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Un pont mathématique "étonnant" qui s'étend au-delà du grand théorème de Fermat

Les mathématiciens ont compris comment allonger le mystérieux pont reliant les deux continents éloignés du monde mathématique




Quand Andrew John Wiles a prouvé le grand théorème de Fermat au début des années 1990 , ce fut une étape monumentale non seulement pour les mathématiciens, mais pour toute l'humanité. L'énoncé du théorème est très simple - il prétend que l'équation x n + y n = z nil n'y a pas de solutions positives entières pour n> 2. Cependant, cette simple déclaration a attiré un grand nombre de personnes souhaitant le prouver pendant plus de 350 ans, puisque le mathématicien français Pierre de Fermat a esquissé avec désinvolture la déclaration du théorème en 1637 en marge de l'arithmétique de Diophantus. La formulation de Fermat est également célèbre: il "en a trouvé de véritables preuves, mais les marges du livre sont trop étroites pour lui". Depuis des siècles, les mathématiciens professionnels et les amateurs amateurs recherchent la preuve de Fermat - ou autre chose.

La preuve finalement obtenue par Wiles (avec l'aide de Richard Taylor ) ne serait jamais venue à l'esprit de Fermat. Il n'affecta pas directement le théorème, mais construisit un immense pont qui, selon les mathématiciens, devait exister - un pont entre deux "continents" mathématiques éloignés. La preuve de Wiles se résumait à définir ce pont reliant deux petites parcelles de terre entre deux continents. La preuve était pleine d'idées nouvelles et profondes, et a engendré des cascades de nouveaux résultats des deux côtés de ce pont.

De ce point de vue, les preuves impressionnantes de Wiles ont résolu une infime partie d'un mystère beaucoup plus vaste. Sa preuve était «l'un des meilleurs événements mathématiques du 20e siècle», a déclaré Toby Guyde l'Imperial College de Londres. Et pourtant, il appartenait au «petit tronçon» du pont, connu sous le nom de correspondance géométrique de Langlands .

L'ensemble du pont permettrait aux mathématiciens de faire la lumière sur les vastes étendues des mathématiques, véhiculant des concepts d'une partie à l'autre. De nombreuses tâches, y compris le grand théorème de Fermat, semblent être difficiles d'un côté du pont, mais se transforment rapidement en tâches plus faciles, se déplaçant de l'autre côté.

Après que Wiles ait fourni sa preuve, d'autres mathématiciens ont commencé à étendre avec enthousiasme ce pont à de plus grandes sections des deux continents. Et puis ils ont rencontré un obstacle. Il existe deux directions naturelles pour agrandir ce pont, mais dans les deux cas, la méthode Taylor-Wiles semblait rencontrer une barrière insurmontable.


Le mathématicien Andrew Wiles, qui a prouvé le grand théorème de Fermat et a reçu le prix Abel en 2016

"Les gens ont longtemps voulu faire cela", a déclaré Anna Karayani de l'Imperial College de Londres. Mais «en général, nous ne pensions pas que cela soit possible en principe».

Aujourd'hui, deux ouvrages - représentant l'aboutissement des travaux de plus de dix mathématiciens - ont surmonté cet obstacle, résolvant essentiellement les deux problèmes. Un jour, ces découvertes peuvent aider les mathématiciens à prouver le grand théorème de Fermat pour un système numérique qui va au-delà des entiers positifs.

Ce sont des «meilleurs résultats», a déclaré Matthew Emerton de l'Université de Chicago. "Ils révèlent quelques phénomènes fondamentaux de la théorie des nombres, et nous commençons à peine à comprendre ce qu'ils sont."

Aiguille sous vide


L'un des côtés du pont de Langlands est concentré sur presque les équations les plus simples qui peuvent être écrites: ce sont des équations diophantiennes, ou des combinaisons de variables avec des exponentielles et des coefficients entiers, par exemple, y = x 2 + 6x + 8, ou x 3 + y 3 = z 3 . Pendant des millénaires, les mathématiciens ont essayé de déterminer quelles combinaisons d'entiers satisfaisaient une équation diophantienne particulière. Fondamentalement, leur motivation est basée sur la simplicité et le naturel de ce problème, mais récemment, une partie de leur travail a reçu une suite inattendue dans des domaines tels que la cryptographie.

Depuis la Grèce antique, les mathématiciens ont connu un moyen de trouver des solutions entières d'équations diophantiennes avec seulement deux variables et aucun degré supérieur à 2. Cependant, dans le cas de degrés supérieurs, trouver des solutions entières n'est en aucun cas une question simple - à commencer par les courbes elliptiques. Ce sont des équations dans lesquelles y 2 est à gauche du signe égal , et à droite est une combinaison de termes avec un degré maximum de 3, par exemple, x 3 + 4x + 7. Guy a dit que par rapport aux équations avec des degrés inférieurs, ce sont „ un problème radicalement plus complexe. "

De l'autre côté du pont, des objets vivants appelés formes automorphes, qui sont similaires à la coloration de carreaux avec un très haut degré de symétrie. Dans les cas étudiés par Wiles, les tuiles peuvent ressembler à quelque chose de similaire à la mosaïque d' Escher , où les poissons ou les anges avec des démons montrés sur les disques diminuent à l'approche de la frontière. Dans l'univers Langlands plus général, les tuiles peuvent paver une boule en trois dimensions ou une autre figure dans des dimensions plus élevées.

Ces deux types d'objets mathématiques sont complètement différents l'un de l'autre. Néanmoins, au milieu du 20e siècle, les mathématiciens ont commencé à révéler des relations profondes entre eux, et au début des années 1970, Robert Langlands de l'Institute for Advanced Studies a émis l'hypothèse que les équations diophantiennes et les formes automorphes peuvent être corrélées d'une certaine manière entre elles.


Robert Langlands, qui a avancé l'hypothèse de la conformité il y a 50 ans, donne une conférence à l'Institute for Advanced Studies de Princeton, New Jersey, en 2016.

À savoir: à la fois dans les équations diophantiennes et dans les formes automorphes, il existe un moyen naturel de générer des séquences infinies de nombres. Pour les équations diophantiennes, le nombre de solutions en arithmétique modulaire peut être calculé (il peut être représenté par des nombres situés sur le cadran de l'horloge; par exemple, dans le cas du cadran de 12 heures, 10 + 4 = 2). Et pour de telles formes automorphes qui apparaissent conformément aux Langlands, vous pouvez obtenir une liste interminable de nombres similaires aux niveaux d'énergie quantique.

Si nous utilisons une arithmétique modulaire basée uniquement sur des nombres premiers, alors, selon Langlands, ces deux types de séquences coïncideront dans une gamme étonnamment large de conditions différentes. En d'autres termes, pour toute forme automorphe, ses niveaux d'énergie contrôlent la séquence modulaire d'une équation diophantienne, et vice versa.

Cette connexion est "plus étrange que la télépathie", a déclaré Emerton. «La façon dont ces deux parties communiquent entre elles me semble incroyable et incroyable, même si j'étudie ce phénomène depuis plus de 20 ans.»

Dans les années 1950 et 1960, les mathématiciens ont trouvé les premiers signes de l'existence de ce pont dans l'une des directions: comment passer de certaines formes automorphes à des courbes elliptiques avec des coefficients qui sont des nombres rationnels (fractions composées d'entiers). Puis, dans les années 1990, Wiles, avec Taylor, a trouvé une autre direction pour le pont pour une famille particulière de courbes elliptiques. Leur résultat a automatiquement produit une preuve du Grand Théorème de Fermat, puisque les mathématiciens avaient déjà montré que s'il était incorrect, alors au moins une de ces courbes elliptiques n'aurait pas une forme automorphe correspondante.

Le grand théorème de Fermat était loin d'être la seule découverte qui ait suivi la construction de ce pont. Par exemple, les mathématiciens l'ont utilisé pour prouverL'hypothèse Sato-Tate , un problème vieux de plusieurs dizaines d'années lié à la distribution statistique du nombre de solutions modulaires d'une courbe elliptique, ainsi que pour prouver l'hypothèse concernant les niveaux d'énergie des formes automorphes, exprimée par le légendaire mathématicien du début du XXe siècle Srinivasa Ramanujan Iyengor .

Après que Wiles et Taylor ont publié leurs résultats, il est devenu clair que leur méthode était encore pleine de possibilités. Bientôt, les mathématiciens ont réalisé comment l' étendre aux courbes elliptiques avec des coefficients rationnels. Plus tard, les mathématiciens ont découvert comment couvrir les coefficients avec des nombres irrationnels simples, tels que 3 + √2.

Mais ils n'ont pas réussi à étendre la méthode de Taylor-Wiles aux courbes elliptiques avec des coefficients complexes, tels que i (√-1) ou 3 + i, ou √2i. En outre, ils ne pouvaient pas faire face aux équations diophantiennes avec des pouvoirs beaucoup plus que les courbes elliptiques. Les équations avec des degrés 4 sur le côté droit du signe égal au lieu de 3 ont été facilement résolues en utilisant la méthode de Taylor-Wiles, mais dès que le degré est passé à 5, la méthode a déjà cessé de fonctionner.

Les mathématiciens ont progressivement commencé à réaliser que le problème avec ces deux extensions naturelles du pont de Langlands n'était pas seulement de proposer une légère amélioration de la méthode de Taylor-Wiles. Apparemment, l'obstacle était fondamental.

Ce ne sont «que les exemples suivants qui me sont venus à l'esprit», a déclaré Guy. "Mais ils vous ont dit: Non, ces choses sont désespérément hors de portée."

Le problème était que la méthode de Taylor-Wiles trouve une forme automorphe correspondant à l'équation diophantienne en l'approximant successivement à l'aide d'autres formes automorphes. Cependant, lorsque des nombres complexes ou une puissance supérieure au 4e se produisent dans les coefficients des équations, il y a très peu de formes automorphes - si peu que presque toutes les formes automorphes n'auront probablement pas les formes automorphes les plus proches qui pourraient être utilisées pour l'approcher.

Sous Wiles, la forme automorphe dont nous avons besoin est comme une aiguille dans une botte de foin, mais la pile existe, a déclaré Emerton. "Et cela peut être comparé à une pile de limaille de métal, à laquelle vous apportez un aimant - les limailles sont alignées et pointent vers l'aiguille dont vous avez besoin."

Cependant, dans le cas de coefficients ou degrés complexes d'un ordre supérieur, selon lui, cela ressemble plus à une aiguille dans le vide.

Vol vers la lune


Beaucoup d'experts en théorie des nombres d'aujourd'hui grandissaient à un moment où Wiles a proposé sa preuve. «C'était le seul exemple de mathématiques que j'ai vu en première page des journaux», se souvient Guy, qui avait alors 13 ans. «Cela a inspiré beaucoup de gens, ils voulaient le comprendre, et c'est pour cette raison qu'ils ont commencé à travailler dans ce domaine.»

Par conséquent, quand en 2012 deux mathématiciens - Frank Kalegari de l'Université de Chicago et David Gerati (maintenant chercheur sur Facebook) - ont proposé un moyen de surmonter l'obstacle qui ne permettait pas d'étendre la méthode Taylor-Wiles, cette idée a attiré des critiques élogieuses d'une nouvelle génération d'experts en théorie des nombres.

Leur travail a démontré que "cet obstacle fondamental qui entravait nos progrès n'était pas du tout un obstacle", a déclaré Guy. Il a expliqué qu'en fait, les limites apparentes de la méthode Taylor-Wiles suggèrent que «vous ne ressentiez que l'ombre de la méthode réelle et plus générale que Calegari et Gerati nous ont présentée».


David Geraty à l'Université de Boston en 2015

Dans les cas où un obstacle surgit soudainement, les formes automorphes vivent sur des tuiles de dimensions supérieures aux tuiles Esher bidimensionnelles étudiées par Wiles. Dans ces mondes de dimensions supérieures, il est inconfortable que les formes automorphes soient très rares. Mais les carreaux de dimensions supérieures donnent souvent une structure plus riche que ceux à deux dimensions peuvent offrir. Kalegari et Gerati ont eu l'idée d'utiliser cette riche structure pour compenser le manque de formes automorphes.

Plus précisément, pour chaque forme automorphe spécifique, vous pouvez utiliser la «coloration» de ses carreaux comme un outil de mesure qui peut calculer la couleur moyenne de n'importe quelle partie de votre carreau choisi. Dans une situation à deux dimensions, les formes automorphes, en fait, sont le seul outil de mesure de ce type disponible. Mais les carreaux de dimensions supérieures ont de nouveaux outils, les soi-disant classes de torsion, et avec leur aide, chaque section de tuile peut être attribuée non pas la couleur moyenne, mais le nombre de l'arithmétique modulaire. Et ces classes de torsion sont un centime.

Kalegari et Gerati ont suggéré que pour certaines équations diophantiennes, il pourrait s'avérer trouver la forme automorphe correspondante par approximation non pas par d'autres formes automorphes, mais par des classes de torsion. "Cette idée d'eux s'est avérée fantastique", a déclaré Karajani.

Kalegari et Gerati ont présenté un schéma pour construire un pont beaucoup plus large des équations diophantiennes aux formes automorphes en comparaison avec ce que Wiles et Taylor ont construit. Cependant, leur idée ne pouvait pas être considérée comme un pont à part entière. Pour le faire fonctionner, il a d'abord fallu prouver trois grands théorèmes. Selon Kalegari, cela peut être comparé au fait que leur travail avec Gerati décrit le plan de vol vers la lune, si seulement la personne qui le veut aura un vaisseau spatial, du carburant pour fusée et des combinaisons spatiales. Et ces trois théorèmes étaient «parfaits hors de notre portée», a déclaré Kalegari.

En particulier, la méthode de Calegari et Gerati exigeait la présence d'un pont tout fait allant dans l'autre sens, des formes automorphes aux équations diophantiennes. Et ce pont était censé combiner non seulement des formes automorphes, mais aussi des classes tordues. "Je pense que beaucoup de gens considéraient cela comme une tâche désespérée lorsque Calegari et Gerati ont décrit leur programme pour la première fois", a déclaré Taylor, maintenant à l'Université de Stanford.

Moins d'un an après la publication des travaux de Kalegari et Gerati, Peter Scholze est un jeune génie de l'Université de Bonn qui a reçu le Field Prize, la plus haute distinction en mathématiques, a étonné les spécialistes de la théorie des nombres, trouvant comment passer des classes de torsion au côté des équations diophantiennes dans le cas des courbes elliptiques, dont les coefficients sont de simples nombres complexes comme 3 + 2i ou 4 - √5i. "Il a fait beaucoup de choses incroyables, mais c'est probablement sa réalisation la plus incroyable", a déclaré Taylor.


Le mathématicien Peter Scholze

Scholze a prouvé le premier des trois théorèmes de Calegari et Gerati. Et le couple de travaux conjoints subséquents de Scholze et Karayani est venu très près de prouver le deuxième théorème, démontrant la présence des propriétés correctes au pont découvert par Scholze.

Il y avait un sentiment que ce programme pouvait être facilement maîtrisé, donc à l'automne 2016, Karajani et Taylor ont organisé, selon Kalegari, l '«atelier secret» à l'Institut des hautes études, visant à réaliser de nouveaux progrès. "Nous avons occupé un public là-bas et n'avons laissé entrer personne", a déclaré Kalegari.

Après quelques jours de conversations préparatoires, les participants à l'atelier ont commencé à comprendre comment traiter simultanément le deuxième théorème et contourner le troisième. «Et peut-être un jour après avoir formulé toutes les tâches, nous les avons toutes résolues», a déclaré Guy, l'un des participants au projet.

Le reste de la semaine, les participants ont consacré une étude détaillée de divers aspects de la preuve et, au cours des deux années suivantes, ont officialisé leurs découvertes dans le travail.paternité de dix personnes - un tel montant est inconnu pour les travaux sur la théorie des nombres. En fait, leurs travaux établissent l'existence d'un pont de Langlands pour les courbes elliptiques avec des coefficients de tout système numérique composé de nombres rationnels et de simples nombres irrationnels et complexes.


Anna Karayani et Richard Taylor

"L'atelier a été organisé principalement afin de comprendre dans quelle mesure vous pouvez vous rapprocher de la solution", a déclaré Guy. «Je pense qu'aucun de nous ne s'attendait à ce que nous prouvions tout.»

Poursuite du pont


Pendant ce temps, une autre histoire se déroulait liée à la poursuite du pont au-delà des courbes elliptiques. Kalegari et Guy ont travaillé avec George Boxer (qui travaille maintenant à l'École normale supérieure de Lyon, en France) sur des cas où le plus haut degré d'équations diophantiennes est de 5 ou 6 (plutôt que 3 et 4, comme des cas déjà connus). Cependant, trois mathématiciens étaient coincés à un moment clé de leur preuve.

Et puis, le week-end prochain, après la tenue de «l'atelier secret», Vincent Pilloni de l'École Normale Supérieure a publié un article montrant comment contourner cet obstacle. "Maintenant, nous devons ralentir notre travail et commencer à coopérer avec Pilloni!" - Donc, selon Kalegari, trois chercheurs se sont immédiatement dit.

En quelques semaines, quatre mathématiciens ont résolu ce problème, bien qu'il ait fallu quelques années de travail et près de 300 pages d'une description détaillée des idées. Leur travail , ainsi que le travail d'auteur de 10 personnes, a été publié sur Internet en décembre 2018, avec une différence de quatre jours.


Frank Calegari, Toby Guy et Vincent Pilloni

«C'est une réalisation très sérieuse», a commenté Emerton sur ces deux œuvres. Il les a appelés, ainsi que les éléments constitutifs qui les ont précédés, une «œuvre d'art».

Bien que ces deux travaux, en fait, prouvent que la mystérieuse connexion télépathique entre les équations diophantiennes et les formes automorphes est transférée aux nouvelles conditions, il y a un hic: ils ne construisent pas un pont idéal entre deux rives mathématiques. Les travaux n'indiquent que la «présence potentielle de l'automorphisme». Cela signifie que chaque équation diophantienne a une forme automorphe correspondante, mais nous ne savons pas avec certitude si cette forme automorphe vit dans cette partie du continent où, selon les scientifiques, elle devrait être située. Cependant, l'automorphisme potentiel est suffisant pour de nombreuses applications - par exemple, pour l'hypothèse Sato-Tate sur les statistiques des solutions modulaires d'équations diophantiennes, dont l'opérabilité sur un paysage beaucoup plus large qu'auparavant, pourrait être prouvée par dix auteurs.

Les mathématiciens commencent déjà à comprendre comment améliorer ces résultats avec un automorphisme potentiel. En octobre, trois mathématiciens - Patrick Allen de l'Université de l'Illinois à Urbana-Campaign, Chandrasekar Hare de l'Université de Californie à Los Angeles et Jack Thorne de l'Université de Cambridge - ont prouvé qu'une partie importante des courbes elliptiques considérées dans le travail avec 10 auteurs ont des ponts venir juste aux bons endroits.

Des ponts avec une précision aussi élevée à l'avenir pourraient permettre aux mathématiciens de prouver tout un tas de nouveaux théorèmes, y compris une généralisation du Grand Théorème de Fermat il y a un siècle. Ce dernier prétend que l'équation de ce théorème n'aura toujours pas de solution, même si au lieu de x, y et z nous substituerons non seulement des valeurs entières, mais des combinaisons d'entiers et d' une unité imaginaire .

Deux travaux dans le cadre du programme Calegari-Gerati fournissent des preuves importantes du fonctionnement du concept, a déclaré Michael Harris de l'Université Columbia. Ils, a-t-il dit, "démontrent que la méthode est applicable dans un large éventail".

Et bien que de nouvelles œuvres relient des ponts à des sections beaucoup plus larges des continents Langlands qu'auparavant, elles laissent encore de vastes territoires inexplorés. Du côté des équations diophantiennes, ces équations incluent toutes les équations avec des degrés supérieurs à 6, ainsi que les équations avec plus de deux variables. En revanche, les territoires inexplorés appartiennent à des formes automorphes vivant sur des espaces symétriques plus complexes que ceux étudiés à ce jour.

«Aujourd'hui, ce travail représente le summum du succès», a déclaré Emerton. "Mais à un moment donné, ils seront considérés comme l'une des étapes vers la réalisation de l'objectif."

Langlands lui-même n'a jamais pensé à se tordre, à étudier les formes automorphes, donc l'une des tâches difficiles pour les mathématiciens sera de trouver une vue unifiée de ces deux approches différentes. "Nous élargissons notre gamme", a déclaré Taylor. "Nous avons quitté la route d'une manière ou d'une autre avec les Langlands et nous ne savons pas où nous allions."

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