Modèle épidémiologique Covid-19

Récemment, il y a eu des modèles très différents de développement de l'épidémie, y compris sur Habré. Ce sujet ne m'a pas non plus ignoré. J'aurais à peine écrit ici, mais étant donné ce que j'ai réussi à trouver, l'importance des dépendances découvertes et leur impact sur nos vies, je ne peux que partager la découverte. Il y aura de nombreuses formules, graphiques et peu de texte. Informations de base et graphiques pour l'Allemagne, où j'habite.

Ainsi, le modèle épidémiologique en première approximation est décrit par la formule de croissance des infectés.

UFO Care Minute

La pandémie COVID-19, une infection respiratoire aiguë potentiellement grave causée par le coronavirus SARS-CoV-2 (2019-nCoV), a été officiellement annoncée dans le monde. Il y a beaucoup d'informations sur Habré sur ce sujet - rappelez-vous toujours qu'il peut être à la fois fiable / utile, et vice versa.

Nous vous invitons à critiquer toute information publiée.

Sources officielles

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$$

$$N_t = N_02^{t/T_d}$$

Où $$$T_d$- le temps de doubler l'infecté dans notre cas en jours, $$$t$nombre de jours, $$$N_0$le nombre de personnes infectées à un certain moment et $$$N_t$- le nombre de cas par $$$t$journées. Si nous divisons les deux parties de la formule par la population totale de la région, nous obtenons la même formule, mais en parties de la population$$$P$.

$$

$$P_t = P_02^{t/T_d} (1)$$

Le problème avec cette formule est que la formule ne prend pas en compte la population limitée et $$$P$bientôt ce sera plus de 1. Cela ne se produit pas dans la vraie vie.

Il existe un facteur épidémiologique déterminant à quel niveau le nombre de cas peut augmenter. Il est calculé sur la base du nombre de base de reproductions. $$$R_0$. Ce nombre nous montre combien de personnes environ une personne infectée infecte, est constant et spécifique pour chaque région en fonction de la densité de population et d'autres caractéristiques de la région. Elle ne peut être déterminée qu'au début de l'épidémie, lorsqu'il n'y a pas de facteurs limitatifs. La formule elle-même ressemble à ceci:

$$

$$P_{sat} = 1 - 1/{R_0}$$

Il existe également un nombre efficace de reproductions. $$$R_t$, ce qui nous permet également de savoir combien de personnes le patient infecte. Contrairement au nombre de base, celui qui est efficace est en constante évolution. Vous pouvez déterminer cette valeur en utilisant la formule ci-dessus et en connaissant le nombre de personnes infectées à un certain moment:

$$

$$R_t = R_0(1 - P_t) (2)$$

Si nous prenons le modèle SEIR ^[1] simplifié de l'épidémie, nous pouvons trouver des facteurs supplémentaires décrivant les caractéristiques de l'épidémie, tels que le taux de croissance$$$G_r$ ou le temps d'infectiosité du patient $$$D$. Les formules suivantes montrent la relation entre les quantités.

$$

$$G_r = \frac{R_t - 1}{D}$$

$$

$$T_d = \frac{ln(2)}{G_r}$$

En utilisant les formules ci-dessus, nous pouvons dériver la dépendance suivante

$$

$$T_d = \frac{D ln(2)}{R_t - 1}$$

et en le substituant en (1) on obtient:

$$

$$P_t = P_0 2^\frac{t (R_t - 1)}{D ln(2)}$$

ou après simplification

$$

$$P_t = P_0 e^\frac{t (R_t - 1)}{D}$$

Si nous devons déterminer la valeur le lendemain, alors $$$t = 1$

$$

$$P_1 = P_0 e^\frac{R_t - 1}{D}$$

Le nombre effectif de reproductions pour un moment précis $$$current$peut être calculé à partir de la formule (2) et connaître uniquement le nombre de base de reproductions $$$R_0$et le nombre de personnes infectées en ce moment $$$P_{current}$nous pouvons facilement calculer le pourcentage de personnes infectées le lendemain.

$$

$$P_{next} = P_{current} e^\frac{R_0 (1 - P_{current}) - 1}{D}$$

Il n'y a qu'un seul paramètre dans cette formule $$$R_0$, qui peut être calculé à partir du temps de doublement au début de l'épidémie. Prenant par exemple$$$P_{current} = 0,0001$et en prenant n étapes, nous obtiendrons un état épidémiologique en n jours. Le temps, la forme de la courbe, la valeur de saturation, le nombre de cas à un certain point dans le temps et d'autres paramètres sortent de la formule "comme un diable d'une tabatière".

Qu'en est-il de la quarantaine et d'autres facteurs affectant le cours de l'épidémie?

Chacune des mesures prises corrige le nombre de base de reproductions d'un certain facteur (facteur)$$$μ ∈ [0;1]$ de la manière suivante:

$$

$$P_{next} = P_{current} e^\frac{μ R_0 (1 - P_{current}) - 1}{D}$$

Pour plus de simplicité, vous pouvez même définir un numéro de reproduction de base «limitatif»:

$$

$$R'_0 = μ R_0$$

De plus, à certains moments, vous pouvez simplement remplacer un numéro de reproduction par un autre, ajustant ainsi la propagation de l'épidémie. L'épidémie continue de se propager avec de nouvelles conditions pendant une certaine période de temps, jusqu'au moment d'un nouveau changement. Les points de changement ou points d'intervention sont déterminés par des facteurs externes, tels que la quarantaine, la fermeture des écoles ou la nécessité de porter des masques. Le temps et l'étendue de l'exposition à ces facteurs ne sont généralement pas connus à l'avance. Cependant, si la valeur du changement de numéro de correction est connue$$$μ$, qui détermine l'efficacité de la quarantaine, vous pouvez découvrir comment son annulation affectera à un certain moment dans le futur. Cela offre de bonnes opportunités prédictives pour ce modèle. C'est aussi une façon de tester sa validité dans la pratique.

Comme le temps de l'infectiosité du patient$$$D$pour Covid-19, une valeur de 10 a été prise ^[2] .

Il n'y a pas d'autres paramètres dans le modèle, ainsi que des degrés de liberté supplémentaires.

Et la vérification?

Graphiques basés sur les données de l'Allemagne.

Il n'y avait que 3 points d' intervention indiqués dans le tableau suivant:



Ce qui a conduit aux résultats suivants.





Les points d'intervention et de comparaison des données du modèle avec les valeurs réelles extraites des données publiques sont visibles sur le graphique de l'évolution du nombre effectif de reproductions.



La coïncidence des données et la qualité du modèle peuvent être vérifiées sur les graphiques de régression:



le modèle et les calculs pour l'Allemagne sont publiés sur GitHub . Il n'y a pas seulement ces données, mais aussi des études sur les décès.

Mise à jour:
Vérifications supplémentaires effectuées. Chaque pays a son propre facteur de correction.

Russie:




Italie:



États - Unis:



Mise à jour 2:
Ajout d'une version de "simple" sur GitHub qui supprime tous ceux inutiles, vous pouvez insérer des valeurs d'autres pays, modifier les points d'intervention et les facteurs de correction. Il y a une forte probabilité que ce même facteur de correction soit le rapport entre ceux diagnostiqués et infectés. Mais cela doit être vérifié. La poursuite du développement et l'achèvement de l'épidémie confirmeront ou réfuteront cette hypothèse.

Dans les graphiques, les valeurs des cas détectés sont en% et ces valeurs ne sont pas corrigées pour la valeur Ratio (Facteur de correction). En divisant par ce nombre, nous obtenons le pourcentage réel de cas détectés et le pronostic d'infection. Dans la version simple, cette correction a été apportée.

Références
[1] JM Heffernan et al. Perspectives sur le taux de reproduction de base. doi.org/10.1098/rsif.2005.0042 JR Soc. Interface 2005 2, 281-293 (2005)

[2] Xi He, Eric HY Lau et al. Dynamique temporelle dans l'excrétion virale et la transmissibilité de COVID-19. www.nature.com/articles/s41591-020-0869-5 Nature (2020)