Environ un indicateur applicable pour l'évaluation visuelle des fonctions à croissance rapide

Pour de nombreux modèles d'épidémie - SIR, SEIR, etc. (pour plus de détails sur la description mathématique, voir, par exemple, www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html ), l'énoncé suivant est vrai: au stade initial de l'épidémie, lorsque le nombre de personnes infectées (I ) est beaucoup plus petite que la taille de la population, le taux de croissance du nombre de cas est proportionnel au nombre de cas:

$$$∂I/∂t=βI$où β est le coefficient caractérisant le taux d'infection.

La solution de cette équation est une fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle$$$f(t)=a^t$ L'équation fonctionnelle suivante est vraie:

$$

$$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$$

À. nombre$$$log_a⁡2$ est la période de doublement d'une fonction $$$f(t)=a^t$. Par définition, si la période de doublement pour une fonction lisse non décroissante est constante, alors la fonction est exponentielle.

Comme beaucoup d'autres à cette époque intéressante, je suis les taux de croissance du taux d'incidence, publiés par exemple sur le site .

Depuis un certain temps maintenant, les graphiques ont commencé à ressembler à quelque chose de similaire à un boomerang ou un bâton de hockey:


Figure 1

Les mêmes graphiques sur une échelle logarithmique donnent un peu plus d'informations:


Figure 2

On peut voir que le taux de croissance a tendance à ralentir, car la pente du logarithme de la fonction correspondante diminue, mais tous mais le mécontentement est méconnu de l'efficacité des mesures prises pour contenir l'épidémie.

Dynamique réelle du nombre d'infectés même dans des conditions d'applicabilité de l'approximation $$$∂I/∂t=βI$diffère de l’exponentielle, qui est principalement due aux mesures visant à contenir l’épidémie, ce qui conduit au fait que $$$β$cesse d'être une constante et devient une fonction décroissante (si efficace, bien sûr ) du temps.

En relation avec ce qui précède, il est proposé d'utiliser une période de doublement comme indicateur applicable pour l'évaluation visuelle de fonctions similaires à celle indicative. Dans le cas général, pour une fonction augmentant de façon monotone$$$f(t)$ période de doublement $$$D(t)$peut être déterminée à partir de l'équation fonctionnelle suivante:

$$

$$f(t+D(t))=2f(t)$$

Différence $$$D(t)$de constante indique la différence $$$f(t)$de l'exposant. Par rapport à la dynamique des taux d'incidence, la croissance$$$D(t)$(idéalement - à l'infini) indique l'efficacité des mesures prises pour contenir l'épidémie.

Dans le cas de fonctions définies sous forme tabulaire sur un ensemble discret, par exemple, sous la forme d'un tableau de la dépendance du nombre de cas à la date, il y a un arbitraire dans la définition$$$D(t)$. Comme le moyen le plus simple de déterminer$$$D(t)$on peut proposer ce qui suit:

Soit t∈ {0; 1; ...; N} un temps discret, I (t) est le nombre de cas dépendant du temps t. Ensuite, il est



également possible de déterminer la période de doublement



«pessimiste» Le «pessimisme» dans ce cas est dû au fait que la comparaison de I (t) est toujours faite avec I (o), c'est-à-dire avec une base "basse" par définition. Mais supposons-nous que la situation devrait s'améliorer avec le temps? Pour les optimistes, il existe une définition:



selon les définitions ci-dessus



Voici des exemples d'utilisation de l'indicateur ci-dessus:


Figure 3


Figure 4

Données sur l'Espagne, décrites dans la presse comme un exemple de maux de tête


Figure 5

Malgré le vertige évident au stade initial, l'Espagne semble toujours désespérée.

Et en conclusion - les pénis indigènes


Figure 6 Il est

réconfortant qu'à Rospotrebnadzor le taux de croissance de l'incidence du COVID-19 dans la Fédération de Russie ait été considéré comme lent .

Le fichier avec les données sources, les formules et les graphiques peut être pris ici.

Devoirs:

1. Décidez$$$D(t)$ l'équation $$$f(t+D(t))=2f(t)$pour les fonctions suivantes

$$$f(t)=t^t$
$$$f(t)=Γ(t)$où $$$Γ(t)$- fonction gamma
$$$f(t)=t^n$
$$$f(t)=ln⁡(t)$
Aussi pour $$$f(t)=ln⁡(t)$résous l'équation $$$f(t+D(t))=mf(t)$

2. Répondez à la question: comment la période définie de doublement de la fonction et la dérivée logarithmique de la fonction sont-elles liées?

Je demande aux lecteurs de ne pas publier de décisions dans les commentaires dans une semaine.