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À propos des mathématiques et des pandémies

Disclaimer 1

Je suis un mathématicien, PAS UN DOCTEUR, et je ne suis pas un épidémiologiste spécialisé, et j'ai écrit mon dernier travail scientifique sur le thème de la modélisation épidémiologique il y a 20 ans. Pour toutes les questions de santé, de coronavirus et de sens de la vie, consultez votre médecin, ne soyez pas stupides.
Clause de non-responsabilité 2

Vous trouverez ci-dessous un certain nombre de graphiques. Avant de les construire, j'ai délibérément calibré et simplifié le modèle, en désaccordant avec les paramètres de COVID-19. Ces graphiques démontrent le développement d'une épidémie d'un virus conditionnel dans une population conditionnelle dans un temps conditionnel. Ne faites pas de prédictions sur le cours de la pandémie actuelle, en vous appuyant sur mes photos, ne soyez pas des gens stupides.
Eh bien, allons-y maintenant! Pour des raisons évidentes, l'intérêt pour une pandémie a maintenant augmenté, et toutes sortes de modèles mathématiques et peu mathématiques parcourent les réseaux sociaux en packs. Le nombre d'épidémiologistes et de spécialistes des systèmes d'équations différentielles a complètement dépassé toutes les limites imaginables. Néanmoins, dans toute cette information émeute, percolation, imitation stochastique, les modèles sont étrangement ignorés. Nous corrigerons immédiatement cette lacune. Soit dit en passant, pour la première fois sur de tels modèles (et bien plus encore), j'ai lu dans un merveilleux livre de Gould et Tobochnik «La modélisation informatique en physique».

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La pandémie COVID-19, une infection respiratoire aiguë potentiellement grave causée par le coronavirus SARS-CoV-2 (2019-nCoV), a été officiellement annoncée dans le monde. Il y a beaucoup d'informations sur Habré sur ce sujet - rappelez-vous toujours qu'il peut être à la fois fiable / utile, et vice versa.

Nous vous invitons à critiquer toute information publiée.


Sources officielles

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Lavez-vous les mains, prenez soin de vos proches, restez à la maison dans la mesure du possible et travaillez à distance.

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Le modèle de percolation est d'une simplicité trompeuse. Pour commencer, nous créons un modèle informatique commun d'un individu participant à une épidémie. Quelque chose de pas trop compliqué: sain, malade, récupéré, mort, et les conditions de la transition entre les conditions. Sur la base de données statistiques sur la population étudiée, chaque instance spécifique est dotée au hasard de certaines caractéristiques, à l'âge, au sexe (si c'est important), à la force immunitaire, etc. Après avoir fait une poignée de telles instances instanciées, nous les plaçons au sommet d'un certain graphique imitant les connexions sociales. Après cela, il reste à fixer les conditions de transmission de l'infection entre individus, infecter les premiers chanceux et déclencher l'épidémie.

Le grand avantage de cette approche est la facilité de modification et l'absence de nombreuses hypothèses a priori, vous permettant d'exécuter rapidement le modèle pour une variété de scénarios, même exotiques. Nous allons voir des exemples ci-dessous. Le revers de cette méthode est qu'une description mathématique et une analyse rigoureuses des effets qui se produisent dans un tel système sont souvent très compliquées (pour le moins). Cependant, cela ne nous fait pas de mal d'expérimenter.

Assez parlé au point! Prenez 16 millions de patsaks et placez-les uniformément sur l'hypersphère. Connectez les voisins dans le graphique avec un modèle régulier. Il s'agit d'une simplification équitable pour le graphique social, mais, Dieu merci, nous ne sommes pas le ministère de la Santé. Nous propagerons l'infection chaque jour de deux manières. Premièrement, à chaque étape, le patsak peut, avec une certaine probabilité, être infecté par des voisins malades. Deuxièmement, avec une autre probabilité, il peut être infecté à chaque étape par un patsak accidentel qui n'est pas dans son environnement (l'effet des «transports publics»). Et enfin, la maladie elle-même. Nous prenons une période de portage asymptomatique de 10 étapes, après quoi le patsak présente des symptômes et n'est plus impliqué dans la propagation. Les 10 étapes suivantes, il est malade, ayant à chaque étape une chance de s'accumuler. Après cela, il récupère (s'il survit,bien sûr) et acquiert une immunité persistante. Le semis initial prendra 100 patsaks.

Dans ces conditions, nous obtenons l'image suivante:



Violet montre le pourcentage de patsaks non infectés, jaune - malade, vert - récupéré, noir - vous comprenez.

Examinons de plus près les patients:



ici, à chaque étape, le pourcentage de patsaks malades, mais toujours asymptomatiques est affiché en rouge et en bleu - montrant les symptômes.

Revenons maintenant au premier calendrier et regardons de plus près la phase initiale de l'épidémie (la légende est la même):



Oui oui. C'est l'exposant même que les médias ont déjà mangé tout autour. Si sur les doigts, l'origine de cet exposant est la suivante: dans des conditions où le nombre de transporteurs est petit et que la vie publique fournit au transporteur de nouveaux patsaks aléatoires non infectés, le nombre de nouvelles infections est directement proportionnel au nombre de transporteurs. Mathématiquement, cela est écrit comme une équation différentielle



dont la solution est, vous ne le croirez pas, un exposant. Une telle chose se trouve dans de nombreux endroits de la nature, en particulier, l'un des exemples les plus brillants, dans tous les sens, est une réaction en chaîne incontrôlée. Ensuite, avec une augmentation du nombre de porteurs, l'hybriol de l'agent infectieux se termine, mais dans le cadre de la pandémie actuelle, par exemple, cette phase n'est pas encore passée. Si l'équation ci-dessus est légèrement compliquée et tordue, pour tenir compte de l'épuisement des ressources pour la reproduction, alors nous obtenons l'équation de Verhulst classique (alias équation logistique):



pierre angulaire de la dynamique des populations. Si vous avez déjà entendu parler de stratégies r et de stratégies de reproduction K, cela porte le nom des coefficients de l'équation ci-dessus. Les solutions de l'équation logistique à l'œil sont totalement indiscernables des graphiques de la première figure (ce qui n'est pas trop surprenant), donc je ne les donnerai pas séparément. Malheureusement, l'équation de Verhulst pour nos problèmes est une simplification excessive, alors nous lui disons au revoir et continuons.

Agissons maintenant, disons, nous enverrons des patsaks pour le week-end et fermerons les transports publics et les événements jusqu'à la fin de l'épidémie. Dans le cadre du modèle, cela signifie que l'infection se propage désormais uniquement le long des bords du graphe social, de relatif à relatif, d'ami à ami. Eh bien, oui, évidemment, Chatlane n'a pas immédiatement rattrapé son retard, nous allons donc agir lorsque 1000 patsaks tomberont malades.

Sur la même échelle de temps:



Et



remarquez, dans la dernière expérience, l'épidémie a réussi à s'éteindre sans «mesures restrictives», et ici elle atteint même son apogée.

Jetons un coup d'œil à toute l'épidémie:



comme vous pouvez le voir, le temps de l'épidémie s'est allongé à plusieurs reprises.

Le calendrier étape par étape est particulièrement important: les



mesures prises sont un ordre de grandeurréduit le nombre de malades en même temps. Pourquoi cela est important sera vu ci-dessous.

Les graphiques ne sont peut-être pas aussi visibles, mais l'effet principal est qu'après avoir pris des mesures, l'augmentation exponentielle du nombre de cas passe presque instantanément à une loi de puissance. Grosso modo sur les doigts, cela peut s'expliquer comme suit: chaque nouveau patient devient lui-même une source d'infection et commence à infecter tout le monde (une sorte de principe infectieux de Huygens). Mais ce «autour» n'est limité que par quelques voisins non infectés qui, lorsqu'ils sont infectés eux-mêmes, transmettent l'infection plus loin. Ainsi, un «front d'onde» se forme autour de l'épidémie, qui se propage à une vitesse constante dans toutes les directions (qui a dit que «eikonal» est un bon gars), et le nombre de personnes infectées est le volume «d'espace» marqué par le front d'onde, qui (géométrie pure) proportionnelle à un certain degré de distance parcourue par le front.

Eh bien, la dernière expérience d'aujourd'hui. Nous serons généreux envers le système de santé, mais en même temps, nous ajouterons du réalisme. Soit le seuil de saturation de 10% de la population à la fois (c'est évidemment beaucoup plus frais que la réalité) et la probabilité de coller des nageoires pour un patsaka qui n'a pas eu de lit augmente de 10 fois. Enfin, Chatlanes ne s'occupe pas des vacances pour les patsaks (inutile de calculer un tel scénario pour les vacances, le ministère de la Santé aura une triple marge de sécurité au moment de pointe). On obtient alors:



Le point de saturation est atteint dans la région de l'étape 75, juste au-dessus de la lettre i. Pour que vous ne pensiez pas tout à coup que «le ministère de la Santé n'est pas nécessaire», voici quelques calendriers supplémentaires pour le cas où le médicament n'était pas suffisant pour être sursaturé, mais ce n'était pas à l'origine (bienvenue au Moyen Âge):



Alors ça va. Ne sois pas malade!

À suivre.

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