🍅 🧘🏾 🎐 Mathématiques discrètes à l'examen au ShAD 🧜🏽 🤙🏼 🌖

salut! Je m'appelle Azat, je crée des cours de préparation à l'examen au SHAD. Récemment, nous avons lancé un cours sur les mathématiques discrètes, de sorte que notre équipe résout activement les problèmes sur le sujet pertinent. Après avoir examiné l'examen dans le SHAD 2019, nous avons constaté un grand intérêt des utilisateurs Habr pour les tâches divertissantes de l'examen. Par conséquent, nous affichons ici 4 favoris en mathématiques discrètes. Profitez-en!

Problème 1 (26 mai 2018, n ° 5)

Valeur aléatoire $X$ , 1 2, $\{1, 2, \ldots, n\}$ . , $X = 0$ . $X$ .

En fait, la tâche est plus sur la combinatoire que sur le théoricien. Par définition, la distribution $X$ Sont les valeurs $P(X = k)$ pour tous possible $k$ . — , $k$ , , $n!$

. . (1 2), $k - 2$ $n - 2$ , $C_{n - 2}^{k - 2}$ . , , , $(n - k)!$ . , . , , . $a$ — $a_1 = b$ , $a_b$ , 1 $b$ ( ). , , $(k -1)!$ . :

P (X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n (n - 1)}

$P(X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n(n - 1)}$

, $k = 0$ $k = 1$ . $k = 1$ , , ( $P(X = 1) = 0$ , .. , ). , $k > n$ , $P(X = k) = 0$ ( ). , $P(X = 0)$ :

P (X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{n (n - 1)} = 1 - \frac{1}{n (n - 1)} \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

$P(X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{k - 1}{n(n - 1)} = 1 - \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$X$ , :

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{k - 1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n (n - 1)} (\sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k) =

$E(X) = \sum_{k = 1}^n k \cdot \frac{k - 1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n(n - 1)} \left( \sum_{k = 1}^n k^2 - \sum_{k = 1}^n k \right) =$

= \frac{1}{n (n - 1)} \cdot (\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)) = \frac{n + 1}{3}

$= \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \left( \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) \right) = \frac{n + 1}{3}$

2 (4 2016, №3)

$X$ $Y$ $cov(X, Y) = 0$ . , .

, , , .

: 0 1, $P(X = 1) = p$ , $P(Y = 1) = q$ , $P(X = 1, Y = 1) = r$ . , $r = pq$ . , $E(X) = P(X = 0) \cdot 0 + P(X = 1) \cdot 1 = P(X = 1) = p$ , $E(Y) = P(Y = 0) \cdot 0 + P(Y = 1) \cdot 1 = P(Y = 1) = q$ , $E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = r$ . $cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ , $E(XY) = E(X)E(Y)$ $r = pq$ .

, $X$ $Y$ : , ( , : $P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - P(X = 1, Y = 1) = p - r$ , $P(X = 0, Y = 1) = P(Y = 1) - P(X = 1, Y = 1) = q - r$ , $P(X = 0, Y = 0) = 1 - P(X = 1, Y = 1) - P(X = 0, Y = 1) - P(X = 1, Y = 0)$ ). , , .

$P(X = a) = p, \ P(X = b) = 1 - p, \ P(Y = c) = q, \ P(Y = d) = 1 - q$ , $a < b$ $c < d$ . $X' = \dfrac{X - a}{b - a}$ $Y' = \dfrac{Y - c}{d - c}$ . , $X$ $a$ $b$ , $X'$ 0 1 , $Y$ . , $cov(X', Y') = 0$ , .

E (X^{'}) = \frac{E (X) - a}{b - a} E (Y^{'}) = \frac{E (Y) - c}{d - c}

$E(X') = \frac{E(X) - a}{b - a} \ \ \ E(Y') = \frac{E(Y) - c}{d - c}$

E (X^{'} Y^{'}) = E (\frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c}) = \frac{E (X Y) - c E (X) - a E (Y) + a c}{(b - a) (d - c)}

$E(X'Y') = E\left( \frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c} \right) = \frac{E(XY) - cE(X) - aE(Y) + ac}{(b - a)(d - c)}$

c o v (X^{'}, Y^{'}) = E (X^{'} Y^{'}) - E (X^{'}) E (Y^{'}) = \frac{E (X Y) - E (X) E (Y)}{(b - a) (d - c)} = \frac{c o v (X, Y)}{(b - a) (d - c)}

$cov(X', Y') = E(X'Y') - E(X')E(Y') = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{(b - a)(d - c)} = \frac{cov(X, Y)}{(b - a)(d - c)}$

$cov(X, Y) = 0$ , $cov(X', Y') = 0$ , ...

3 (26 2018, №8)

100 , . , 90 . , 11 , .

, — , — . , 91 , 8 . , , , .

( , ). , , , , .., . . 1 9 , , $\lfloor \frac{100}{9} \rfloor = 11$ , .

4 (3 2017, №4)

Chez Tyndex, chaque employé a au moins 50 connaissances. Il s'est avéré qu'il y a deux employés qui ne se connaissent qu'après 9 poignées de main (c'est-à-dire que la chaîne de connexion la plus courte de personnes familières par paire contient 8 personnes intermédiaires). Prouver que cette entreprise compte au moins 200 employés.

Décision

, 10 . $A_i$ $i$ - , $\forall i \ |A_i| \geq 50$ .

, $A_1, \ A_4, \ A_7, \ A_{10}$ . , . , $|A_1 \cup A_4 \cup A_7 \cup A_{10}| = |A_1| + |A_4| + |A_7| + |A_{10}| \geq 200$ , ...

Si vous avez d'autres idées pour résoudre des problèmes ou des commentaires, n'hésitez pas à m'écrire dans les télégrammes @ Azatik1000. Toujours heureux de répondre!

Azat Kalmykov, conservateur chez ShAD Helper

Mathématiques discrètes à l'examen au ShAD

Problème 1 (26 mai 2018, n ° 5)

2 (4 2016, №3)

3 (26 2018, №8)

4 (3 2017, №4)

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