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Un étudiant diplômé a résolu un problème topologique il y a un demi-siècle

Il a fallu à Lisa Picchirillo moins d'une semaine pour trouver une réponse à la vieille question d'un étrange nœud découvert il y a plus de cinquante ans par le légendaire mathématicien John Conway.




À l'été 2018, lors d'une conférence sur la topologie et la géométrie à basse dimension, Lisa Picchirillo a entendu parler d'un petit problème mathématique. Elle semblait être un bon terrain d'essai pour certaines des techniques que Lisa a développées en tant qu'étudiante diplômée à l'Université du Texas à Austin.

«Je ne me suis pas permis de travailler dessus pendant la journée», a-t-elle dit, «parce que je ne considérais pas cette tâche comme de vraies mathématiques. Je la percevais plus comme des devoirs. »

La question était: le nœud Conway - une armure complexe de corde, découverte il y a plus de cinquante ans par le légendaire mathématicien John Horton Conway - une tranche d'un nœud de dimension supérieure. La «finesse» est l’une des premières questions naturelles que les spécialistesles théories des nœuds posent des questions sur les nœuds des espaces à haute résolution, et les mathématiciens ont pu y répondre pour plusieurs milliers de nœuds avec pas plus de 12 intersections - toutes sauf une. Le nœud de Conway, qui a 11 intersections, taquine les mathématiciens depuis de nombreuses décennies.

Avant la fin de la semaine, Picchirillo était prêt à répondre: le nœud Conway n'est pas la section mentionnée. Quelques jours plus tard, lors de sa rencontre avec Cameron Gordon, professeur à l'Université du Texas, elle a évoqué sa décision avec désinvolture.

"J'ai dit ça ?? Oui, ça devrait aller immédiatement aux Annales! » - a déclaré Gordon, faisant référence à l'une des plus grandes revues mathématiques, Annals of Mathematics.

"Il a commencé à crier: Pourquoi n'êtes-vous pas content de cela?" Dit Pichchirillo, maintenant postdoctorant à l'Université Brandeis. "Il est comme un fou."

"Je ne pense pas qu'elle ait réalisé à quel point cette tâche était vieille et célèbre", a déclaré Gordon.

PreuvePiccirillo est apparu dans la revue Annals of Mathematics en février. Ce travail et ses autres réalisations lui ont fourni une place au Massachusetts Institute of Technology, où elle commencera à travailler le 1er juillet, seulement 14 mois après avoir soutenu son doctorat.

La question de savoir si le nœud Conway appartenait à la coupure était célèbre non seulement parce qu'il est resté sans réponse pendant si longtemps. Les nœuds coupés donnent aux mathématiciens la possibilité de sonder la nature étrange de l'espace à quatre dimensions, dans lequel il est parfois possible de tricoter des sphères à deux dimensions en un nœud d'une manière si froissée qu'elles ne peuvent pas être lissées. La sobriété est «liée à certains des problèmes les plus profonds de la topologie à quatre dimensions», a déclaré Charles Livingston , professeur émérite à l'Université de l'Indiana.

"La question de la cisaillement des nœuds conway a été un critère pour de nombreux développements modernes liés aux aspects généraux de la théorie des nœuds", a déclaré Joshua Green du Boston College, superviseur diplômé Piccirillo. «C'était très agréable de voir comment un homme que je connaissais depuis un certain temps a soudainement tiré cette épée d'une pierre.»

Sphères magiques


La plupart d'entre nous imaginent le nœud comme un morceau de corde entrelacée avec deux extrémités. Cependant, les mathématiciens travaillent avec des cordes dont les extrémités sont interconnectées, de sorte que le nœud ne peut pas être démêlé. Au cours du siècle dernier, ces boucles nouées ont aidé à étudier des questions provenant de divers domaines scientifiques, de la physique quantique à la structure de l'ADN, ainsi que de la topologie des espaces tridimensionnels.


Dans cette vidéo de 1990, John Conway explique comment, au lycée, il a montré que deux nœuds ne s'annulent pas.

Cependant, si nous prenons le temps en compte comme mesure, notre monde sera à quatre dimensions, il est donc naturel de se poser des questions sur l'existence d'une théorie appropriée des nœuds dans 4D. Et cela ne signifie pas que nous pouvons simplement prendre tous les nœuds en trois dimensions et les pousser dans un espace en quatre dimensions: si vous avez quatre dimensions, vous pouvez démêler n'importe quelle boucle si vous commencez à soulever les morceaux de corde les uns au-dessus des autres dans la quatrième dimension.

Pour faire un nœud dans 4D, vous avez besoin d'une sphère à deux dimensions, pas d'une boucle à une dimension. Tout comme les trois dimensions offrent suffisamment de place pour attacher les boucles, mais pas pour les délier, les quatre dimensions offrent un endroit pour attacher les sphères, ce que les mathématiciens ont fait dans les années 1920.

Il est difficile d'imaginer une sphère liée dans un espace à quatre dimensions, mais pour cela, il est utile d'imaginer d'abord une sphère normale en 3D. Si vous le coupez, vous verrez une boucle non liée. Mais si vous coupez la sphère connectée en 4D, vous verrez une boucle connectée (ou, éventuellement, une boucle non connectée, ou plusieurs boucles connectées les unes aux autres - cela dépend de l'endroit où couper). Tout nœud pouvant être obtenu en coupant une sphère connectée est considéré comme coupé. Certains nœuds ne sont pas coupés - par exemple, un nœud à trois intersections, trifolium.



Les nœuds coupés «jettent un pont entre les histoires en trois dimensions et en quatre dimensions de la théorie des nœuds», a déclaré Green.

Cependant, il y a un problème qui révèle la richesse et la spécificité de l'histoire à quatre dimensions: dans la topologie à quatre dimensions, il existe deux options différentes pour le cisaillement. Plusieurs travaux révolutionnaires du début des années 1980 (pour lesquels Michael Friedman et Simon Donaldson ont reçu le prix Fields) ont montré que l'espace à quatre dimensions contient non seulement des sphères lisses que nous imaginons intuitivement. Il a également des sphères froissées qui ne peuvent pas être lissées. Et la question de la coupure du nœud dépend de l'opportunité de considérer ces sphères froissées.

«Ce sont des objets très, très étranges, presque magiques», a déclaré Shelley Harveyde l'Université Rice (c'est à partir du rapport de Harvey en 2018 que Piccirillo a découvert le nœud de Conway pour la première fois).

Ces sphères étranges ne sont pas une erreur de la topologie à quatre dimensions, mais sa particularité. Les nœuds de coupure topologique, mais pas «coupés en douceur» - c'est-à-dire les nœuds qui sont des tranches de sphères froissées - permettent aux mathématiciens de créer ce que l'on appelle Variantes «exotiques» de l'espace à quatre dimensions habituel. D'un point de vue topologique, ces copies de l'espace à quatre dimensions se ressemblent comme d'habitude, mais en même temps elles sont irrémédiablement froissées. L'existence de tels espaces exotiques distingue la quatrième dimension de toutes les autres.

Le problème de la coupure est la "plus petite sonde" pour ces espaces exotiques à quatre dimensions, a déclaré Green.

Au fil des années de recherche, les mathématiciens ont découvert tout un ensemble de nœuds coupés topologiquement, mais pas en douceur. Cependant, parmi les nœuds avec un nombre d'intersections allant jusqu'à 12, il ne semble pas avoir été observé - à l'exception peut-être du nœud Conway. Les mathématiciens ont pu déterminer la coupure de tous les autres nœuds avec le nombre d'intersections ne dépassant pas 12, mais ils n'ont en aucune façon reçu le nœud de Conway.

Conway, décédé le mois dernier en raison d'un coronavirus, était connu pour ses contributions importantes à un large éventail de domaines des mathématiques. Il s'est intéressé aux nœuds pour la première fois dans les années 1950 et a trouvé un moyen simple de répertorier presque tous les nœuds avec le nombre d'intersections jusqu'à 11 (les listes complètes précédentes ne comprenaient que les nœuds avec le nombre d'intersections jusqu'à 10).

Mais un nœud de cette liste se démarquait. "Je pense que Conway a réalisé que ce nœud était en quelque sorte spécial", a déclaré Green.

Le nœud de Conway, comme on l'a appelé plus tard, est une section topologique - les mathématiciens l'ont compris dans les années 1980 dans le cadre d'une série de découvertes révolutionnaires. Cependant, ils n'ont pas pu déterminer s'il s'agissait d'une coupe en douceur. Ils soupçonnaient que ce n'était pas le cas, car il n'avait pas une caractéristique telle que le «ruban» qui est généralement observé dans les nœuds lisses. Cependant, une autre caractéristique de celui-ci n'a pas donné la chance à toutes les tentatives de montrer que cette coupe n'est pas lisse.

À savoir, le nœud de Conway a un nœud fraternel, ou, comme on dit dans la théorie des nœuds, une mutation. Si vous dessinez un nœud Conway sur du papier, en découpez une certaine partie, retournez un fragment et reconnectez le nœud, vous obtenez un autre nœud, connu sous le nom de nœud Kinoshita - Terasaki .


Pour prouver que le nœud Conway n'est pas une coupe lisse, les scientifiques ont été empêchés par sa similitude avec le nœud Kinoshita - Terasaki. Lisa Picchirillo a compris comment lier un nouveau compagnon plus complexe au nœud Conway.

Le problème est que ce nouveau nœud est une coupe fluide. Et comme le nœud de Conway ressemble beaucoup à une tranche lisse, il évite les effets de tous les outils (invariants) utilisés par les mathématiciens pour déterminer les nœuds qui ne sont pas des tranches.

"Quand un nouvel invariant est apparu, nous avons essayé de le tester sur le nœud Conway", a déclaré Green. "Et ceci est un exemple têtu unique, qui, quel que soit l'invariant, ne nous a pas dit s'il s'agissait d'une tranche ou non."

Le nœud de Conway "tombe dans l'intersection des angles morts" de ces instruments, a déclaré Picchirillo.

Un mathématicien, Mark Hughes de l'Université Brigham Young, a créé un réseau neuronal utilisant des invariants de nœuds et d'autres informations pour prédire des propriétés telles que le cisaillement. Pour la plupart des nœuds, le réseau fait des prédictions claires. Savez-vous ce qu'elle a dit sur la coupure en douceur du nœud Conway? 50 à 50.

"Au fil du temps, ce nœud a commencé à se démarquer parmi d'autres comme n'étant pas soumis à nous", a déclaré Livingston.

Tours difficiles


Picchirillo aime l'intuition visuelle associée à la théorie des nœuds, mais elle ne pense pas être principalement une théoricienne dans ce domaine. «Je suis plus intéressée par les figures en trois dimensions et en quatre dimensions, mais leur étude est étroitement liée à la théorie des nœuds, donc je le fais un peu», a-t-elle écrit dans un e-mail.

Lorsqu'elle a commencé à étudier les mathématiques à l'université, elle ne s'est pas distinguée comme "une enfant prodige standard en mathématiques", a déclaré Elisenda Grisby , l'une des enseignantes de Picchirillo au Boston College. Grisby a d'abord remarqué la nature créative de Picchirillo. "Elle a toujours cru à la justesse de son point de vue."

La question liée au nœud de Conway est venue à Pichchirillo quand elle a pensé si les nœuds pouvaient être connectés par autre chose que des mutations. Chaque nœud a son soi-disant. une trace en quatre dimensions qui peut être obtenue si vous placez le nœud sur le bord de la boule en quatre dimensions et cousez quelque chose comme une capuche sur le dessus le long du nœud. L'empreinte du nœud «code son nœud assez dur», a déclaré Gordon.



Différents nœuds peuvent avoir la même trace en quatre dimensions, et les mathématiciens savaient déjà que, pour ainsi dire, les parents dans les pistes ont toujours le même statut de coupe - qu'ils soient coupés ou non. Cependant, Piccirillo et Allison Miller , un postdoctorant de l'Université Rice, ont montréque ces traces de parents ne se ressemblent pas nécessairement pour tous les invariants utilisés pour étudier le cisaillement.

Cela a indiqué à Picchirillo le chemin vers la stratégie utilisée pour prouver que le nœud Conway n'est pas coupé: si elle pouvait créer une trace relative pour ce nœud, il serait peut-être plus disposé à coopérer avec l'un des invariants coupés que le nœud Conway lui-même.

La construction de tels parents est une tâche difficile, mais Picchirillo était un expert en la matière. «Je fais essentiellement cela», a-t-elle déclaré. "Alors je suis rentré chez moi et je l'ai fait."

En utilisant une combinaison ingénieuse, Pichchirillo a pu construire un nœud complexe qui a la même trace que le nœud Conway. Et pour ce nœud, un outil appelé
L '«invariant c» de Rasmussen montre qu'il n'est pas coupé en douceur - tout comme le nœud de Conway.

"Très belle preuve", a déclaré Gordon. Selon lui, il n'y avait aucune raison de s'attendre à ce que le nœud créé par Picchirillo succombe à l'invariant c de Rasmussen. "Cependant, l'approche a fonctionné, ce qui est même surprenant."

Les preuves de Pichchirillo "vont de pair avec des preuves brèves et inattendues de résultats insaisissables que les chercheurs dans ce domaine peuvent rapidement digérer, admirer et essayer de généraliser - sans oublier de se demander pourquoi personne ne pourrait y penser si longtemps", écrit par Green dans l'e-mail.

Les empreintes de pas sont un outil classique qui existe depuis plusieurs décennies, mais Picchirillo l'a mieux compris que les autres, a déclaré Green. Selon lui, son travail a montré aux topologues que les traces de nœuds sont sous-estimées. "Elle a pris des outils légèrement poussiéreux", a-t-il déclaré. "Et maintenant, d'autres suivent déjà son exemple."

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