✍🏻 👩‍👦 😺 प्राकृतिक कानून और सुरुचिपूर्ण गणित: समस्याएं और समाधान 🍓 👩🏾‍🤝‍👩🏼 👋🏼

यदि गणित हमें कई भौतिक घटनाओं की एक सुरुचिपूर्ण व्याख्या दे सकता है, तो कभी-कभी वास्तविक स्थितियों में संख्यात्मक डेटा के मोटे अक्षरों के माध्यम से उतारा जाना आवश्यक होता है

पाइथागोरस के समय से, लोग दुनिया के सभी रहस्यों को प्रकट करने के लिए सुंदर गणित की विशेष क्षमता में विश्वास करते हैं। हमने इस विषय पर पाठकों के साथ चर्चा करने और इससे जुड़ी कई समस्याओं को हल करने के लिए यूजीन विग्नर के " प्राकृतिक विज्ञान में गणित की अनुचित प्रभावकारिता " के प्रसिद्ध लेख का उपयोग किया । कार्य यह प्रदर्शित करने के लिए थे, हालांकि गणित वास्तव में आदर्शित मॉडल और कई भौतिक घटनाओं के सुरुचिपूर्ण स्पष्टीकरण बनाने के लिए बहुत उपयोगी है, वास्तविक स्थितियों में संख्यात्मक डेटा के मोटे अक्षरों के माध्यम से कभी-कभी वेड करना आवश्यक है।

परिदृश्य 1: सादगी और एकरूपता

ए) ऑब्जेक्ट एक सजातीय सतह पर ग्लाइड करता है, जिसकी प्रारंभिक गति 1. है। प्रत्येक इकाई की दूरी के लिए, इसकी गति उस मूल्य के 1/10 से कम हो जाती है जो इस विशेष खंड को पारित करने से पहले शुरू हुई थी। किसी वस्तु के पूरी तरह से रुकने से पहले वह कितनी दूर जा सकती है? इसकी गणना के लिए सामान्य सूत्र क्या है?

इस कार्य में एक पकड़ है। पहली नज़र में, यह Achilles और कछुआ के ज़ेनो विरोधाभास को याद करता है, जो समय और दूरी दोनों के लिए एक अनंत ज्यामितीय प्रगति 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... का उत्पादन करता है। यद्यपि यह अनुक्रम अनंत है, यह परिवर्तित होता है, और इसलिए इसकी कुल राशि (इस मामले में, 2) की गणना करना संभव है। इसलिए, इस मामले में, परिमित दूरी एक परिमित समय में आच्छादित है [एक तर्क कर सकता है: यहां हम गणितीय मॉडल के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन वास्तविक गति के बारे में बात कर रहे हैं, और इसलिए यह विरोधाभास के विश्लेषण को गणित तक सीमित करने का कोई मतलब नहीं है क्योंकि ज़ेनॉन सिर्फ असली आंदोलन के लिए आदर्श की प्रयोज्यता पर सवाल उठाता है। गणितीय अवधारणाओं / लगभग। transl।]।

छिपा हुआ पाठ

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D = \frac{\log (\frac{T}{9} + 1)}{\log \frac{10}{9}}

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बी) मशीन एक ही सहजता के साथ आगे और साइडवे दोनों को आगे बढ़ा सकती है। किसी भी दिशा में इसकी सामान्य परिभ्रमण गति एक चिकनी सतह पर 1 इकाई है। आंकड़ा बताता है कि उसे 10 इलाके स्ट्रिप्स पर काबू पाने की जरूरत है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 10 यूनिट और चौड़ाई 1 यूनिट है। स्ट्रिप्स की लंबाई उस दिशा में लंबवत है जिसमें मशीन को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है। मशीन पहली पट्टी के बीच में स्थित है, जो चिकनी है (चिकनी धारियों को ग्रे द्वारा दर्शाया गया है)। उसके बाद, अनियमित (बैंगनी) और चिकनी धारियां वैकल्पिक होती हैं।

हालांकि, असमान धारियों पर अनियमितताएं समान नहीं हैं। प्रत्येक पट्टी में 10 वर्ग खंड होते हैं, जिसकी कल्पना हम कृत्रिम सड़क अनियमितताओं के रूप में कर सकते हैं। खुरदरापन एक दूसरे के बगल में खड़ा है, उनमें से प्रत्येक का आकार 1x1 है। उनके गुणधर्म अलग-अलग होते हैं। अनियमितता मशीन की क्रूज़िंग गति को 50% से 95% तक धीमा कर सकती है, और यह मान 5% के चरणों में बदल जाता है। असमान धारियों में से प्रत्येक सभी 10 प्रकार की अनियमितताओं से बना है, यादृच्छिक क्रम में जा रहा है (पहली बैंगनी पट्टी अनियमितताओं के वितरण के लिए संभावित विकल्पों में से एक दिखाती है)। मशीन सीधे उसके सामने स्थित क्षेत्र की खुरदरापन (लेकिन केवल एक) को पढ़ सकती है, और 1 के बराबर अपनी मंडराती गति के साथ बग़ल में स्थानांतरित कर सकती है, ताकि यदि वांछित हो, तो यह एक और खुरदरापन ले जाता है जो इसे इतना धीमा नहीं करेगा। यह करने के लिए, निश्चित रूप से,समय बीत जाएगा, और अगर वह कुछ चौकों द्वारा बग़ल में चलती है, तो अधिक समय व्यतीत होगा। प्रत्येक मैजेंटा स्ट्रिप पर काबू पाने के बाद, क्रूज़िंग गति वापस बढ़ जाती है 1. कार को पूरे क्षेत्र में सबसे तेज़ तरीके से किस रणनीति को अपनाना चाहिए? कितनी देर लगेगी?

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2:

एक आयताकार त्रिकोण के आकार में एक काल्पनिक ठोस वस्तु पर विचार करें, जिसके सभी द्रव्यमान केंद्रों पर केंद्रित हैं। सरलता के लिए, कल्पना करें कि यह वस्तु द्वि-आयामी है - इसकी कोई मोटाई नहीं है। प्रत्येक शीर्ष 1 इकाई के द्रव्यमान वाला एक बिंदु है, और वस्तु का कुल द्रव्यमान 3 इकाई है। त्रिभुज का आधार 4 इकाइयों लंबा है, ऊर्ध्वाधर पैर 3 इकाइयां हैं, और कर्ण 5 इकाइयां हैं। कल्पना करें कि एक ही त्रिभुज पास में स्थित है, बिल्कुल उसी तरह उन्मुख है, और दोनों त्रिभुजों के मध्य भाग (कर्ण को विपरीत शीर्ष के साथ कर्ण से जोड़ने वाला खंड) एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, और समकोण के कोण 4 इकाइयों से अलग होते हैं। उन पर अभिनय करने वाला आकर्षण क्या होगा? यदि गुरुत्वाकर्षण आकर्षण का नियम अलग-अलग वस्तुओं के रूप में दो त्रिकोणों पर लागू होता है? क्या,यदि त्रिभुज एक दूसरे से लंबाई की 8 इकाइयों की दूरी पर स्थित थे, और उसी तरह उन्मुख थे? ऐसी स्थिति में क्या गुरुत्वाकर्षण आकर्षण का सूत्र बेहतर करता है?

छिपा हुआ पाठ

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तो क्या प्रकृति के नियम को सुरुचिपूर्ण गणित की आवश्यकता है? और क्या सुरुचिपूर्ण गणित इतना सक्षम और समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला में लागू होता है? गणित के फायदों में,

एक पाठक ने अमूर्तता को सूचीबद्ध किया , स्थिरता के लिए अंतर्निहित चेक, निरंतरता, अनन्तताओं के साथ काम, भौतिकी से प्रतिक्रिया और समरूपता। एक अन्य ने जीवन से निम्नलिखित कहानी का हवाला दिया :

कुछ सप्ताह पहले मैंने डॉन लिंकन से बात की, जो फरमिलाब के एक भौतिक विज्ञानी थे। मैंने उनसे पूछा: "ब्रह्मांड का वर्णन करने में गणित इतना अच्छा क्यों है?" उन्होंने उत्तर दिया कि गणितीय प्रणालियों को अनंत तरीकों से तैयार किया जा सकता है, इसलिए किसी भी ब्रह्मांड के लिए, जिसमें कारण संबंध हैं, आप हमेशा एक गणितीय प्लेटफ़ॉर्म पा सकते हैं जो इसके भौतिकी का वर्णन करता है।

अन्य पाठकों ने इसी तरह के टिप्पणियों का वर्णन किया है। मुझे ऐसा लगता है कि गणित अपने आप में कानूनों और तकनीकों का एक बड़ा समूह है, जो उनके अमूर्त होने के कारण, कई असंबंधित क्षेत्रों में आवेदन पा सकते हैं जिनमें समान संरचना और गतिशीलता, या एक अलग तरह की पारस्परिक बातचीत होती है। हम एक ब्रह्मांड में रहने के लिए भी भाग्यशाली हैं जिसमें सुरुचिपूर्ण गणित उपयोगी है। जैसा कि एक पाठक ने उल्लेख किया है : "न्यूटन के गणित और कानून अव्यवहारिक होंगे यदि हम एक ब्रह्मांड में रहते थे जिसमें अधिकतम करीब है।"

लेकिन पूरी तरह से सुरुचिपूर्ण गणित प्रकृति का वर्णन कैसे कर सकता है? मैं पूर्ण पाठकों में से एक से एक टिप्पणी उद्धृत करूंगा :

जीव विज्ञान में गहराई से जाने की आवश्यकता नहीं है कि कई गणितीय अभ्यावेदन अपर्याप्त रूप से पूर्ण हो रहे हैं: रसायन विज्ञान, पदार्थ विज्ञान, संघनित पदार्थ भौतिकी। उदाहरण के लिए, एक पानी के अणु को क्वांटम यांत्रिकी के उपकरणों का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि तीन-शरीर की समस्या हमें आकाशीय यांत्रिकी में उपलब्ध नहीं है। विज्ञान के संपूर्ण क्षेत्र, जैसे कि थर्मोडायनामिक्स और सांख्यिकीय यांत्रिकी, मौजूद हैं क्योंकि कुछ भौतिक प्रणालियां, जैसे कि पानी में एक बर्फ घन, पानी में बर्फ और क्षमता में गणितीय रूप से प्रत्येक अणु का वर्णन करने के लिए बहुत जटिल हैं, जिसका उल्लेख संक्षेपण के लिए नहीं है। -इंस्टीन या सुपरफ्लुइटी। ओम का नियम सकल सांख्यिकीय योग का विद्युत चुम्बकीय संस्करण है, और हुक का नियम और तनाव टेंसर्स सकल सांख्यिकीय योग का लोचदार संस्करण है,और वे दोनों तापमान और सामग्री पर विद्युत प्रवाह की निर्भरता और भारी भार के तहत भौतिक निकायों में अपरिवर्तनीय विरूपण के प्रभाव के कारण एक निश्चित समय पर या एक निश्चित सीमा के बाद काम करने से इनकार करते हैं।

भौतिकी में प्रयुक्त अधिकांश गणित की सादगी का कारण यह है कि यह एक कच्चा सांख्यिकीय योग है या भौतिक घटनाओं का गंभीर सरलीकरण है।

हम सुरुचिपूर्ण गणित को इतना पसंद क्यों करते हैं?

पाठकों में से एक ने अपनी टिप्पणी "लालित्य मस्तिष्क का कम से कम ऊर्जा व्यय" है और लिखा है:

"यूरेका!" की भावना, न्यूरॉन्स के आयोजन के सरल सिद्धांत के लिए उच्च जटिलता को कम करना, या "गणितीय कानून" कई समस्याओं में सरलीकरण का एक उदाहरण है जो कि उत्साह की अनुभूति देता है! ऊर्जा की बचत। इस सिद्धांत KISS (यह सरल रखें, बेवकूफ) सिद्धांत से संबंधित हो सकता है, साथ ही साथ आइंस्टीन के बयान पर: "सब कुछ सरल संभव प्रपत्र को कम किया जा करने की जरूरत है, लेकिन यह आगे को सरल बनाने के लायक नहीं है।"

हमारे मस्तिष्क द्वारा यह एहसास कि प्रकृति में एक-दूसरे के साथ जुड़ी कई घटनाएं ऐसी समरूपता को जन्म देती हैं कि हमारे न्यूरॉन्स का आत्म-संगठन न्यूनतम ऊर्जा खपत के साथ सूचनाओं को संग्रहीत करने के तरीके के रूप में मानता है।

जैसा कि मैंने इस विषय पर अपने लेख में लिखा है, "यूरेका!" दृढ़ता से हमारे मस्तिष्क में पंजीकृत हैं और एक अद्वितीय संज्ञानात्मक-भावनात्मक संबंध की अभिव्यक्तियाँ हैं जो हमें तर्कसंगत बनाती हैं। मुझे लगता है कि हमारे सिर में हर बार मात्रा जिसे मैं "साइकिक एन्ट्रापी" कहता हूं, घट जाती है, हमें एक इनाम मिलता है। यह मानसिक एन्ट्रापी केवल कॉम्पैक्टनेस नहीं है, बल्कि उन कनेक्शनों का संगठन भी है जो इस क्षण तक दिखाई नहीं दे रहे थे, और यह महसूस करना कि सब कुछ एकल हो रहा है। विकास ने हमें बुद्धिमान बना दिया है, प्रत्येक पहेली को हल करने के बाद छोटे आंतरिक पुरस्कार प्रदान करते हैं - एक बहुत प्रभावी रणनीति।

तो क्या Wigner सही है?

हां और ना। वह सही था कि कुछ भौतिक समस्याओं के गणितीय विवरण में सार पैटर्न और समरूपताएं हैं, और फिर गणित अपनी सारी शक्ति दिखाता है। हालांकि, ऐसे क्षेत्र हैं, दोनों भौतिकी और अन्य जटिल विज्ञानों में, जब यह काम नहीं करता है। शायद विग्नर थोड़ा रहस्यवादी था, या "गणित का देशभक्त", और कुछ हद तक अपने निबंध में समस्या को बढ़ा-चढ़ाकर पेश करता था।

प्राकृतिक कानून और सुरुचिपूर्ण गणित: समस्याएं और समाधान

परिदृश्य 1: सादगी और एकरूपता

2:

हम सुरुचिपूर्ण गणित को इतना पसंद क्यों करते हैं?

तो क्या Wigner सही है?

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