Théories des probabilités: préparer une entrevue et résoudre les «paradoxes»

Chaque année, je participe à une centaine d'entretiens dans des projets pédagogiques JetBrains : interview des candidats au Computer Science Center et au programme de master d'entreprise de l'ITMO (soit dit en passant, recrutementva au programme en ce moment). Tous les entretiens sont organisés selon un modèle: nous vous demandons de résoudre les problèmes sur place et de poser des questions de base sur les disciplines que les étudiants ont étudiées dans les universités. La plupart des questions que nous posons sont assez simples - vous devez donner une définition d'un concept, formuler une propriété ou un théorème. Malheureusement, dans une proportion importante d'étudiants, toutes ces définitions sont érodées immédiatement après les examens dans les universités. Il semblerait qu'il n'y a rien de surprenant? Dans le monde moderne, n'importe quelle définition peut être google en quelques secondes, si nécessaire. Mais l'incapacité de restaurer la définition de base indique un manque de compréhension de l' essence du sujet.

Si un malentendu sur l'algèbre ou l'analyse mathématique peut avoir peu d'effet sur votre vie, alors un malentendu sur la théorie des probabilités fait de vous une cible facile pour la tromperie et la manipulation. Les jugements sur les probabilités de divers événements sont si profondément ancrés dans notre vie quotidienne que la capacité de raisonner et de distinguer la vérité de l'ignorance ou de la manipulation est nécessaire. Dans cette brève revue, nous parlerons des concepts de base de la théorie des probabilités, apprendrons à formuler correctement des déclarations sur des processus aléatoires simples et analyserons quelques paradoxes. Une partie du matériel a été empruntée à la brochure de A. Shen «Probabilité: exemples et tâches» , que je recommande fortement pour une étude indépendante.

Avant de parler de définitions, nous devons nous mettre d'accord sur l'origine du hasard dans notre monde. Par exemple, pourquoi pensons-nous que le lancement de pièces est un processus aléatoire? Du point de vue de la physique classique, qui décrit les processus dans le macrocosme, tout est déterminé, par conséquent, par les paramètres du tirage au sort, il est possible de déterminer sans ambiguïté de quel côté il tombera. Cependant, dans la pratique, il s'avère qu'il est impossible de mesurer et de prendre en compte toutes les forces qui affectent réellement la pièce, et donc le résultat de cette expérience est considéré comme aléatoire. Il est important de comprendre que cette question n'est pas une question de théorie des probabilités. La théorie des probabilités fonctionne avec des modèles - pour cela, une pièce dans laquelle l'aigle et la queue tombent aussi souvent, et une pièce dans laquelle il y a deux fois plus d'aigles que de queues ne sont que deux modèles différents. La question estlequel des modèles est le plus cohérent avec la réalité observée est une question de notre expérience (l'expérience montre que la fréquence de l'aigle et de la queue est approximativement la même). Ainsi, la première chose dont nous avons besoin pour convenir d'un modèle.

Définitions

Pour déterminer un modèle qui nous permet de parler de probabilités, nous devons décrire un espace probabiliste .

L'espace de probabilité dans le cas final le plus simple se compose de nombreux résultats élémentaires $$$\Omega = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}$ et un ensemble de nombres non négatifs$$$\{p_1,p_2,\dotsc, p_n\}$ tels que leur somme soit$$$1$ . Très souvent, tous les résultats sont considérés comme également probables, c'est-à-dire$$$p_1=p_2=\dotsb=p_n$ . Dans un cas infini plus complexe, il est nécessaire d'isoler séparément l'ensemble des événements qui nous intéressentet de définir les probabilités des événements à l'aide d'une fonction appeléemesure de probabilité. Un événementest un ensemble composé d'événements élémentaires, c'est-à-dire tout sous-ensemble$$$\Omega$ . Probabilité d'événement$$$E\subseteq \Omega$ , noté par$$$\Pr[E]$$$$p_i$, quoi $$$a_i\in E$. En particulier, la probabilité d'un événement vide$$$E = \emptyset$ est égal à zéro et aux événements $$$E=\Omega$ égal à 1. Dans le cas où tous les résultats sont considérés comme également probables, la probabilité d'un événement est simplement égale au rapport entre le nombre de résultats contenus dans l'événement et le nombre total de résultats élémentaires, c'est-à-dire $$$\Pr[E] = |E| / |\Omega|$.

La probabilité de tout événement est comprise entre 0 et 1. Si la probabilité de l'événement est nulle, alors un tel événement est appelé impossible , si la probabilité de l'événement est égale à l'unité, alors un tel événement est appelé fiable .

Il est important que sans déterminer l'espace de probabilité, il soit impossible (au sens mathématique) de parler de la probabilité de quelque chose.

Commentaire

Sur la base de la définition d'un espace de probabilité, il est facile de faire la distinction entre la théorie des probabilités et les statistiques: la théorie des probabilités prédit des fréquences basées sur la connaissance de l'espace des probabilités, et les statistiques résolvent le problème inverse - déterminent les paramètres d'un espace de probabilité inconnu en fonction des fréquences observées.

Exemple: Coin Flip

Nous supposons que la pièce frappée est "correcte" ou "symétrique", c'est-à-dire il tombe aussi souvent avec un aigle et une queue, et ne monte jamais sur un bord. Ensuite, l'ensemble des résultats élémentaires se compose de deux éléments,$$$\Omega = \{ \text{}, \text{}\}$. Puisque nous avons convenu que la pièce est «correcte», il est raisonnable de supposer que$$$p_1 = p_2 = 1/2$. Maintenant, listons tous les événements possibles et leurs probabilités.

1. Ni l'aigle ni la queue ne tomberont. Cela correspond à l'événement.$$$E = \emptyset$, $$$\Pr[E] = 0$.
2. Un aigle va tomber $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
3. Les queues tomberont $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
4. Un aigle ou des queues tomberont $$$E = \{\text{}, \text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2 + 1/2 = 1$.

Exemple: Dice Flip

Comme dans le cas de la pièce, nous supposerons que le dé à jouer tombe tous les visages également souvent. Ensuite, l'ensemble des résultats élémentaires se compose de six éléments,$$$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, toutes leurs probabilités sont égales $$$p_1 = p_2 = \dotsb = p_6 = 1/6$. Le nombre d'événements différents dans cette expérience est$$$64 = 2^6$(c'est le nombre de tous les sous-ensembles d'un ensemble de 6 éléments). Étonnamment, la question «combien d'événements différents existent dans une expérience avec un lancer de dés?», Selon mon observation, déroute 9 candidats sur 10.
Regardons quelques exemples d'événements.

1. Drop 1 $$$E = \{1\}$, $$$\Pr[E] = 1/6$.
2. Il y aura un nombre supérieur à trois, $$$E = \{4, 5, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$.
3. Un multiple de trois apparaîtra, $$$E = \{3, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 = 1/3$.

Exemple: deux tours de pièces

Sous les mêmes hypothèses sur la "symétrie" de la pièce, nous définissons l'ensemble des résultats élémentaires comme l'ensemble des paires ordonnées

$$

$$\Omega = \{ (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}.$$

La symétrie de la pièce nous permet de conclure que tous les résultats élémentaires sont également probables, c'est-à-dire $$$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1/4$.
Exemples d'événements.

1. Au premier rouleau, queues $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
2. Au moins une queue tombera $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{}),(\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4+1/4+1/4 = 3/4$.
3. La pièce sera lâchée deux fois sur un côté, $$$E = \{(\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

Exemple: sélection d'un nombre aléatoire dans le calendrier 2020

De nombreux résultats élémentaires $$$\Omega = \{1, 2,\dotsc,31\}$. Comment choisir ses probabilités? Cela dépend de la façon dont l'expérience est organisée. Par exemple, nous pouvons arracher une feuille aléatoire d'un calendrier à découper et voir le numéro dessus. Le modèle le plus précis décrivant cette expérience serait un espace de probabilité avec$$$366$résultats où le même nombre de mois différents diffèrent. Et puis la probabilité que le nombre 1 tombe est la somme des probabilités de résultats élémentaires correspondant aux premiers nombres de mois différents, c'est-à-dire$$$12\cdot 1/366$. Mais pour plus de commodité, nous pouvons considérer un ensemble plus simple de résultats élémentaires$$$\Omega$ avec 31 résultats, mais avec des probabilités différentes: $$$p_1 = p_2 =\dotsb =p_{29} = 12/366$, $$$p_{30} = 11/366$, $$$p_{31} = 7/366$.

Un exemple d'événement: "le jour du mois dessiné est divisé par 10". Cela correspond à l'événement.
$$$E = \{10,20,30\},\ \Pr[E] = p_{10} + p_{20} + p_{30} = (12+ 12+11)/366 = 35/366$.

Commentaire

Une fois que nous avons déterminé l'espace de probabilité (c'est-à-dire que nous avons décidé de l'ensemble $$$\Omega$et les probabilités que nous attribuons aux résultats élémentaires), alors la question de la probabilité d'un événement devient purement arithmétique. En d'autres termes, dès que nous avons choisi un modèle mathématique qui, de notre point de vue, décrit le processus physique, les probabilités de tous les événements sont déterminées de manière unique.

Tâches d'autotest

Dans chaque problème, il faut d'abord décrire l'espace de probabilité, et ensuite seulement faire les calculs.

1. : . , .
2. .
3. 1 20. , , :
   
   • ;
   • 3;
   • 2, 3;
   • 2, 3;
   • 9;
   • , 3.

,

Considérez l'expérience suivante: lancez deux pièces et regardez de quel côté elles sont tombées. On pourrait dire que dans ce problème, il n'y a que trois résultats: deux queues, deux aigles et un aigle et des queues. Si nous supposons que tous les résultats sont également possibles, il s'avère que la probabilité de chute de deux aigles est égale à 1/3. Les mathématiques ne nous interdisent pas d'envisager un tel espace probabiliste, mais la vérification expérimentale suggère que dans le monde physique la réponse est plutôt proche de 1/4. Par conséquent, vous ne devez pas supposer par défaut que tous les résultats sont également probables, sinon nous obtiendrons 1/2 en réponse à une question sur la probabilité d'une réunion de dinosaures.

Formule de probabilité

On dit que deux événements sont incompatibles si leur intersection est égale à un ensemble vide. Autrement dit, aucun résultat ne correspondrait aux deux événements. Exemple: les événements «un nombre pair est tombé sur un dé» et «un ou trois sont tombés sur un dé» sont incompatibles.

Les événements incompatibles ont la propriété suivante. Laisser être$$$A$ et $$$B$- deux événements incompatibles. La probabilité qu'au moins l'un d'entre eux se produise est égale à la somme des probabilités$$$A$ et $$$B$, en d'autres termes $$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$un événement $$$A\cup B$également appelé la somme des événements$$$A$ et $$$B$ et dénote $$$A+B$. Cette propriété n'est pas exécutée pour les événements arbitraires. Par exemple, les événements «un nombre pair est tombé sur un dé» et «un nombre supérieur à quatre est tombé sur un dé» ne sont pas incompatibles et la somme de leurs probabilités (5/6) est supérieure à la probabilité de leur somme (4/6).

Considérez le problème suivant. Dans le sac sont des boules de trois couleurs: blanc, jaune et noir. De plus, on sait que le blanc$$$10\%$ du total, et jaune - $$$15\%$. Quelle est la probabilité qu'une balle tirée au hasard soit brillante? Un comptage précis montre que si dans un sac$$$N$ balles, puis l'événement en question correspond à $$$0.1N + 0.15N = 0.25N$ balles, c.-à-d. $$$25\%$du nombre total de balles. Les événements «a tiré une balle blanche» et «a tiré une balle jaune» sont incompatibles, donc la probabilité que la balle soit légère est égale à la somme des probabilités de ces événements.

Les événements sont appelés opposés si exactement l'un d'eux se produit toujours. De cette définition, nous pouvons conclure que, d'une part, ces événements sont incompatibles, et d'autre part, leur probabilité totale est 1. Un événement opposé à l'événement$$$E$exprimé en $$$\Omega\setminus E$ (si tous les résultats élémentaires ont une probabilité positive, alors c'est le seul événement de ce type).

Défi d'autotest

Sélectionnez un nombre au hasard $$$n$ de 1 à 100. Considérez les événements suivants:

1. nombre $$$n$ uniformément;
2. nombre $$$n$ impair;
3. nombre $$$n$ divisible par 4;
4. nombre $$$n$ a un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 4;
5. nombre $$$n$ a un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 4.

Lesquels de ces événements sont incompatibles? (indiquer toutes les paires)

Formule d'inclusion et d'exclusion

Comment déterminer la probabilité de la somme de deux événements qui ne sont pas incompatibles? Prenons l'exemple suivant. Parmi les élèves$$$15\%$ pour cent connaissent le français et $$$20\%$connaître l'allemand. La proportion de ceux qui parlent les deux langues au total$$$5\%$. Quelle est la proportion d'élèves qui connaissent au moins une de ces deux langues? Si nous dessinons un diagramme, si nous additionnons les parts de ceux qui connaissent le français et ceux qui connaissent l'allemand, alors nous compterons deux fois ceux qui connaissent les deux langues. Par conséquent, la réponse:$$$15\% + 20\% - 5\%= 30\%$.

La même question peut également être formulée dans le langage de la théorie des probabilités: avec quelle probabilité un élève choisi au hasard connaît-il au moins une des deux langues? Un raisonnement similaire nous amène à la formule suivante:

$$

$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A\cap B],$$

Où $$$A\cap B$ Est une intersection d'événements $$$A$ et $$$B$, c'est à dire. cet événement se compose des résultats élémentaires qui entrent simultanément dans$$$A$, et en $$$B$(un tel événement est aussi appelé un produit d'événements$$$A$ et $$$B$ et dénote $$$\Pr[AB]$)

Défi d'autotest

Il est connu que les étudiants en classe avec des égalités en algèbre représentent 25% et les étudiants avec des égalités en géométrie représentent 15%. Combien d'élèves ont des égalités en algèbre et en géométrie, si les élèves qui n'ont aucune égalité dans aucune des matières représentent 70%?

Probabilite conditionnelle

Encore une fois, considérons le problème des étudiants et des langues étrangères. Quelle proportion parmi les étudiants qui connaissent l'allemand connaît le français? La réponse est facile à comprendre en regardant l'image. Il est nécessaire de calculer le rapport entre le nombre d'élèves qui connaissent les deux langues et le nombre d'élèves qui connaissent l'allemand, c'est-à-dire$$$\frac{0.05N}{0.2N} = 25\%$. En ce qui concerne le langage de la théorie des probabilités, on peut se poser la question suivante: quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard connaisse le français, à condition qu'il sache l'allemand? Laissez les événements$$$A$ et $$$B$correspondent au fait qu’un étudiant choisi au hasard connaît respectivement le français et l’allemand. Ensuite, la probabilité souhaitée est appelée la probabilité conditionnelle d'occurrence$$$A$ à condition de $$$B$ et est désigné $$$\Pr[A\mid B]$. Par analogie, nous obtenons la formule suivante pour la probabilité conditionnelle:

$$

$$\Pr[A\mid B] = \frac{\Pr[A\cap B]}{\Pr[B]}.$$

Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard connaisse l'allemand, à condition qu'il connaisse le français?

À partir de la formule de probabilité conditionnelle, nous pouvons obtenir une formule pour la probabilité du produit de deux événements.

$$

$$\Pr[A\cap B] = \Pr[B] \cdot \Pr[A\mid B].$$

En mots: pour déterminer la probabilité que les deux événements se produisent $$$A$ et $$$B$, vous devez multiplier la probabilité de l'événement $$$B$ sur la probabilité conditionnelle d'un événement $$$A$ avec connu $$$B$.

Défi d'autotest

Dans une classe de 50% de garçons; 60% des garçons aiment la crème glacée. Quelle est la proportion de garçons qui aiment la crème glacée parmi les élèves de la classe? Comment reformuler cela dans le langage de la théorie des probabilités?

Indépendance

Envisagez une expérience avec le lancement de deux dés: rouge et bleu. Il y a 36 résultats dans cette expérience que nous considérons également possibles. La probabilité qu'un triple tombe sur un dé rouge est égale à$$$1/6$ (6 résultats sur 36), la probabilité qu'un triple tombe sur un cube bleu est également égale $$$1/6$. Quelle est la probabilité qu'un trois tombe sur un cube bleu, à condition qu'il soit tombé sur le rouge? En utilisant la formule de probabilité conditionnelle, vous devez calculer le rapport entre la probabilité d'un triple sur les deux cubes et la probabilité d'un triple sur le rouge. On a$$$\frac{1/36}{1/6} = 1/6$. Notez que la présence d'informations qu'un triple est tombé sur un cube rouge n'affecte pas la probabilité qu'un triple tombe sur le bleu. Ces événements seront appelés indépendants . Nous dirons que les événements$$$A$ et $$$B$ indépendant si

$$

$$\Pr[A\mid B] = \Pr[A].$$

(Cette définition suppose que les deux probabilités d'événements $$$A$ et $$$B$strictement supérieur à zéro.)

Une définition alternative peut être obtenue en utilisant la définition de probabilité conditionnelle: deux événements sont appelés indépendants si la probabilité de leur produit est égale au produit de leurs probabilités.

$$

$$\Pr[AB] = \Pr[A]\cdot \Pr[B].$$

Tâches d'autotest

1. Les événements «connaître l'allemand» et «connaître le français» sont-ils indépendants?
2. Jetez un dé. Les événements sont-ils indépendants:
   
   1. "Même tombé" et "impair tombé",
   2. "Même tombé" et "2 sont tombés",
   3. "Même tombé" et "un multiple de trois est tombé".

L'étape suivante est une conversation sur la formule de Bayes, qui est dérivée de la définition de la probabilité conditionnelle. Réécrivez la définition:

$$

$$P[B\mid A] = \frac{P[A\cap B]}{P[A]}\quad \Rightarrow\quad P[A\cap B] = P[B\mid A]\cdot P[A].$$

Et en remplaçant cela dans la définition, nous obtenons la formule de Bayes

$$

$$P[A\mid B] = \frac{P[A\cap B]}{P[B]} = \frac{P[B\mid A]\cdot P[A]}{P[B]},$$

ce qui vous permet d'échanger l'événement et la condition sous le signe de la probabilité. Je pense que pour appliquer la formule Bayes, vous devez écrire un article séparé, par exemple, un .

Nous terminerons ici avec des définitions et avant de passer aux paradoxes, discutons et dans quels cas nous pouvons parler de probabilité.

Quand peut-on parler de probabilité?

Je propose d'examiner plusieurs questions qui illustrent l'importance de la formulation.

Quelle est la probabilité qu'en marchant le long de la rue vous rencontriez un dinosaure?

Je pense qu'il est clair pour tout le monde que ce n'est pas 1/2. Mais quand même, comment répondre correctement à cette question? Le problème avec cette question est qu'elle est formulée incorrectement - il est impossible de déterminer sans ambiguïté l'espace de probabilité à partir de celle-ci, et donc il est impossible de parler de probabilité non plus. Vous pouvez suggérer une autre formulation de la question, dans laquelle elle sera évidente. Par exemple, à partir de demain, dans chaque rue de la ville, à chaque minute avec une probabilité de 0,00001, un dinosaure se matérialise et existe pendant une heure sans quitter nulle part. Dans cette formulation, le processus aléatoire est compréhensible et vous pouvez évaluer la probabilité d'une réunion si vous déterminez comment la marche est organisée, combien de temps elle prend et combien de rues elle touche.


Vous avez lancé une pièce et sans la regarder, vous l'avez couverte de la main. Quelle est la probabilité que la pièce soit retournée aigle?

Je voudrais dire que dans ce cas, la probabilité est certainement 1/2. Cependant, à proprement parler, il n'y a plus de processus aléatoire. La pièce est déjà tombée d'un côté. Ce n'est pas parce que vous ne savez pas que quelque chose est aléatoire. Par exemple, si vous ne connaissez pas la solution de l'équation, cela ne signifie pas qu'un nombre quelconque peut être sa solution avec une probabilité égale. Par conséquent, dans ce cas, l'espace de probabilité ne peut pas être décrit. Vous pouvez reformuler la question, par exemple, comme ceci: "Quelle est la probabilité que vous deviniez le côté de la pièce, si au hasard choisissez également un aigle ou des queues?". Dans cette formulation, il est déjà clair ce qu'est un processus aléatoire (choisir un aigle ou une queue), comment déterminer l'espace de probabilité et obtenir la réponse 1/2. De plus, dans une telle formulation, il est tout à fait sans importance que la pièce soit «honnête» ou non.

Commentaire. Notre confiance en quelque chose peut également être décrite en termes de théorie des probabilités - cela se fait dans le cadre de l' interprétation bayésienne de la théorie des probabilités. Cette interprétation nous permet d'utiliser l'appareil de la théorie des probabilités pour évaluer notre confiance dans la vérité de certaines affirmations (pas nécessairement aléatoires) sur la base des informations que nous connaissons. Cependant, il convient de noter que dans ce cas, le concept de probabilité devient subjectif - le même événement du point de vue de différents observateurs peut avoir des probabilités différentes. Par exemple, au poker, vous pouvez considérer la probabilité d'une pique comme positive (puisque vous ne la voyez pas sur la table et dans votre main), et votre adversaire, qui a déjà une pique dans votre main, évaluera la probabilité qu'elle tombe à zéro. Dans ce cas, on peut également proposer une option dans laquelle les deux estimations s'avèrent être différentes de la probabilité «réelle», objective. Il n'y a pas de contradiction, car ce sont trois tailles différentes (les joueurs ont des informations différentes,et la probabilité objective dans ce cas correspond à une information complète).

Tu t'es réveillé le matin. Quelle est la probabilité qu'aujourd'hui soit dimanche?

Je pense que vous avez déjà compris que la réponse 1/7 est incorrecte, ou plutôt, la question est incorrecte. On ne sait pas exactement ce qu'est un processus aléatoire. Pour obtenir 1/7, vous devez clarifier la question, par exemple, comme ceci: vous vous endormez le dimanche soir et vous réveillez au hasard un matin de la semaine prochaine, quelle est la probabilité que vous vous réveilliez le dimanche? Mais même avec cette précision, si vous posez des questions sur le jour de la semaine après votre réveil (après un choix aléatoire), une telle question restera incorrecte - sinon vous devez supposer que vous êtes dans une superposition de tous les jours de la semaine précédente jusqu'à ce que vous regardiez le calendrier.


J'ai écrit un certain nombre (spécifique) au tableau et déclare que j'ai réussi à le tester deux fois pour la simplicité avec un algorithme probabiliste, ce qui est confondu avec une probabilité de moins de 1%. Quelle est la probabilité que ce nombre soit premier?

Je voudrais dire que ce nombre est premier avec une probabilité de plus de 99,99%. Cependant, d'un point de vue mathématique, un nombre peut être simple ou non. Par conséquent, il est incorrect de le dire. Une fois l'algorithme terminé, il n'y a plus rien d'aléatoire dans cette formulation du problème, donc il n'y a plus de probabilité non plus. Il serait juste de dire que vous êtes sûr à 99,99% que ce nombre est premier, mais vous ne pouvez le déclarer que si vous me faites confiance à 100% :)

Paradoxes

Dans cette section, nous allons essayer d'analyser plusieurs "paradoxes" bien connus de la théorie des probabilités et comprendre qu'ils n'ont pas de contradictions ou que les questions sont posées incorrectement.

Le paradoxe de Monty Hall

C'est un paradoxe très célèbre . De nombreuses copies ont été cassées à son sujet, même des mathématiciens éminents ont donné la mauvaise réponse.

Imaginez que vous êtes devenu un participant à un jeu dans lequel vous devez choisir l'une des trois portes. Il y a une voiture derrière l'une des portes, des chèvres derrière deux autres portes. Vous sélectionnez l'une des portes, par exemple le numéro 1, après quoi l'hôte, qui sait où se trouve la voiture et où se trouvent les chèvres, ouvre l'une des portes restantes, par exemple le numéro 3, derrière laquelle se trouve la chèvre. Après cela, il vous demande si vous souhaitez modifier votre choix et choisir la porte numéro 2? Vos chances de gagner une voiture augmenteront-elles si vous acceptez l'offre de l'hôte et changez votre choix?

Comme le suggère Wikipedia , pour que la tâche soit correctement définie, nous devons clarifier que le participant au jeu connaît à l'avance les règles suivantes:

1. la voiture est également susceptible d'être placée derrière l'une des trois portes;
2. le présentateur sait où se trouve la voiture;
3. dans tous les cas, le leader doit ouvrir la porte avec la chèvre (mais pas celle choisie par le joueur) et inviter le joueur à changer de choix;
4. si le présentateur a le choix de l'une des deux portes à ouvrir, il en choisit une avec la même probabilité.

Si vous n'êtes pas familier avec ce paradoxe, alors je vous suggère de réfléchir pendant quelques minutes à la bonne réponse.


Afin de répondre à la question posée, découvrons ici ce qu'est un processus aléatoire. La clarification montre que le processus aléatoire n'est mentionné qu'aux paragraphes 1 et 4: «la voiture est également susceptible d'être située derrière l'une des trois portes» et «si le présentateur a le choix laquelle des deux portes ouvrir, il choisit l'une d'entre elles avec la même probabilité». La question à laquelle nous devons apprendre à répondre est: "Vos chances de gagner une voiture augmenteront-elles si vous acceptez l'offre de l'hôte et changez votre choix?" Ceux. on nous demande laquelle des deux stratégies donne une plus grande probabilité de gagner. Je note que la condition numéro 4 n'affecte pas le fait de gagner le joueur, donc cela n'a aucun sens de l'inclure dans l'espace des probabilités. Par conséquent, il est proposé de choisir un espace de probabilité avec de nombreux résultats élémentaires.$$$\Omega = \{1,2,3\}$correspondant au numéro de porte derrière lequel se trouve la voiture et aux probabilités $$$p_1=p_2=p_3 = 1/3$. Considérons maintenant deux stratégies du joueur: «laisser la porte sélectionnée», notons$$$S_1$, et «change la porte», on désigne $$$S_2$.

Nous ne savons pas comment le joueur choisit la première porte, mais nous n'avons pas besoin de savoir. Il suffit de vérifier le fonctionnement de la stratégie dans toutes les élections à première porte. Désigner par$$$d$ la porte que le joueur a choisie initialement, et à travers $$$x$- la porte derrière laquelle la voiture est cachée. Alors pour tout$$$d \in \{1,2,3\}$ événement "joueur gagné en utilisant la stratégie $$$S_1$"Correspond au fait qu'il a deviné la bonne porte du premier coup. Formellement parlant, nous sommes intéressés par l'événement.$$$E_1 = \{d\}$, c'est à dire. $$$x = d$et sa probabilité $$$1/3$. Événement «joueur gagné en utilisant la stratégie$$$S_2$»Correspond à l'événement inverse $$$E_2 = \Omega\setminus \{d\}$, c'est à dire. $$$x \neq d$et sa probabilité $$$2/3$. Il reste à noter une fois de plus que si cette analyse est vraie pour tout choix$$$d$Par conséquent, c'est vrai avec n'importe quelle stratégie pour choisir la première porte. De plus, nous notons que nous n'avons utilisé en aucune façon la condition 4.

Comme vous pouvez le voir, il n'y a pas d'ambiguïtés ici, cette tâche est appelée un paradoxe uniquement parce que la réponse peut ne pas correspondre à l'intuition. Mais cela arrive assez souvent en mathématiques.

Le paradoxe d'un garçon et d'une fille

Je cite Wikipédia .

Le problème a été formulé pour la première fois en 1959, lorsque Martin Gardner a publié l'une des premières versions de ce paradoxe dans Scientific American, intitulée «Le problème des deux enfants», où il a cité la déclaration suivante:

• M. Jones a deux enfants. L'enfant aîné est une fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles?
• M. Smith a deux enfants. Au moins un enfant est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons?

Gardner lui-même a d'abord répondu $$$1/2$ et $$$1/3$respectivement, mais s'est rendu compte par la suite que la situation dans le deuxième cas est ambiguë. La réponse à la deuxième question peut être$$$1/2$ selon la façon dont il a été découvert que l'un des enfants est un garçon.

Espace probabiliste donné $$$\Omega = \{\text{},\text{},\text{},\text{}\}$ et toutes les probabilités sont égales $$$1/4$. Dans le premier cas, nous savons que l'événement est terminé$$$E = \{\text{},\text{}\}$. Par conséquent, sous réserve$$$E$la probabilité de deux filles est de 1/2.

Dans le second cas, tout est plus compliqué, car on ne sait pas comment nous avons appris que M. Smith a l'un des garçons des enfants. Deux options peuvent être suggérées:

1. Une personne au hasard avec deux enfants est sélectionnée et demande s'il y a un garçon parmi ses enfants. Ensuite, la probabilité de deux garçons est de 1/3, car cela correspond à la probabilité de MM soumis à l'événement$$$E = \{\text{},\text{},\text{}\}$.
2. Une personne au hasard avec deux enfants est sélectionnée, son enfant au hasard (aîné ou plus jeune) est sélectionné et son sexe est demandé. Cette expérience correspond à un autre espace probabiliste dans lequel il faut encore prendre en compte le choix de l'enfant à qui on l'interroge. Il aura 8 résultats élémentaires, et quatre d'entre eux nous conviendront (MM a été interrogé sur l'aîné, MM a été interrogé sur le plus jeune, MD a été interrogé sur le plus âgé, DM a été interrogé sur le plus jeune). Deux résultats nous conviennent, donc la réponse est 1/2.

Le paradoxe de la belle au bois dormant

La discussion de ce paradoxe est motivée par ce post sur le Habré , qui a suscité une large discussion, mais il y a une description de ce paradoxe sur Wikipédia .

Le sujet testé (Sleeping Beauty) reçoit une injection de somnifères. Une pièce symétrique est lancée. Dans le cas de la perte d'un aigle, il est réveillé et l'expérience se termine là. Dans le cas des queues, ils la réveillent, lui donnent une seconde injection (après quoi elle oublie le réveil) et se réveillent le lendemain sans jeter de pièces (dans ce cas, l'expérience dure deux jours de suite). Toute la procédure est connue de Beauty, mais elle n'a pas d'informations sur le jour où elle a été réveillée.

Imaginez-vous à la place de la Belle au bois dormant. Tu t'es reveillé. Quelle est la probabilité qu'une pièce de monnaie ait fait faillite?

Il est proposé d'envisager deux solutions alternatives avec des résultats différents.

Solution 1

Vous ne disposez d'aucune information sur le résultat d'une perte de pièces et d'éveils précédents. Comme on sait que la pièce est juste, on peut supposer que la probabilité de queues$$$1/2$.

Décision 2

Faisons l'expérience 1000 fois. La Belle au bois dormant est réveillée en moyenne 500 fois avec un aigle et 1000 fois avec une queue (car lorsque la queue tombe, la Belle au bois dormant est sollicitée 2 fois). Par conséquent, la probabilité de queues$$$2/3$.

Il semble que les deux décisions peuvent prétendre être correctes. Cependant, pour tenter de déterminer l'espace de probabilité, de sérieuses difficultés nous attendent. Qu'est-ce qu'un processus aléatoire? Le fait est que lorsque la Belle au bois dormant se réveille, il n'y a plus de processus aléatoire. Le choix est déjà fait. Elle ne connaît pas le résultat de ce choix, mais il n'y a plus rien d'accidentel. Cela nous ramène à l'exemple des dinosaures. Si vous ne savez pas s'il y a un dinosaure au coin de la rue, cela ne signifie pas qu'il est là avec une probabilité de 1/2. Par conséquent, «Décision 1» ne répond pas à la question de la probabilité, mais à la question du degré de confiance de la Belle au bois dormant. Et «Solution 2» suggère d'envisager une expérience complètement différente, dans laquelle une question complètement différente est posée, à laquelle il est proposé de répondre par un observateur externe avant le début de l'expérience.

Afin de donner à cette question un sens mathématique et d'obtenir la réponse souhaitée 2/3, vous devrez utiliser un dispositif philosophique, comme le «partage des âmes». Par exemple, comme ceci: vous entrez dans l'appareil de relocalisation de l'âme, après quoi une pièce est lancée pour la Belle au bois dormant, ce qui crée deux univers parallèles: l'un où la pièce est tombée par un aigle, et l'autre où elle tombe par la queue. Au total, dans l'espace-temps de ces deux univers alternatifs, il y a trois éveils différents de la Belle au bois dormant. L'appareil de relocalisation de l'âme avec une probabilité de 1/3 injecte votre âme dans le corps de la Belle au bois dormant peu avant l'un de ces réveils. Quelle est la probabilité que vous vous réveilliez dans un univers parallèle où les queues sont tombées?

Comme vous pouvez le voir, pour donner un sens mathématique à cette question, il faudra bien fantasmer, mais cela n'est pas fait par des mathématiciens, mais par des philosophes (plus dans ce post ). Dire que «les deux solutions sont correctes» est incorrect d'un point de vue mathématique.

Défi d'autotest

Expliquez pourquoi dans le problème des enfants d'un marin, avec lequel commence ce message , la question est posée incorrectement (c'est-à-dire que ni 1/2 ni 1/3 sont la bonne réponse).

Cas sans fin

Lorsque nous passons au cas infini, c'est-à-dire Si nous considérons des expériences avec un nombre infini de résultats élémentaires, alors tout devient beaucoup plus compliqué. Je n'entrerai pas dans les détails et ne déterminerai même pas l'espace de probabilité pour un cas infini, car cela nécessite des calculs plus complexes. Cependant, pour illustrer, je note que dans le cas infini, il peut y avoir de tels (mauvais) ensembles de résultats élémentaires qui n'ont pas de probabilité (ensembles incommensurables). De plus, pour tous les bons événements (mesurables), la probabilité est déterminée de manière unique. Par conséquent, ces «paradoxes» qui surviennent dans le cas infini se posent également en raison de l'ambiguïté du choix de l'espace de probabilité. Un bon exemple est le paradoxe de Bertrand, montrant comment des espaces probabilistes apparemment équivalents (en fait pas) conduisent à des résultats différents.

Au lieu d'une conclusion

Même si vous n'irez nulle part ou ne serez pas interviewé pour des postes techniques dans une entreprise informatique, vous voudrez peut-être actualiser vos connaissances en mathématiques, ce qui peut être utile en programmation. Je peux conseiller le cours en ligne du centre CS sur la théorie des probabilités , qui est lu par A.I. Les courageux.

PRIME

J'invite tout le monde à écouter une conférence d'Alexander Shen "Générateurs de" nombres aléatoires: théorie et pratique " ce dimanche 26 avril à 14h00 au Computer Science Club . La conférence sera donnée en zoom, pour participer vous devez vous inscrire à un cours ou vous abonner à la newsletter.