🌜 ☝️ ♌️ Quelle est la géométrie de l'univers? 👩🏼‍🎨 💱 👩🏼‍🎨

Les solutions cloud sont bonnes car elles vous permettent de créer des projets de toute complexité, jusqu'à un datacenter virtuel. Si vous essayez de visualiser ces structures, vous obtenez une sorte de mini-univers. Jouons avec la géométrie en essayant de visualiser différents modèles de notre univers.

Dans nos esprits, l'univers semble infini. Mais à l'aide de la géométrie, nous pouvons considérer diverses formes tridimensionnelles qui offrent une alternative à l'espace infini «ordinaire».

Lorsque vous regardez le ciel nocturne, il semble que l'espace se dilate dans toutes les directions. C'est notre modèle mental de l'univers, mais ce n'est pas toujours vrai. À la fin, il fut un temps où tout le monde pensait que la Terre était plate, car les virages de notre planète étaient extrêmement difficiles à remarquer, et ils ne pensaient même pas à la forme sphérique de la Terre.

Aujourd'hui, nous savons que la Terre a la forme d'une sphère. Mais peu de gens pensent à la forme de l'univers. Tout comme une sphère est devenue une alternative à une Terre plate, d'autres formes tridimensionnelles offrent une alternative à l'espace infini «ordinaire».

Nous pouvons poser deux questions différentes mais toujours étroitement liées sur la forme de l'univers. L'une d'elles concerne sa géométrie: mesures locales à grains fins d'éléments tels que les angles et les régions. Un autre concerne la topologie: comment ces parties locales sont cousues ensemble dans une forme commune.

Les preuves cosmologiques suggèrent que la partie de l'univers que nous pouvons voir est lisse et homogène, au moins approximativement. Le tissu local de l'espace est le même à chaque point et dans toutes les directions. Seules trois formes géométriques correspondent à cette description: plates, sphériques et hyperboliques. Examinons ces modèles, certaines hypothèses topologiques, et aussi ce que les données cosmologiques disent sur les formes qui décrivent le mieux notre univers.

Géométrie plate (planimétrie)

C'est la géométrie que nous avons étudiée à l'école. Les angles du triangle sont de 180 degrés et l'aire du cercle est πr2. L'exemple le plus simple d'une forme tridimensionnelle plane est l'espace infini habituel - ce que les mathématiciens appellent l'espace euclidien - mais il existe d'autres formes plates qui doivent également être prises en compte.

Ces formes sont plus difficiles à visualiser, mais on peut essayer de fantasmer en pensant en deux dimensions plutôt qu'en trois. En plus du plan euclidien habituel, nous pouvons créer d'autres formes plates en découpant une partie du plan et en maintenant ses bords ensemble. Par exemple, supposons que nous coupions une feuille de papier rectangulaire et la fixions avec des bords opposés. Le collage des faces supérieure et inférieure nous donne un cylindre:

Ensuite, nous pouvons coller les bords droit et gauche pour obtenir un beignet (ce que les mathématiciens appellent un tore):

Maintenant, vous pensez probablement: "mais cela ne me semble pas plat". Et vous aurez raison. Nous avons un peu triché, décrivant le fonctionnement du tore plat. Si vous essayiez vraiment de faire un tore à partir d'un morceau de papier de cette manière, vous vous heurteriez à certaines difficultés. Il serait facile de fabriquer un cylindre, mais vous ne seriez pas en mesure de sceller les extrémités du cylindre: le papier se froisserait le long du cercle intérieur du tore et ne s'étirerait pas assez loin le long du cercle extérieur. Au lieu de papier, un matériau extensible devrait être utilisé. Mais cet étirement déforme les longueurs et les angles, modifiant la géométrie.

À l'intérieur d'un espace tridimensionnel ordinaire, il est impossible de construire un véritable tore physique lisse à partir d'un matériau plat sans déformer sa géométrie. Mais nous pouvons spéculer de manière abstraite sur la sensation de vivre à l'intérieur d'un tore plat.

Imaginez que vous êtes une créature à deux dimensions dont l'univers est un tore plat. Étant donné que la géométrie de cet univers provient d'une feuille de papier plate, tous les faits géométriques auxquels nous sommes habitués sont les mêmes, mais à petite échelle: les angles du triangle totalisent jusqu'à 180 degrés, etc. Mais les changements que nous avons apportés à la topologie globale en coupant et collant, signifient que l'expérience de rester dans le tore sera très différente de ce à quoi nous sommes habitués.

Pour commencer, il y a des chemins directs sur le tore qui se plient et reviennent à leur point de départ:

Ces chemins semblent courbés sur un tore déformé, mais ils semblent droits aux habitants du tore plat. Et comme la lumière se déplace en ligne droite, alors si vous regardez à droite, vous pouvez vous voir de derrière:

sur une feuille de papier, vous voyez, a été retenue jusqu'à ce qu'elle atteigne le bord gauche, puis est réapparue à droite, comme dans un jeu vidéo:

vous pouvez imaginer c'est différent. Par exemple, vous (ou un rayon de lumière) traversez l'une des quatre frontières, apparaissant dans ce qui semble être une nouvelle «pièce». Mais en fait, c'est la même pièce, seulement vue sous un nouvel angle.

Cela signifie que vous pouvez également voir un nombre infini de copies différentes de vous-même, en regardant dans différentes directions. C'est une sorte d'effet Mirror Corridor, sauf que des copies de vous ne sont pas des reflets:

Sur le beignet, ils correspondent à de nombreux anneaux différents le long desquels la lumière peut se déplacer de vous à vous:

De la même manière, nous pouvons construire un tore plat en trois dimensions en collant les côtés opposés du cube. Il ne fonctionnera pas pour visualiser cet espace comme un objet à l'intérieur d'un espace infini ordinaire, mais nous pouvons parler abstraitement de la vie à l'intérieur.

Tout comme la vie dans un tore bidimensionnel était comme la vie dans un tableau infini bidimensionnel de pièces rectangulaires identiques, la vie dans un tore tridimensionnel était similaire à la vie dans un tableau infini tridimensionnel de pièces cubiques identiques. Vous verrez une infinité de copies de vous-même:

Le tore tridimensionnel n'est que l'un des 10 mondes finis plats différents. Il existe également des mondes infinis plats, comme l'analogue tridimensionnel d'un cylindre infini. Dans chacun de ces mondes, il existe un ensemble différent de salles de miroir.

Notre univers est-il une de ces formes plates?

Lorsque nous regardons dans l'espace, nous ne voyons pas une infinité de copies de nous-mêmes. Cependant, il est étonnamment difficile d'exclure ces formes plates. Tout d'abord, ils ont tous la même géométrie locale que l'espace euclidien, donc aucune dimension locale ne peut les distinguer.

Et si vous voyiez une copie de vous-même, cette image éloignée montrerait à quoi vous (ou votre galaxie, par exemple) ressembliez dans un passé lointain, car la lumière a dû voyager longtemps pour vous atteindre. Peut-être que nous y voyons des copies méconnaissables de nous-mêmes. Pire encore, différentes copies de vous-même ont tendance à être à des distances différentes de vous, de sorte que la plupart d'entre elles seront différentes. Et peut-être qu'ils sont encore trop loin pour que nous puissions les voir.

Pour contourner ces difficultés, les astronomes, en règle générale, ne recherchent pas des copies d'eux-mêmes, mais pour répéter des caractéristiques au plus loin de ce que nous pouvons voir: le rayonnement de fond micro-ondes cosmique (CMB) laissé après le Big Bang. Dans la pratique, cela signifie rechercher des paires de cercles dans le CMB qui ont des motifs correspondants de points chauds et froids, ce qui suggère que c'est vraiment le même cercle que nous voyons à partir de deux points différents.

En 2015, les astronomes ont effectué une telle analyse en utilisant les données du télescope spatial Planck. Ils ont passé au peigne fin les types de cercles coïncidents que nous nous attendions à voir à l'intérieur d'un tore tridimensionnel plat ou d'une autre forme tridimensionnelle plate, appelée plaque, mais ils n'ont pas pu les trouver.

Cela signifie que si nous vivons vraiment dans un tore, alors il est probablement si grand que tout motif répétitif se situe en dehors de l'univers observable.

Géométrie sphérique

Nous connaissons tous les sphères bidimensionnelles - la surface d'une boule, orange, Terre. Mais que signifierait pour notre univers une sphère tridimensionnelle?

Il est difficile d'imaginer une sphère tridimensionnelle, mais elle est facile à décrire à l'aide d'une simple analogie. Tout comme une sphère bidimensionnelle est une collection de tous les points à une distance fixe d'un certain point central dans un espace tridimensionnel ordinaire, une sphère tridimensionnelle (ou «trois sphères») est une collection de tous les points à une distance fixe d'un certain point central dans un espace quadridimensionnel.

La vie dans trois domaines est très différente de la vie dans un espace plat. Pour ressentir cela, imaginez que vous êtes un être à deux dimensions vivant dans une sphère à deux dimensions. Une sphère bidimensionnelle est l'Univers entier - vous ne pouvez pas voir et ne pouvez accéder à aucun des espaces tridimensionnels environnants. A l'intérieur de cet univers sphérique, la lumière se déplace sur les chemins les plus courts: en grands cercles. Pour vous, ces grands cercles semblent être des lignes droites.

Imaginez maintenant que vous et votre ami à deux dimensions traîniez au pôle Nord et que votre ami se promène. Pendant que votre ami marche, au début, il deviendra de moins en moins dans votre espace visuel, ainsi que dans notre monde ordinaire (bien qu'il ne diminue pas aussi rapidement que nous en avons l'habitude). Cela est dû au fait que tandis que votre espace visuel augmentera, votre ami y occupera de moins en moins d'espace:

Mais dès qu'un ami passe l'équateur, quelque chose d'étrange se produit: il commence à sembler de plus en plus, plus il va loin . En effet, le pourcentage qu'il occupe dans votre espace visuel augmente:

lorsque votre ami est à trois mètres du pôle Sud, il aura l'air aussi grand que trois mètres de vous:

Et quand il atteint le pôle Sud, il peut être vu dans toutes les directions, il remplira donc tout votre horizon visuel:

s'il n'y a personne au pôle Sud, votre horizon visuel est encore plus étrange: vous-même. En effet, la lumière émanant de vous voyagera à travers la sphère jusqu'à ce qu'elle vous revienne.

Cela peut être corrélé à la vie dans la sphère tridimensionnelle. Chaque point sur les trois sphères a un point opposé, et s'il y a un objet là-bas, nous le verrons comme arrière-plan, comme si c'était le ciel. S'il n'y a rien là-bas, alors nous nous considérerons comme un arrière-plan - comme si notre extérieur était superposé à un ballon, puis tourné à l'envers et gonflé pour devenir un horizon entier.

Les trois sphères sont un modèle fondamental de géométrie sphérique, mais ce n'est pas le seul de ces espaces. Tout comme nous avons construit des espaces plats en coupant un morceau de l'espace euclidien et en le collant ensemble, nous pouvons construire des espaces sphériques en collant un morceau approprié à partir de trois sphères. Chacune de ces formes collées, comme dans le tore, aura l'effet d'un «labyrinthe de reflets», mais dans ces formes sphériques il n'y a qu'un nombre limité de pièces à travers lesquelles vous pouvez passer.

Notre univers peut-il être sphérique?

Même les gens les plus narcissiques ne peuvent pas s'imaginer comme la toile de fond de tout le ciel nocturne. Mais, comme dans le cas du tore plat, le fait que nous ne voyons aucun phénomène ne signifie pas qu'il ne peut pas exister. La circonférence d'un univers sphérique peut être plus grande que la taille de l'univers observable, ce qui rend le fond trop éloigné pour être vu.

Mais contrairement au tore, l'univers sphérique peut être détecté à l'aide de mesures purement locales. Les formes sphériques diffèrent de l'espace euclidien infini non seulement dans la topologie globale, mais aussi dans la géométrie la plus fine. Par exemple, du fait que les lignes droites en géométrie sphérique sont de grands cercles, les triangles sont plus gonflés que leurs homologues euclidiens et la somme des angles est supérieure à 180 degrés:

En fait, la mesure des triangles cosmiques est le principal moyen utilisé par les cosmologistes pour vérifier si l'univers est courbé. Pour chaque point chaud ou froid sur le fond des micro-ondes cosmiques, son diamètre horizontal et sa distance à la Terre sont connus, ce qui forme les trois côtés du triangle. Nous pouvons mesurer l'angle auquel un point se cache dans le ciel nocturne - l'un des trois angles d'un triangle. Vérifiez ensuite si une combinaison de la longueur des côtés et de l'angle mesuré convient à une géométrie plate, sphérique ou hyperbolique (dans laquelle la somme des angles du triangle est supérieure à 180 degrés).

La plupart de ces études, ainsi que d'autres mesures de courbure, indiquent que l'Univers est plat ou très proche du plat. Mais une équipe de recherche a récemment déclaré que certaines des données obtenues avec le télescope spatial Planck en 2018 indiquent l'existence d'un univers sphérique. D'autres chercheurs s'opposent à cette affirmation, estimant qu'il s'agit très probablement d'un accident statistique.

Géométrie hyperbolique

Contrairement à une sphère qui se plie d'elle-même, la géométrie hyperbolique se déroule vers l'extérieur. Il s'agit de la géométrie des chapeaux flexibles, des récifs coralliens et des selles. Le modèle de base de la géométrie hyperbolique est l'espace infini, comme un espace euclidien plat. Mais comme la géométrie hyperbolique se propage vers l'extérieur beaucoup plus rapidement que le plat, il n'y a aucun moyen de placer même un plan hyperbolique bidimensionnel à l'intérieur d'un espace euclidien ordinaire, à moins que nous ne voulions déformer sa géométrie. Ici, par exemple, la notion de plan hyperbolique appelé disque de Poincaré est déformée:

De notre point de vue, les triangles près du cercle frontière semblent beaucoup plus petits que près du centre, mais du point de vue de la géométrie hyperbolique, tous les triangles ont la même taille. Si nous essayions de faire des triangles de la même taille - par exemple, en utilisant du matériel d'étirement pour notre disque et en augmentant chaque triangle tour à tour, en partant du centre - notre disque ressemblerait à un chapeau flexible et se plierait de plus en plus comme nous avons fait notre chemin. À l'approche de la frontière, ce virage deviendrait de plus en plus incontrôlable.

Du point de vue de la géométrie hyperbolique, le cercle frontière est infiniment éloigné de tout point interne, car pour cela il faut croiser une infinité de triangles. Ainsi, le plan hyperbolique s'étend à l'infini dans toutes les directions, tout comme le plan euclidien. Mais du point de vue de la géométrie locale, la vie dans le plan hyperbolique est très différente de ce à quoi nous sommes habitués.

En géométrie euclidienne simple, un cercle est directement proportionnel à son rayon, mais en géométrie hyperbolique, le cercle croît de façon exponentielle par rapport au rayon. Nous pouvons voir un amas exponentiel dans les masses de triangles près de la limite d'un disque hyperbolique.

En raison de cette caractéristique, les mathématiciens aiment dire que dans un espace hyperbolique, il est facile de se perdre. Si votre ami vous laisse dans l'espace euclidien habituel, il commencera à paraître plus petit, mais cela se produira lentement, car votre cercle visuel ne se développe pas si vite. Dans l'espace hyperbolique, votre cercle visuel se développe de façon exponentielle, de sorte que bientôt votre ami aura l'air comprimé à un point exponentiellement peu profond. Si vous n'avez pas soigneusement suivi son itinéraire, il sera presque impossible de lui trouver un chemin.

Et en géométrie hyperbolique, la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180 degrés - par exemple, les triangles de notre mosaïque de disques de Poincaré ont des angles de 165 degrés:

Les côtés de ces triangles ne semblent pas droits, mais c'est uniquement parce que nous regardons la géométrie hyperbolique à travers une lentille déformée. Pour un résident du disque de Poincaré, ces courbes sont des lignes droites, car le moyen le plus rapide pour se rendre du point A au point B est de couper le chemin vers le centre:

il existe un moyen tout à fait naturel de créer un analogue tridimensionnel du disque de Poincaré - il suffit de faire une boule en trois dimensions et de la remplir de formes tridimensionnelles qui deviennent moins lorsque vous approchez de la zone limite, comme des triangles dans le disque de Poincaré. Et tout comme dans la géométrie plane et sphérique, nous pouvons créer un certain nombre d'autres espaces hyperboliques tridimensionnels en découpant une pièce appropriée d'une boule hyperbolique tridimensionnelle et en collant ses faces.

Notre univers peut-il être hyperbolique?

La géométrie hyperbolique, avec ses triangles étroits et ses cercles exponentiellement croissants, n'est pas comme la géométrie de l'espace qui nous entoure. En effet, comme nous l'avons déjà vu, la plupart des mesures cosmologiques pointent vers un univers plat.

Mais en même temps, la possibilité que nous vivions dans un monde sphérique ou dans un monde hyperbolique n'est pas exclue, car de petits morceaux de ces deux mondes semblent presque plats. Par exemple, les petits triangles en géométrie sphérique ont des angles qui ne sont que légèrement supérieurs à 180 degrés, et les petits triangles en géométrie hyperbolique ont des angles qui ne sont que légèrement inférieurs à 180 degrés.

Ce n'est pas par hasard que les anciens croyaient que la Terre était plate - la courbure de la Terre était trop petite pour être détectable. Plus la forme sphérique ou hyperbolique est grande, plus chaque petite partie est plate. Par conséquent, si notre univers a une forme sphérique ou hyperbolique extrêmement grande, la partie que nous pouvons observer peut être si proche de la surface plate que sa courbure ne peut être détectée qu'à l'aide d'instruments ultra-précis que nous n'avons pas encore inventés.

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