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Mathématiques en astronautique: moteur de détonation rotationnelle



Envoyer quelqu'un ou quelque chose au-delà de notre planète à ce jour est un plaisir extrêmement difficile et coûteux. Alors que les voyageurs spatiaux de diverses œuvres de science-fiction de culture de masse utilisent des répéteurs ("Mass Effect"), des moteurs de distorsion ("Star Trek") ou même stargate ("Stargate"), en réalité tout est beaucoup plus prosaïque. Pour le moment, nous ne sommes pas au courant de ces technologies irréalistes, car nous utilisons du carburant pour fusées. Naturellement, pour lancer une navette ou une fusée d'appoint, il en faut énormément. Un nouveau type de moteur - la détonation en rotation - peut résoudre ce problème. Alors que le processus de son développement est loin d'être achevé, des scientifiques de l'Université de Washington ont décidé de créer un modèle mathématique de ce dispositif afin de mieux comprendre le principe de son fonctionnement.Cela permettra aux ingénieurs d'effectuer des tests de prototypes précis et de mieux comprendre quelles améliorations doivent être mises en œuvre. Alors, à quoi ressemble le moteur de fusée à travers les yeux d'un mathématicien, et qu'avez-vous appris grâce à la modélisation? Les réponses à ces questions nous attendent dans le rapport du groupe de recherche. Aller.


Il est évident qu’une énorme quantité d’énergie est nécessaire pour retirer le vaisseau spatial de l’atmosphère terrestre. La quantité de cette énergie dépend du carburant utilisé et du moteur de l'appareil. Il existe de nombreuses options pour la première, mais elles sont loin d'être équivalentes à la science-fiction dans leur efficacité. Parce que beaucoup d'attention est accordée au développement d'un nouveau type de moteur.

Un moteur-fusée classique fonctionne grâce à une réaction chimique exothermique du carburant et de l'oxydant. Lorsque ces deux composants du carburant réagissent, beaucoup d'énergie thermique et un fluide de travail gazeux sont générés, qui se dilatent. Cela conduit au fait que son énergie interne est convertie en énergie cinétique du courant-jet. À sa base, ce processus chimique est la déflagration, c.-à-d. processus de combustion subsonique.

La déflagration peut être remplacée par une détonation lorsqu'une onde de choc se propage à travers une substance, déclenchant des réactions de combustion chimique. Le type de moteur qui met en œuvre un tel modèle est appelé moteur à détonation pulsée, mais il est également toujours en développement.

Dans cette étude, nous parlons d'un moteur à détonation rotatif (RDE, c'est-à-dire un moteur à détonation rotatif ) - un dispositif qui crée une traction dans laquelle les ondes de choc auto-entretenues causées par la combustion (détonation) se propagent de manière azimutale dans une chambre de combustion annulaire.

Le carburant et l'agent oxydant sont injectés dans le canal, généralement par de petites ouvertures ou fentes (espaces annulaires). En raison de l'espace annulaire étroit, les gradients de densité et de pression provoqués par le dégagement de chaleur s'auto-amplifient, formant éventuellement des ondes de choc suffisamment fortes pour l'auto-inflammation du carburant.

Le fonctionnement stable du RDE, objet de recherche, combine un équilibre de plusieurs aspects: combustion, injection et mélange, libération et libération d'énergie. Si ces variables ne sont pas équilibrées, il y a alors une déstabilisation du moteur, qui se manifeste sous la forme d'une transition vers un nombre différent d'ondes ou sous la forme d'une modulation de la vitesse des ondes.


Image # 1: schéma RDE.

La modélisation hydrodynamique computationnelle du RDE permet une étude détaillée de la structure des vagues et du champ d'écoulement * moteur.
Le champ d'écoulement * est la distribution de la densité et de la vitesse d'un liquide dans l'espace et le temps.

Champ vectoriel * - transformations de l'espace, où chacun de ses points est affiché comme un vecteur avec un début à ce point.
Cependant, une telle procédure était auparavant très coûteuse et compliquée, comme le disent les scientifiques eux-mêmes. De plus, les modèles précédemment créés n'ont pas pu isoler les facteurs affectant la formation de bifurcation * .
Bifurcation * - un changement qualitatif dans le comportement d'un système dynamique avec un changement infiniment petit dans ses paramètres.
Malgré les difficultés attendues, il a été décidé de réaliser une modélisation, mais en utilisant de nouvelles données expérimentales sur la dynamique non linéaire des ondes de détonation tournantes. Cela nous a permis de créer un modèle qui prend en compte les changements les plus insignifiants, fixant ainsi les bifurcations observées en pratique lors des expériences.

partie expérimentale


Pour mener une étude à part entière et une modélisation appropriée, certaines expériences ont été menées. Pour cela, un RDE et une chambre d'essai ont été spécialement préparés pour étudier la dynamique d'une onde de détonation en rotation. Le moteur utilisé pour cette étude est unique en ce que ses composants internes sont modulaires. Les pièces du moteur peuvent être remplacées pour obtenir différents jeux annulaires et la longueur de la chambre de combustion. Vous pouvez également remplacer l'injecteur, ce qui vous permet d'explorer différentes options pour connecter et mélanger le carburant.


Image n ° 2 La

caméra de test est accessible optiquement, ce qui permet d'enregistrer l'historique cinématique complet de toutes les ondes de détonation avec une haute résolution spatio-temporelle ( 2a ).

Chaque expérience représente une combustion de 0,5 seconde de méthane et d'oxygène avec une proportion et un débit d'alimentation donnés. Dans une expérience réussie, une étincelle enflamme le mélange et produit une flamme accélérée, qui se transforme en une série d'ondes de détonation itinérantes.

La base de cette étude est l'hypothèse que la luminosité observée dans les expériences est en corrélation avec le progrès de la combustion. Par conséquent, les régions plus lumineuses présentent une génération de chaleur plus élevée que les régions plus sombres. Si cette hypothèse est vraie, vous pouvez considérer plusieurs exemples de formes d'onde extraites des données d'une caméra à haute vitesse.

La cinématique de l'onde peut être obtenue à partir des données de la caméra en utilisant l'algorithme d'intégration d'intensité de pixels et enregistrée sous la forme d'un diagramme ( 2b ).


Image n ° 3

Les enregistrements de caméra peuvent également être convertis en un système de rapport d'ondes, dans ce cas, la différence de phase entre les ondes sera clairement visible.

Le graphique 3a montre les données de 2b sous la forme d'un système de compte rendu de vagues, et 3c montre la vitesse correspondante de la vague suivie.

Pour ces données, le temps a été définie comme τ = t (D onde / L), où L est la longueur de la région périodique et D onde est la vitesse des ondes dans l'état verrouillé mode.

Sur 3ala transition d'une vague à deux est visible lors du lancement. Avec une telle transition de mode, une deuxième onde de détonation se forme après le point critique, qui commence à se propager autour de l'anneau. Cependant, la distance entre les deux vagues dans l'espace annulaire est asymétrique, ce qui entraîne un déséquilibre dans la quantité de carburant consommée par chacune des vagues. Une onde de coordonnée θ 1 , suivant l'onde précédente θ 2 , existe avec une différence de phase Ψ = θ 2 - θ 1<π (). À ce stade, si nous supposons que la fréquence de renouvellement du carburant est à peu près constante, moins de la moitié du carburant disponible dans la chambre pour sa consommation reste dans l'onde de queue. Puisque la chaleur du carburant de fusée affecte directement la vitesse de la détonation, l'onde de retard commence à ralentir. Cependant, la vague précédente peut traiter le reste du carburant disponible et accélérer en raison de cet excès. Ainsi, ces deux ondes se comportent de manière dispersive lorsqu'elles tendent vers un état stable avec une différence de phase maximale et symétrique.

Pour une seule longueur d'onde 3aune onde quasi stationnaire a une vitesse de 20 à 30% inférieure à la vitesse de Chapman-Jouguet pour le carburant de fusée. Cette métrique est l'énergie directement observable nécessaire pour maintenir l'onde de détonation, qui est sujette à la dissipation et à la restauration du gain dans la chambre de combustion. Lorsqu'il y a transition vers deux vagues et que la dynamique est établie dans un état stable, la vitesse des vagues diminue à environ 90% de la vitesse d'une seule vague.


Image n ° 4

Si vous ralentissez l'alimentation en carburant à la fin de l'expérience, la situation inverse est observée. Le 4a montre une transition progressive de l'onde 2 à l'onde 1 pendant environ 10 ms. Deux vagues se disputent un carburant de plus en plus rare, contrairement au cas d'excès de carburant illustré en 3a .

En raison de la perturbation initiale de la différence de phase, les ondes commencent à échanger régulièrement des forces (vitesse et amplitude), provoquant une augmentation exponentielle de l'instabilité. Au fur et à mesure que les oscillations de la différence de phase augmentent, une interaction catastrophique se produit entre les ondes, lorsque l'onde en retard dépasse celle en avant pendant l'une des oscillations de grande amplitude. Après bifurcation, la vitesse de l'onde restante est environ 10% supérieure à celle de l'onde avant instabilité.


Image n ° 5

On a également observé assez souvent des instabilités de vagues qui n'ont pas entraîné de modification du nombre de vagues. L'image n ° 5 montre la vitesse et l'amplitude des ondes périodiques observées dans une expérience avec trois ondes rotatives. Il s'agit d'une nette instabilité de modulation, car les bandes latérales spectrales accompagnent la fréquence porteuse correspondant à la vitesse moyenne de l'onde progressive dans la chambre de combustion. Ce mode de fonctionnement est stable en ce sens qu'il n'entraîne pas de bifurcation du nombre d'ondes si l'état d'écoulement n'est pas sensiblement perturbé.

Si la surface de l'injecteur était augmentée par rapport à la surface de la chambre annulaire, un mode de fonctionnement pulsé a été observé, qui se caractérise par un mode de fonctionnement "on / off" des injecteurs.


Image n ° 6

L'image ci-dessus montre des ondes planes vibratoires en mode pulsé.

Modèle mathématique


Pour comprendre exactement quels aspects physiques dominent dans le processus de formation des vagues, un modèle mathématique a été créé dans la synchronisation de mode et les bifurcations de mode qui reflète les nuances de combustion, d'injection de carburant et de dissipation d'énergie, dont la structure est déterminée par les formules suivantes:
∂η / ∂t + η (∂η / ∂x) = (1 - λ) ω (η) q 0 + ϵξ (η)
∂λ / ∂t = (1 - λ) ω (η) - β (η, η p , s) λ
η (x, t) - propriétés du fluide de travail;
λ - variable de combustion (λ = 0 - il n'y a pas eu de combustion, λ = 1 - combustion complète);
ω (η) est la fonction de dégagement de chaleur;
q 0 - dégagement de chaleur et constante de proportionnalité;
ϵξ (η) est la fonction de perte d'énergie;
ϵ est la constante de perte;
β (η, η p , s) - modèle d'injection;
η p et s sont des paramètres d'injection.

Résultats de l'expérience


Après avoir préparé le modèle mathématique, les scientifiques ont effectué une série de simulations numériques (c'est-à-dire des simulations) avec les paramètres suivants:



Lors de la première étape de la modélisation, il a été décidé de considérer l'existence de solutions planes pour le système modèle, y compris le comportement du cycle limite * .
Le cycle limite * est l'une des variantes possibles de l'état stationnaire du système. Le cycle limite d'un champ vectoriel est une trajectoire fermée (périodique) d'un champ vectoriel au voisinage duquel il n'y a pas d'autres trajectoires périodiques.
Le problème de Cauchy * a été résolu en utilisant les conditions initiales η (x, 0) = 1 et λ (x, 0) = 0,75.
Le problème de Cauchy * est la recherche d'une solution à une équation différentielle qui satisfera aux conditions initiales (données initiales).
Une onde plane oscille près d'un point dans l'espace des phases, où l'appauvrissement du gain de combustion et la récupération du gain d'injection coïncident [βλ = (1 - λ) ω (η)], à condition que l'énergie d'entrée soit équilibrée, l'énergie dévie et l'énergie se dissipe [ξ = (1 - λ )) ω (η) q 0 ].

Vibrations à faible énergie amorties sur un front de déflagration plat sans oscillations.

Les fronts pulsants, similaires à ceux observés dans les expériences précédentes, sont caractérisés par une «activation» et une «désactivation» périodiques des injecteurs, qui résonnent d'abord avec le dégagement de chaleur puis sont saturés de mécanismes de perte. Un exemple de front d'onde plan pulsatoire est présenté en 6d .

Les solutions à ondes planes pulsantes du modèle complet sont stables pour les conditions initiales planes, mais sont instables aux perturbations, car elles se développent en ondes de détonation itinérantes.

Les conditions initiales du problème de Cauchy pour une onde progressive étaient: η (x, 0) = (3/2) sech 2 (x - x 0 ) et λ (x, 0) = 0 et λ (x, 0) = 0.

La vitesse Chapman - Jouguet (CJ) a été déterminée pour ce système (une onde stable non visqueuse dans laquelle toute l'énergie a été transférée dans l'onde dans une réaction infiniment mince zone). Cette vitesse d'onde constante est définie comme la vitesse minimale qui satisfait aux conditions de Rankin-Hugoniot * pour un dégagement de chaleur donné. En l'absence de pertes, cette vitesse minimale est égale à DCJ = (η 1 + q 0) + √ q 0 (q 0 + 2η 1 ). Dans le cas η 1 = 0, la vitesse de l'onde devient égale à 2q 0 .
L'adiabat de Rankin-Hugoniot * est une relation mathématique qui relie les quantités thermodynamiques avant et après une onde de choc.
Cette vitesse est la métrique par laquelle les ondes progressives sont mesurées dans le modèle considéré.


Image n ° 8

L'image ci-dessus montre l'évolution de la modélisation expérimentale standard. Étant donné que l'impulsion sech initiale est beaucoup plus élevée que ηc, le milieu émet de la chaleur localement et rapidement. La vague devient "plus nette" et forme une détonation. Cette impulsion initiale se propage à une vitesse CJ jusqu'à ce qu'elle atteigne sa queue, et à ce moment l'onde commence à se dissiper et à ralentir rapidement: une quantité limitée de combustion ne peut pas continuer à soutenir l'onde à DCJ = 2q 0 . De plus, le dégagement rapide de chaleur (par rapport à l'échelle de temps de diffusion d'énergie) de l'onde initiale CJ conduit à une augmentation de la valeur moyenne de η dans la région dépassant significativement la valeur de η 0environnement et valeur d' inflammation η c .

Ainsi, l'énergie d'activation efficace du milieu actif diminue et la déflagration parasite ou la production de chaleur lente non liée aux ondes progressives augmente dans toute la région. Étant donné que le temps de propagation de l'onde de déplacement initiale a été augmenté en raison de la diffusion, la déflagration parasite a suffisamment de temps pour achever le processus de déflagration-détonation (DDT, c'est -à- dire déflagration-détonation ) et la formation de nombreuses ondes de détonation avec une amplitude plus petite.

Afin d'induire un processus de transition de mode lorsqu'il existe un état de mode stable, un changement d'étape dans s a été utilisé , ce qui a provoqué une bifurcation. Un exemple d'une telle transition est présenté en 4b., où les deux ondes de détonation initialement rotatives avec verrouillage de mode deviennent instables et se séparent de manière destructrice.

Les différences de phase de faible amplitude augmentent de façon exponentielle, ce qui a également été observé au cours des expériences ( 4a ). Pendant la période d'oscillation, deux ondes échangent la force (amplitude) et la vitesse. Pour une fonction d'injection β et des pertes données, le taux de croissance d'instabilité et la période d'oscillation sont paramétrés par le degré de l'étape appliquée pour changer les paramètres s et η p .

Lorsqu'une nouvelle onde est générée ou que l'existant est détruit, l'ensemble des ondes dans la chambre d'essai agit de manière dispersive, formant éventuellement un état avec synchronisation de mode.


Image n ° 9

Ci-dessus, des diagrammes de bifurcation montrant la dépendance du nombre d'ondes, de la vitesse et de l'amplitude des ondes sur s et la valeur de perte. Avec l'augmentation de s à partir de zéro, des fronts de déflagration plats stables sont formés pour les petites valeurs. Dès que la valeur de s peut contribuer à la formation d'une onde progressive, les ondes commencent à montrer des escaliers, où leur vitesse augmente progressivement jusqu'à ce qu'une autre bifurcation se produise. Ces ondes résultent d'une déflagration parasite au cours du processus DDT. À chaque bifurcation, avec un nombre croissant d'ondes, la vitesse des ondes diminue. Lorsque la valeur de s devient suffisamment grande, le nombre d'ondes augmente jusqu'à ce que les fronts d'ondes deviennent de petite amplitude et fusionnent en un front de déflagration planaire.

Pour une connaissance plus détaillée des nuances de l'étude, je vous recommande de consulter le rapport des scientifiques .

Épilogue


Les engins spatiaux sont des mécanismes incroyablement complexes qui combinent les connaissances de nombreux domaines scientifiques, physique, chimie, mathématiques, mécanique, etc. À l'heure actuelle, les moteurs-fusées utilisés utilisent toute une série de mécanismes de contrôle et de contrôle de la réaction de combustion, de sorte qu'il puisse réussir le mouvement d'un colosse de plusieurs tonnes essayant de décoller. Dans le cas d'un moteur rotatif, la plupart des responsabilités sur cette question sont assumées par l'onde de choc. Cela réduit considérablement la quantité de carburant consommée (étant donné qu'une estimation approximative de l'efficacité de la détonation est ~ 25% plus élevée que celle de la déflagration classique), cependant, il existe un certain nombre de problèmes. Le principal est l'instabilité de telles vagues. Comme le disent les scientifiques eux-mêmes, toute détonation est un processus incontrôlé qui se déroule à sa guise.

Afin de comprendre ce processus chaotique, à première vue, les scientifiques ont créé un modèle mathématique. Le modèle était basé sur des expériences pratiques avec le moteur, dont la durée n'était que d'une demi-seconde, mais cela suffisait pour obtenir les données nécessaires à la formation du modèle.

Les chercheurs affirment que leur modèle est le premier du genre. Il permet de comprendre si ce type de moteur fonctionnera de manière stable ou non, ainsi que d'évaluer le fonctionnement d'un moteur particulier utilisé lors de la partie pratique des expériences.

En d'autres termes, le modèle révèle des cartes des processus physiques qui se produisent pendant le fonctionnement du système. À l'avenir, les scientifiques ont l'intention d'améliorer leur création afin qu'elle puisse déjà être utilisée pour déterminer certains aspects qui nécessitent une attention particulière pour mettre en œuvre un moteur rotatif fonctionnel et stable.

Merci de votre attention, restez curieux et bonne semaine de travail, les gars. :)

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