमान के रूप में सिंक में घूमना शुरू कर देता है। यदि हम तरल को बढ़ाते हैं और छोटे स्तर पर इसकी गति को मापते हैं, तो हम एक ही चीज देखेंगे - तरल का प्रत्येक सूक्ष्म हिस्सा दूसरों के अनुसार चलता है।

"आंदोलन ज्यादातर पूरे शंख के पैमाने से बंधा हुआ है," कॉलेज पार्क में मैरीलैंड विश्वविद्यालय से पोस्टडॉक, ब्लूमेंटहाल ने कहा।

एलेक्स ब्लुमेंथल, मैरीलैंड यूनिवर्सिटी कॉलेज पार्क से एक पोस्टडॉक

अब कल्पना करें कि कॉर्क को बाहर निकालकर सिर्फ पानी के निकास की बजाय, आपने एक जकूज़ी की तरह कताई करते हुए पानी के जेट को सिंक में जोड़ा। नग्न आंखों से आप पानी में दिखने वाले बहुत सारे भँवरों को पकड़ सकते हैं। उनमें से एक चुनें और इसके पैमाने को बढ़ाएं। यदि आप एक गणितज्ञ थे जो अशांत शैल प्रवाह का विश्लेषण करने की कोशिश कर रहे थे, तो आप आशा कर सकते हैं कि चयनित भँवर में पानी का प्रत्येक कण उसी दिशा में चलता है। इससे द्रव मॉडलिंग के काम में बहुत आसानी होगी।

लेकिन, अफसोस, आप पाएंगे कि भँवर में कई छोटे भँवर हैं, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष तरीके से चलता है। इसकी छवि को बढ़ाएं, और आप फिर से देखेंगे कि यह, विभिन्न भँवरों के होते हैं, और इसी तरह, सबसे छोटे पैमाने तक, जब तक कि तरल के आंतरिक घर्षण (या चिपचिपाहट) का प्रभाव नहीं उठता है और प्रवाह को सुचारू करता है।

यह अशांत प्रणालियों का एक स्पष्ट संकेत है - विभिन्न तराजू में एक दूसरे में एम्बेडेड उप-प्रणालियों के विभिन्न व्यवहार। एक अशांत प्रणाली की गति का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, यह वर्णन करना आवश्यक है कि किसी भी समय इन सभी पैमानों पर क्या हो रहा है। उनकी किसी भी बात को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता।

यह एक गंभीर आवश्यकता है - यह बिलियर्ड गेंदों के आंदोलन के प्रक्षेपवक्र को मॉडलिंग करने के समान है, पृथ्वी के आंदोलन से गैलेक्सी के माध्यम से गेंदों के साथ गैस के अणुओं की बातचीत के लिए बिल्कुल सब कुछ ध्यान में रखते हुए।

विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय के जीन-ल्यूक टिफो ने कहा, "मुझे यह सब एक ही बार में करना था, जो इस कार्य को मॉडल के लिए अविश्वसनीय रूप से कठिन बना देता है।"

नतीजतन, गणितज्ञ अशांति का वर्णन बनाने के लिए दशकों से कोशिश कर रहे हैं जो किसी भी समय अशांत प्रणाली के हर बिंदु पर सटीक रूप से वर्णन करता है। और सफल नहीं हुआ।

टिफो ने कहा, "टरब्युलेंस के माथे पर हमला करना बहुत जटिल है।" यह अशांत नदियों के लिए सच है और लीक तरल पदार्थ के साथ डूब जाता है। यह नए प्रमाण में उपयोग किए जाने वाले अशांति के विशेष संस्करण के लिए भी सही है।

सरगर्मी

शैल और नदी हाइड्रोडायनामिक अशांति के उदाहरण हैं। वे इस अर्थ में अशांत हैं कि तरल पदार्थ के वेग - कणों की दिशाएं और वेग - बिंदु से बिंदु तक बहुत भिन्न होते हैं। नए काम में वेग वैक्टर को छोड़कर तरल के अन्य गुणों का वर्णन किया गया है जो इसके प्रत्येक बिंदु पर मापा जा सकता है। यह समझने के लिए कि इसका क्या अर्थ है, रंगों के मिश्रण की कल्पना करें।

चलो सफेद पेंट की एक कैन से शुरू करते हैं। हम प्रति सेकंड काला एक बूंद जोड़ेंगे, जिससे पेंट में हलचल होगी। पहली बूंद सफेद रंग में गिर जाएगी और एक द्वीप की तरह बाहर खड़ी रहेगी। लेकिन जल्द ही यह सफ़ेद रंग में घुलना शुरू हो जाएगा, और तेजी से पतली रेखाओं में फैल जाएगा। काले रंग की बाद की बूंदें एक ही परिवर्तन के विभिन्न चरणों में होंगी: खिंचाव, लंबा, पेंट में डालना, जो धीरे-धीरे ग्रे में बदल जाता है।

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जैसा कि वेग वैक्टर सिंक में बिंदु से बिंदु तक बदल जाता है जहां पानी मिलाया जाता है, इसलिए सफेद रंग में काले रंग की एकाग्रता मिश्रण से बिंदु से बिंदु में बदल जाएगी: कुछ में मिश्रण से स्थानों में इसकी एकाग्रता अधिक (मोटी रेखाएँ) होगी, कुछ कम में।

यह विकल्प "निष्क्रिय स्केलर अशांति" का एक उदाहरण है। यह तब होता है जब एक तरल पदार्थ, एक "निष्क्रिय स्केलर" इंजेक्ट किया जाता है, और दूध को कॉफी में दूसरे में जोड़ा जाता है, सफेद में काले रंग का।

निष्क्रिय स्केलर अशांति भी कई प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करती है - समुद्र के करीबी बिंदुओं के बीच तापमान में अचानक परिवर्तन। इस तरह के वातावरण में, समुद्र की धाराएं उसी तरह तापमान को मिलाती हैं, जिस तरह से काले और सफेद रंग मिश्रित होते हैं।

छोटे स्तर पर परिघटनाओं के अनुपात में बड़े पैमाने पर परिघटनाओं की संख्या (समान तापमान के रंग या जल के प्रवाह की मोटी धारा) के अनुपात की भविष्यवाणी की जाती है, जब तरल पदार्थ मिलाते हैं। इसे एक कानून कहा जाता है क्योंकि भौतिक विज्ञानी कई वर्षों से प्रयोगों में इस घटना का अवलोकन कर रहे हैं।

ब्राउन यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ पैंशन स्मिथ ने कहा, "भौतिकी के दृष्टिकोण से, यह इसे कानून कहने के लिए पर्याप्त है।" हालांकि, इस काम से पहले इसके अपरिहार्य प्रदर्शन का कोई गणितीय प्रमाण नहीं था।

छोटे स्तर पर परिघटनाओं के अनुपात में बड़े पैमाने पर होने वाली घटनाओं की संख्या (समान तापमान के पेंट या धाराओं के समुद्र के पानी की घड़ियाँ) के अनुपात की भविष्यवाणी की जाती है, जब तरल पदार्थ मिलाते हैं। ज़ूम आउट होने पर यह अनुपात अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि छोटी घोंसले वाली गुड़िया अनुपात को बड़ा रखती हैं।

बाटचेल के विचार को समझने के लिए, पेंट पर वापस जाएं। कल्पना करें कि आप इस प्रयोग को कुछ समय के लिए जारी रखते हैं, काले रंग की बूंदों को जोड़ते हैं और सरगर्मी करते हैं। अब समय बन्द करो। आप काले रंग की मोटी स्ट्रिप्स देखेंगे (इसे कम से कम गूंधा गया था), पतले स्ट्रिप्स (वे लंबे समय तक गूंधे हुए थे), और यहां तक कि पतले भी (उन्हें लंबे समय तक बुना हुआ था)।

बैचेनी का नियम यह भविष्यवाणी करता है कि मोटी स्ट्रिप्स, पतली और बहुत पतली स्ट्रिप्स की संख्या सटीक अनुपात का पालन करती है - गुड़िया जैसी चीजें समान अनुपात का पालन करती हैं।

"विभिन्न पैमानों की स्ट्रिप्स तरल के एक टुकड़े में दिखाई देती हैं, क्योंकि बूंदों का हिस्सा केवल मिश्रण करना शुरू कर दिया है, और कुछ को कुछ समय के लिए मिलाया गया है," ब्लूमेंटल ने कहा। "बाॅकटेल के नियम में काले रंग की पट्टियों के आकार के वितरण का वर्णन है।" संक्षेप में सटीक अनुपात का वर्णन करना मुश्किल है, लेकिन मोटे लोगों की तुलना में अधिक पतली स्ट्रिप्स प्राप्त होती हैं, और एक निश्चित संख्या में।

कानून की भविष्यवाणी है कि यदि आप तरल पदार्थ के टुकड़े को बढ़ते हुए देखते हैं तो भी अनुपात बनाए रखा जाता है। तरल और पूरे बैंक के एक छोटे से क्षेत्र में, विभिन्न मोटाई के स्ट्रिप्स, मात्रा में बिल्कुल समान अनुपात होंगे; और ज़ूम आउट करके, हम उसी अनुपात को देखेंगे। पैटर्न सभी पैमानों पर समान है, जैसे कि हाइड्रोडायनामिक अशांति, जहां प्रत्येक भँवर में छोटे भँवर होते हैं।

बल्कि बोल्ड भविष्यवाणी, जो, इसके अलावा, गणितीय रूप से मॉडल करना मुश्किल है। विभिन्न पैमानों पर परिघटनाओं के जटिल घोंसले के शिकार को एक एकल तरल प्रवाह में बैटाकैटल के नियम की उपस्थिति का सटीक वर्णन करना असंभव बनाता है।

लेकिन काम के लेखकों ने यह पता लगाया कि इस जटिलता को कैसे प्राप्त किया जाए और इसे साबित किया जाए।

यादृच्छिक दृष्टिकोण

Bedrossian, Blumenthal और Punchon Smith ने एक दृष्टिकोण अपनाया है जो सभी अशांत प्रणालियों में तरल पदार्थों के औसत व्यवहार पर विचार करता है। गणितज्ञों ने इस रणनीति को पहले भी आजमाया है, लेकिन किसी ने भी इसे सफलतापूर्वक लागू नहीं किया है।

यह दृष्टिकोण काम करता है क्योंकि यादृच्छिकता कभी-कभी सिस्टम व्यवहार की सटीक भविष्यवाणी की अनुमति देती है। नाखूनों के साथ एक ऊर्ध्वाधर बोर्ड की कल्पना करें। ऊपर से इसके साथ एक सिक्का गिराएं, और जब तक यह नीचे के किसी एक स्लॉट को नहीं मारता तब तक यह नाखूनों को उछाल देगा। यह अनुमान लगाना मुश्किल है कि एक विशेष सिक्का कहां गिरेगा - बहुत से कारक प्रभावित होते हैं जहां यह प्रत्येक टक्कर के बाद उछाल देगा।

सैमुअल पंचन स्मिथ

इसके बजाय, आप सिस्टम को यादृच्छिक मान सकते हैं - और यह कि हर नाखून के लिए एक मौका है कि सिक्का दाएं और बाएं उछल जाएगा। यदि संभावनाओं की सही गणना की जाती है, तो सिस्टम के व्यवहार के बारे में सटीक भविष्यवाणी करना संभव होगा। उदाहरण के लिए, आप पा सकते हैं कि सिक्के विशिष्ट स्लॉट में गिरने की संभावना है।

"क्या यादृच्छिकता के साथ अच्छा है औसत करने की क्षमता है," टिफो ने कहा। "यह कहना बहुत ही विश्वसनीय विचार है कि कई छोटे विवरण इसे स्पर्श नहीं करते हैं।"

अशांति और रंग मिश्रण के लिए इसका क्या मतलब है? चूंकि सटीक और निर्धारक कथन गणित के दायरे से परे हैं, इसलिए यह कल्पना करना अधिक उपयोगी होगा कि कुछ यादृच्छिक बल पेंट पर कार्य करते हैं - कभी-कभी इसके साथ हस्तक्षेप करते हैं, कभी-कभी वहां, बिना किसी नियमितता के। इस दृष्टिकोण को यादृच्छिक या स्टोचैस्टिक कहा जाता है। यह गणितज्ञों को उच्च-स्तरीय सांख्यिकीय गणनाओं का उपयोग करने और अध्ययन करने के लिए अनुमति देता है कि सिस्टम में क्या हो रहा है, प्रत्येक विवरण की बारीकियों में खुद को दफन किए बिना।

"थोड़ा संयोग हमें कठिनाइयों को दूर करने की अनुमति देता है," पंचॉन स्मिथ ने कहा।

इसने आखिरकार, तीन गणितज्ञों को बैचेनी के नियम को साबित करने की अनुमति दी।

मिक्स को समझना

भौतिक कानून को साबित करने का एक तरीका उन स्थितियों की कल्पना करना है जो इसे अमान्य कर देंगे। यदि यह साबित किया जा सकता है कि ऐसी स्थितियां उत्पन्न नहीं होती हैं, तो यह साबित होगा कि कानून हमेशा काम करता है। टीम ने महसूस किया कि बेटिकट कानून द्वारा भविष्यवाणी किए गए कानूनों से बचने के लिए, सानना बहुत विशिष्ट विशेषताओं का होना चाहिए।

कानून के प्रमाण को सितंबर 2018 और नवंबर 2019 के बीच ऑनलाइन प्रकाशित चार कार्यों में विभाजित किया गया है। पहले तीन मिश्रित पेंट के कुछ आंदोलनों को समझने पर ध्यान केंद्रित किया गया था, जो कि बैटल के कानून को ऐसे आंदोलनों को बाहर करने और बाहर करने की अनुमति नहीं देगा। उन्होंने साबित कर दिया कि भले ही आपने विशेष रूप से बैटल के नियम को विफल करने के लिए एक तरल पदार्थ लिया हो, फिर भी पैटर्न उसमें दिखाई देगा।

"मुख्य बात यह है कि आप को समझने की जरूरत है कि तरल आपके खिलाफ कुछ भी गर्भ धारण नहीं कर सकता है," बेडरोसियन ने कहा। उदाहरण के लिए,

जैकब बेडरोनिअन

, बैटरल का नियम काम नहीं करता अगर मिश्रण प्रक्रिया में लगातार भँवर, या फ़नल, पेंट में होते। इस तरह के फ़नल एक स्थान पर काले रंग की कुछ बूंदों को पकड़ेंगे - जैसे कि धारा के किनारे मलबे - और पेंट मिश्रण नहीं करेंगे।

“इस तरह के भँवर में, कण पथ अव्यवस्थित नहीं होगा; वे जल्दी से अलग नहीं होते हैं, लेकिन सभी को एक साथ घुमाते हैं, ”बेडरोशियन ने कहा। "यदि आपका सिस्टम सही गति से मिक्स पेंट नहीं करता है, तो बैटल स्नातक का नियम प्रकट नहीं होगा।"

पहले काम में, गणितज्ञों ने ध्यान केंद्रित किया कि काली स्याही के दो डॉट्स के साथ मिश्रण प्रक्रिया के दौरान क्या होता है जो मूल रूप से एक दूसरे के बगल में थे। उन्होंने साबित किया कि बिंदु अलग-अलग रास्तों का अनुसरण करते हैं और विभिन्न दिशाओं में विचरण करते हैं। दूसरे शब्दों में, बारीकी से स्थित बिंदु एक भँवर में फंस नहीं सकते हैं जो उन्हें हर समय एक साथ रखेगा।

"प्रारंभ में, कण एक साथ चलते हैं," ब्लूमेंटल ने कहा, "लेकिन अंत में वे अलग हो जाते हैं और पूरी तरह से अलग दिशाओं में विचलन करते हैं।"

दूसरे और तीसरे काम में, वे मिश्रण प्रक्रिया में व्यापक दिखे। उन्होंने साबित कर दिया कि एक अराजक तरल में, सामान्य मामले में, काले और सफेद रंग का मिश्रण जितनी जल्दी हो सके। तब उन्होंने यह निर्धारित किया कि स्थानीय खामियां (भँवर) अशांत द्रव में नहीं बनती हैं, जो कि बैटल के नियम द्वारा वर्णित एक सुरुचिपूर्ण वैश्विक तस्वीर की उपस्थिति में हस्तक्षेप कर सकती हैं।

पहले तीन कार्यों में, लेखकों ने जटिल गणितीय गणनाओं को साबित करने के लिए आवश्यक प्रदर्शन किया, ताकि यह साबित हो सके कि पेंट अच्छी तरह से और यादृच्छिक रूप से मिश्रण करता है। चौथे में, उन्होंने दिखाया कि इस तरह के मिश्रण गुणों के साथ एक तरल पदार्थ में, एक आवश्यक परिणाम के रूप में बैकटेल का नियम उत्पन्न होता है।

यह अशांत प्रणालियों के संबंध में सबसे मजबूत गणितीय बयानों में से एक है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यह हमें गणितीय विचारों की एक नई धारा के लिए अवसर प्रदान करता है। टर्बुलेंस एक अराजक घटना है, इसके आंदोलन में लगभग यादृच्छिक है। तीन गणितज्ञों ने यह पता लगाया कि यादृच्छिकता का उपयोग करते हुए यादृच्छिकता से कैसे निपटना है। इस क्षेत्र के अन्य विशेषज्ञ लगभग निश्चित रूप से उनका अनुसरण करेंगे।

"उनका सबसे बड़ा योगदान हमें एक मंच प्रदान करना है, जिस पर सबूत बनाने के लिए," टिफो ने कहा। "मुझे लगता है कि मौका एक अशांति मॉडल बनाने के कुछ तरीकों में से एक है जिसे हम गणितीय रूप से समझ सकते हैं।"

गणितज्ञों ने अशांति के सार्वभौमिक कानून को साबित कर दिया है

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