Logique mathématique qui peut aider à vérifier plus de personnes pour le coronavirus

Le dépistage rapide des patients pendant une pandémie est de la plus haute importance. Mais quand il n'y a pas assez de tests COVID-19 [en Grande-Bretagne] , ou si les tests sont lents, est-il possible de trouver un moyen d'améliorer ce processus? En tant que mathématicien et ingénieur, je me suis demandé si un théoricien pouvait faire quoi que ce soit pour aider les médecins à répondre aux exigences de l'OMS pour vérifier le nombre maximum de patients.

Il existe peut-être un moyen de tester de nombreux patients avec un petit nombre de tubes. Au lieu d'utiliser un tube à essai pour chaque test, nous pourrions utiliser plusieurs tubes pour tester plus d'échantillons - si nous nous appuyons sur la logique .

L'idée est simple. Un échantillon prélevé sur chacun de nos patients théoriques est distribué dans la moitié de tous les tubes que nous avons dans différentes combinaisons. Si nous avons dix tubes, nous distribuons des échantillons de chaque patient dans cinq tubes différents, en les combinant différemment.

Tout tube à essai avec un résultat négatif indique que tous les patients dont les échantillons y sont tombés donneront un résultat négatif. Les tests avec un résultat positif peuvent contenir des échantillons de plusieurs patients positifs - et chaque patient individuel sera considéré comme positif si tous les tubes associés donnent un résultat positif.

Cette approche est particulièrement efficace dans les premiers stades de l'épidémie, lorsqu'un petit nombre de personnes peuvent donner un résultat positif.

Nous changeons d'approche

Plus il y a de patients infectés, plus il est difficile de déterminer lequel d'entre eux a le virus, car les tubes à essai avec un résultat positif contiendront du matériel provenant d'un plus grand nombre de patients. Pour résoudre ce problème, vous devez corriger l'approche comme indiqué dans l'exemple suivant.

Disons que nous avons six tubes à essai et 20 patients. Les tubes sont disposés dans l'ordre et numérotés: n ° 1, n ° 2, n ° 3, n ° 4, n ° 5 et n ° 6. Chaque patient se voit attribuer un nombre à six chiffres de zéros et de uns (dans le système binaire). Chaque chiffre correspond à un tube spécifique - 0 signifie que l'échantillon du patient n'est pas entré dans ce tube et 1 signifie que le patient l'a fait.



Par exemple, le patient n ° 1 aura le numéro [0 0 0 1 1 1], ce qui signifie que seuls les tubes n ° 4, 5 et 6 contiendront son matériel. Le patient n ° 2 a reçu le numéro [0 0 1 0 1 1], ce qui signifie que ses échantillons contiennent des tubes n ° 3, 5 et 6. Et ainsi de suite, pour chacun des 20 patients.

Après avoir distribué des échantillons des 20 patients dans des tubes à essai, nous les envoyons pour vérification. Si après cela, nous recevons des tests positifs pour les tubes n ° 4, 5 et 6, nous pouvons dire que seul le patient n ° 1 avec le numéro [0 0 0 1 1 1] obtiendra un résultat positif, car seuls les échantillons de ce patient ont été ajoutés à trois de ces tubes, nos 4, 5 et 6, et à aucun autre.

Maintenant, la partie la plus difficile. Supposons que nous obtenions des résultats positifs pour les tubes n ° 3, 4, 5 et 6. Nous pouvons immédiatement éliminer les patients dont les échantillons se trouvaient dans les tubes n ° 1 et n ° 2, mais nous n'avons aucune certitude sur le reste, car nous avons ces tubes Il existe plusieurs possibilités. Les patients avec les numéros [0 0 1 0 1 1] et [0 0 1 1 1 0] sont-ils malades, ou avec [0 0 0 1 1 1], [0 0 1 0 1 1] et [0 0 1 1 0 1], ou sont-ils tous ensemble? Toutes ces combinaisons donneront un résultat positif pour les tubes n ° 3, 4, 5 et 6. Est-il possible d'obtenir une réponse définitive sur lequel des patients est malade?

Oui, mais seulement si le test peut donner non seulement un résultat positif ou négatif, mais un certain degré de positivité - par exemple, déterminer le nombre d'anticorps dans l'échantillon. Ensuite, nous pouvons comparer la quantité de positivité dans différents tubes, ce qui nous donnera une idée de la bonne combinaison de patients positifs.

Degré de positivité

Pour revenir à notre exemple, si la positivité des tubes n ° 4 et n ° 5 est la même (par exemple, ils ont le même nombre d'anticorps), mais diffère dans les tubes n ° 3 et n ° 6, alors nous pouvons conclure que les patients [0 0 0 1 1 1] et [0 0 1 0 1 1] ne peut pas être positif, car l'échantillon du premier patient [0 0 0 1 1 1] est dans les tubes n ° 4 et n ° 5, et l'échantillon du deuxième [0 0 1 0 1 1] dans les tubes N ° 5 (mais pas n ° 4). Cela signifie que la positivité dans ces tubes ne peut pas être la même si les deux patients sont malades (dans les tubes n ° 5, il y aura positivité des deux patients, et dans le n ° 4, il n'y en aura qu'un).

La même positivité dans les deux tubes n ° 4 et n ° 6 ne sera que chez les patients [0 0 0 1 1 1] et [0 0 1 1 1 0], puisque des échantillons des deux ont été ajoutés aux deux tubes n ° 4 et n ° 5, ce qui a donné la même positivité dans les deux tubes à essai.

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons pu tester 20 patients avec seulement six tubes. Cependant, cette méthode peut être adaptée à des milliers de patients et beaucoup moins de tubes sont nécessaires pour les tester. Et même lorsque des machines capables d'effectuer des tests en cinq minutes sont déjà en cours de développement, cette approche peut toujours être plus rapide - et moins coûteuse lorsque les ressources sont rares.

Il s'avère qu'avec l'aide des mathématiques, nous pouvons améliorer la vérification des échantillons collectés, en particulier dans les endroits et à un moment où la vérification rencontre des difficultés. Dans de tels cas, cette approche pourrait potentiellement aider à atténuer les effets du nouveau coronavirus et sauver de nombreuses vies.