Un étudiant diplômé a résolu le problème du «nœud Conway», sur lequel ils se sont battus pendant des décennies

Il a fallu à Lisa Piccirillo moins d'une semaine pour répondre à la longue question d'un site étrange découvert il y a plus d'un demi-siècle par le légendaire John Conway.

À l'été 2018, lors d'une conférence sur la topologie et la géométrie à basse dimension, Lisa Picchirillo a entendu parler d'un joli petit problème mathématique. Cela ressemblait à un bon terrain d'essai pour certaines des méthodes qu'elle avait développées en tant qu'étudiante diplômée à l'Université du Texas à Austin.

«Je ne me suis pas permis de travailler ce jour-là», a-t-elle dit, «parce que je ne considérais pas cela comme de vraies mathématiques. Je pensais que c'était mes devoirs. »

La question est de savoir si le nœud Conway - un levier ouvert il y a plus d'un demi-siècle par le légendaire mathématicien John Horton Conway - est un morceau d'un nœud de dimension supérieure. La «finesse» est l'une des premières questions naturelles que les théoriciens des nœuds posent sur les nœuds dans des espaces de dimensions supérieures, et les mathématiciens ont pu y répondre pour des milliers de nœuds avec 12 intersections ou moins, à l'exception d'une. Le nœud de Conway, qui a 11 intersections, taquine les mathématiciens depuis des décennies.



La solution au problème du nœud Conway, proposée par Lisa Pichchirillo, l'a aidée à obtenir un poste permanent au Massachusetts Institute of Technology.


En moins d'une semaine, Picchirillo avait déjà la réponse: le nœud Conway n'est pas une «tranche». Quelques jours plus tard, elle rencontre Cameron Gordon, professeur à l'Université d'Austin, et mentionne au passage sa décision.

"Quoi?! Ça entre dans les annales maintenant! " - a déclaré Gordon, faisant référence aux "Annals of Mathematics", l'une des meilleures revues de cette discipline.

Il a commencé à crier: "Pourquoi ne sautes-tu pas de joie?" Dit Picchirillo, maintenant un étudiant diplômé à l'Université Brandeis. "Il a même un peu peur."

"Je ne pense pas qu'elle ait compris à quel point ce problème est ancien et célèbre", a déclaré Gordon.

Preuve Piccirilloparu dans les Annales des mathématiques en février. Cet article, combiné à ses autres travaux, lui a fourni une offre d'emploi permanente au Massachusetts Institute of Technology, qui commence le 1er juillet, seulement 14 mois après la fin de son doctorat.

La question de la coupure du nœud de Conway était connue non seulement en raison de la durée pendant laquelle il n'était pas résolu. Des tranches de nœuds donnent aux mathématiciens l'occasion d'explorer l'étrange nature d'un espace à quatre dimensions dans lequel des sphères à deux dimensions peuvent être liées en un nœud, parfois de manière si froissée qu'elles ne peuvent pas être lissées. Selon Charles Livingston, professeur émérite à l'Université de l'Indiana, la transparence "est actuellement liée à certains des problèmes les plus profonds de la topologie à quatre dimensions".

"Cette question de savoir si le nœud Conway est une tranche était une sorte de panne pour de nombreux développements modernes dans le domaine général de la théorie des nœuds", a déclaré Joshua Greene du Boston College, qui a supervisé la thèse de doctorat de Picchirillo pendant ses années d'études. «J'ai été très heureux de voir comment quelqu'un que je connaissais depuis si longtemps a soudainement tiré une épée d'une pierre.»

balle magique

Alors que la plupart d'entre nous pensent qu'un nœud existe dans un morceau de ficelle à deux extrémités, les mathématiciens pensent que ces deux extrémités sont connectées, de sorte que le nœud ne peut pas être démêlé. Au cours du siècle dernier, ces cycles nodaux ont aidé à éclairer divers sujets, de la physique quantique à la structure de l'ADN, en passant par la topologie de l'espace tridimensionnel.


John Conway a expliqué en 1990 comment il avait montré au lycée pourquoi deux nœuds ne pouvaient pas s'équilibrer.

Mais notre monde est en quatre dimensions si nous incluons le temps comme mesure, il est donc naturel de se demander s'il existe une théorie correspondante des nœuds dans l'espace 4D. Il ne s'agit pas seulement de prendre tous les nœuds que nous avons dans l'espace tridimensionnel et de les immerger dans l'espace 4D: avec quatre dimensions pour se déplacer dans un cercle, toute boucle nouée peut être démêlée si les fils se déplacent l'un au-dessus de l'autre dans la quatrième dimension .

Pour créer un objet noueux dans un espace à quatre dimensions, vous avez besoin d'une sphère à deux dimensions, et non d'une boucle à une dimension. Tout comme les trois dimensions offrent suffisamment d'espace pour construire des boucles nouées, mais pas assez de place pour qu'elles se démêlent, les quatre dimensions fournissent un tel environnement pour les sphères nouées que les mathématiciens ont construites pour la première fois dans les années 1920.

Il est difficile de visualiser une sphère nouée dans l'espace 4D, mais cela aide à penser d'abord à une sphère régulière dans l'espace 3D. Si vous le coupez, vous verrez une boucle lâche. Mais lorsque vous coupez une sphère nouée dans un espace 4D, vous pouvez voir une boucle nouée (ou, éventuellement, une boucle méconnaissable ou un lien de plusieurs boucles à la place, selon l'endroit où vous coupez). Tout nœud que vous pouvez créer en coupant une sphère nouée est appelé une «tranche». Certains nœuds ne sont pas coupés, par exemple un nœud à trois jonctions, appelé trèfle.

Les nœuds coupés «fournissent un pont entre les histoires en trois dimensions et en quatre dimensions de la théorie des nœuds», a déclaré Green.

Mais il y a une ride qui donne la richesse et l'originalité d'une histoire en quatre dimensions: dans la topologie 4D, il existe deux versions différentes de ce que signifie couper. Dans une série de développements révolutionnaires au début des années 1980 (qui ont amené des médailles à Michael Freedman et Simon Donaldson Fields), les mathématiciens ont découvert que l'espace 4D contient non seulement des sphères lisses que nous visualisons intuitivement, mais aussi des sphères qui sont si généreusement froissées que ils ne pourraient jamais être repassés en douceur. La question de savoir quels nœuds sont une tranche dépend de la décision d'inclure ou non ces sphères froissées.

«Ce sont des objets très, très étranges qui semblent exister par magie», a déclaré Shelly Harvey de l'Université Rice. (C'est lors du discours de Harvey en 2018 que Picchirillo a appris pour la première fois le problème du nœud de Conway.)

Ces sphères étranges ne sont pas une erreur de la topologie à quatre dimensions, mais une caractéristique. Les nœuds qui sont "coupés topologiquement" mais pas "coupés en douceur" - c'est-à-dire qu'ils sont coupés d'une sphère froissée, mais pas lisses - permettent aux mathématiciens de construire des versions dites "exotiques" de l'espace quadridimensionnel ordinaire. Ces copies de l'espace à quatre dimensions ressemblent à l'espace normal d'un point de vue topologique, mais sont irrémédiablement froissées. L'existence de ces espaces exotiques distingue la quatrième dimension de toutes les autres dimensions.

La question de la douceur est le «capteur de dimension la plus basse» de ces espaces exotiques à quatre dimensions, a déclaré Green.

Au fil des ans, les mathématiciens ont découvert un certain nombre de nœuds qui étaient topologiquement, mais pas coupés en douceur. Cependant, parmi les nœuds avec 12 intersections ou moins, il ne semblait pas y en avoir - à l'exception peut-être du nœud Conway. Les mathématiciens pouvaient calculer l'état de coupure de tous les autres nœuds avec 12 intersections ou moins, mais le nœud Conway les a éludés.

Conway, décédé le mois dernier de COVID-19, était connu pour ses contributions influentes à un domaine des mathématiques après l'autre. Il s'est d'abord intéressé aux nœuds dans son adolescence dans les années 1950 et a trouvé un moyen simple de répertorier presque tous les nœuds jusqu'à 11 intersections (les listes complètes précédentes n'atteignaient que 10 intersections).

Il y avait un nœud sur la liste qui se démarquait. "Conway, je pense, a compris qu'il y avait quelque chose de complètement spécial à ce sujet", a déclaré Green.

Le nœud de Conway, comme ils ont commencé à l'appeler, est topologiquement coupé - les mathématiciens l'ont compris dans le contexte des découvertes révolutionnaires des années 1980, mais ils ne pouvaient pas comprendre s'il avait été coupé en douceur. Ils soupçonnaient que ce n'était pas le cas, car il semblait manquer d'une fonction appelée «nervure», que les nœuds coupés en douceur ont généralement. Mais il avait également une caractéristique qui le rendait immunisé contre toute tentative de montrer qu'il n'était pas coupé en douceur.

À savoir, le nœud Conway a une sorte de parent - le soi-disant mutant. Si vous dessinez un nœud Conway sur du papier, découpez un morceau de papier spécifique, retournez un fragment puis connectez ses extrémités libres, vous obtiendrez un autre nœud, connu sous le nom de nœud Kinoshita-Terasaka .

Le problème est que cette nouvelle unité s'est avérée être coupée en douceur. Et comme le nœud de Conway est si étroitement lié au nœud de coupe lisse, il parvient à tromper tous les outils (appelés invariants) que les mathématiciens utilisent pour trouver des nœuds sans coupe.

"Chaque fois qu'un nouvel invariant apparaît, nous essayons de le vérifier sur le nœud Conway", a déclaré Green. "Ce n'est qu'un exemple tenace, qui, il semble, peu importe l'invariant que vous proposez, ne vous dira pas s'il s'agit d'une tranche ou non. ".

Le nœud de Conway "est situé à l'intersection des angles morts" de ces différents instruments, a expliqué Piccirillo.

Un mathématicien, Mark Hughes de l'Université Brigham Young, a créé un réseau neuronal qui utilise des invariants de nœuds et d'autres informations pour prédire des caractéristiques telles que le cisaillement. Pour la plupart des nœuds, le réseau fait des prédictions claires. Mais quelle est son intuition quant à savoir si le nœud de Conway est bien coupé? Moitié-moitié.

"Au fil du temps, c'est devenu un nœud auquel nous ne pouvions pas faire face", a déclaré Livingston.

Virages et virages intelligents

Piccirillo aime l'intuition visuelle qu'implique la théorie des nœuds, mais elle ne se considère pas principalement comme une théoricienne des nœuds. «Ce sont vraiment [des formes tridimensionnelles et quadridimensionnelles] qui m'excitent, mais l'étude de ces choses est profondément liée à la théorie des nœuds, alors j'en fais aussi un peu», écrit-elle dans un e-mail.

"Quand elle a commencé à étudier les mathématiques à l'université, elle ne se démarquait pas en tant que" prodige mathématique standard des enfants d'or "", a déclaré Elisenda Grigsby, l'une des professeurs de Pichchirillo au Boston College. Très probablement, c'était la créativité Pichchirillo a attiré l'attention de Grigsby. "Elle a vraiment cru en son point de vue, et cela a toujours été le cas."

Piccirillo a été confrontée à la question du nœud de Conway à un moment où elle réfléchissait à une manière différente de connecter deux nœuds en plus d'une mutation. Chaque nœud a une forme quadridimensionnelle correspondante, appelée sa trace, qui est créée en plaçant le nœud sur le bord de la boule 4D et en cousant dessus une sorte de capuchon le long du nœud. La trace du nœud «code très fortement ce nœud», a déclaré Gordon.



L'un des anciens professeurs, Piccirillo a appelé la créativité - l'une de ses principales forces en tant que mathématiques.

Différents nœuds peuvent avoir la même trace à quatre dimensions, et les mathématiciens savaient déjà que ces frères jumeaux de la trace, pour ainsi dire, ont toujours le même statut de tranche - soit ils sont tous les deux tranche, soit les deux ne sont pas tranche. Mais Piccirillo et Allison Miller, maintenant étudiant diplômé de Rice, ont montré que ces frères et sœurs traces ne se ressemblent pas nécessairement pour tous les invariants de nœuds utilisés pour étudier la douceur.

Cela a montré la stratégie de Picchirillo de prouver que le nœud Conway n'est pas une tranche: s'il pouvait créer une affinité de trace pour le nœud Conway, cela fonctionnerait probablement mieux avec l'un des invariants coupés que le nœud Conway.

Créer des traces de frères et sœurs est une affaire complexe, mais Picchirillo était un véritable expert. «Ce n'est que ma profession», a-t-elle déclaré. «Je suis donc rentré chez moi et je l'ai fait.»

Grâce à une combinaison de virages ingénieux, Piccirillo a réussi à construire un nœud complexe qui a la même empreinte que le nœud Conway. Pour ce nœud, un outil appelé invariant de Rasmussen montre qu'il ne s'agit pas d'une coupe lisse - le nœud Conway ne peut donc pas être l'un ou l'autre.

"C'est vraiment une excellente preuve", a déclaré Gordon. Selon lui, il n'y avait aucune raison de s'attendre à ce que le nœud construit par Picchirillo cède à l'invariant s de Rasmussen. "Mais cela a fonctionné ... de façon surprenante."

Les preuves de Piccirillo «s'inscrivent dans la forme de preuves brèves et étonnantes de résultats insaisissables que les chercheurs dans ce domaine sont capables d'absorber rapidement, d'admirer et de s'efforcer de généraliser - sans oublier de se demander combien cela a pris autant de temps», a écrit Green dans un e-mail. .

"Les empreintes de pas sont un outil classique qui existe depuis des décennies, mais Picchirillo a compris plus profondément que quiconque", admire Green. "Son travail a montré aux topologues que les empreintes sont sous-estimées. Elle ramassa quelques outils sur lesquels, peut-être, un peu poussiéreux. D'autres suivent maintenant son exemple. »

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