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Les mathématiciens ont prouvé la loi universelle de la turbulence

En utilisant des processus aléatoires, trois mathématiciens ont prouvé la loi élégante qui sous-tend le mouvement chaotique des systèmes turbulents




Imaginez une rivière calme. Imaginez maintenant un jet rapide d'eau moussante. Quelle est la différence entre eux? Pour les mathématiciens et les physiciens, cela consiste dans le fait qu'une rivière calme coule dans une direction, et un ruisseau orageux coule dans plusieurs directions à la fois.

Les systèmes physiques avec un tel mouvement non systématique sont appelés turbulents . En raison du fait que leur mouvement a autant de caractéristiques en même temps, il est très difficile de les étudier mathématiquement. Plus d'une génération de mathématiciens changera jusqu'à ce que les chercheurs apprennent à décrire une rivière turbulente avec des expressions mathématiques exactes.

Cependant de nouvelles preuvesdit que bien que certains systèmes turbulents semblent rebelles, ils obéissent en fait à une loi universelle. Cet article fournit l'une des descriptions les plus rigoureuses de la turbulence jamais données par les mathématiques. Et cela apparaît grâce à un nouvel ensemble de méthodes qui à elles seules modifient le processus des chercheurs étudiant ce phénomène jusque-là désobéissant.

"Il s'agit peut-être de l'approche la plus prometteuse en matière de turbulence", a déclaré Vladimir Sverak , mathématicien à l'Université du Minnesota, expert en turbulence.

Le nouveau travail fournit un moyen de décrire les modèles qui se produisent dans les fluides en mouvement. Ils peuvent être clairement vus sur l'exemple de fortes fluctuations de température aux points voisins des océans ou des images fascinantes obtenues en mélangeant des couleurs noires et blanches. En 1959, le mathématicien australien George Batchelor a prédit que ces modèles ont un comportement précis et réglementé. De nouvelles preuves confirment la vérité de la «loi de Batchelor», comme cette prédiction a été appelée.

"La loi de Batchelor est visible partout", a déclaré Jacob Bedrossian, mathématicien à l'Université du Maryland à College Park, co-auteur de la preuve avec Alex Blumenthal et Samuel Panshon Smith . "En prouvant cette loi, nous avons mieux compris son universalité."

Turbulence de haut en bas


Et bien que les nouvelles preuves ne décrivent pas exactement les mêmes processus qui se produisent dans le cours turbulent de la rivière, ils leur sont étroitement liés et nous sont assez familiers. Par conséquent, imaginons-les d'abord avant de passer au type particulier de turbulence que les mathématiciens ont analysé.

Imaginez un évier de cuisine plein d'eau. L'eau commence à tourner dans l'évier presque comme une seule masse. Si nous augmentons le liquide et mesurons sa vitesse à plus petite échelle, nous verrons la même chose - chaque partie microscopique du liquide se déplace en fonction des autres.

"Le mouvement est principalement lié à l'échelle de la conque entière", a déclaré Blumenthal, un post-doctorant de l'Université du Maryland à College Park.


Alex Blumenthal, postdoctorant du Maryland University College Park

Imaginez maintenant qu'au lieu de simplement laisser l'eau s'écouler en retirant le bouchon, vous avez ajouté des jets d'eau à l'évier, en le faisant tourner comme dans un jacuzzi. À l'œil nu, vous pouvez attraper beaucoup de tourbillons qui apparaissent dans l'eau. Choisissez l'un d'eux et augmentez son échelle. Si vous étiez un mathématicien essayant d'analyser les écoulements turbulents de coquille, vous pourriez espérer que chaque particule d'eau dans le tourbillon sélectionné se déplace dans la même direction. Cela faciliterait grandement le travail de modélisation des fluides.

Mais, hélas, vous constaterez que le bain à remous lui-même se compose de nombreux petits bains à remous, chacun se déplaçant d'une manière spéciale. Agrandissez son image, et vous verrez à nouveau qu'il se compose à son tour de différents tourbillons, et ainsi de suite, jusqu'à la plus petite échelle, jusqu'à ce que les effets de la friction interne (ou viscosité) du liquide absorbent et lissent les écoulements.

C'est un signe clair de systèmes turbulents - comportement différent des sous-systèmes intégrés les uns aux autres à différentes échelles. Pour décrire pleinement le mouvement d'un système turbulent, il est nécessaire de décrire ce qui se passe à toutes ces échelles à un instant donné. Aucun d'eux ne peut être ignoré.

Il s'agit d'une exigence sérieuse - elle est similaire à la modélisation des trajectoires du mouvement des boules de billard, en tenant absolument compte de tout, du mouvement de la Terre à travers la Galaxie, à l'interaction des molécules de gaz avec les boules.

«J'ai dû tout prendre en compte à la fois, ce qui rend cette tâche incroyablement difficile à modéliser», a déclaré Jean-Luc Tiffo de l'Université du Wisconsin, qui étudie la turbulence.

En conséquence, les mathématiciens tentent depuis des décennies de créer une description de la turbulence qui décrit avec précision ce qui se passe à chaque point du système turbulent à un moment donné. Et n'a pas réussi.

"La turbulence est trop complexe pour l'attaquer dans le front", a déclaré Tiffo. Cela est vrai pour les rivières turbulentes et les puits avec des fuites de fluide. Cela est également vrai pour la version spéciale de turbulence utilisée dans la nouvelle épreuve.

En remuant


Shell et la rivière sont des exemples de turbulence hydrodynamique. Ils sont turbulents en ce sens que les vecteurs de la vitesse des fluides - les directions et les vitesses des particules - varient considérablement d'un point à l'autre. Le nouveau travail décrit d'autres propriétés du liquide, à l'exception des vecteurs de vitesse qui peuvent être mesurés en chacun de ses points. Pour comprendre ce que cela signifie, imaginez un mélange de couleurs.

Commençons par un pot de peinture blanche. Nous ajouterons du noir une goutte par seconde, en remuant la peinture. La première goutte tombera dans la peinture blanche et se détachera comme une île. Mais bientôt, il commencera à se dissoudre dans la peinture blanche, s'étirant en lignes de plus en plus fines. Les gouttes de peinture noire suivantes seront à différentes étapes de la même transformation: étirer, allonger, verser dans la peinture, qui devient progressivement grise.

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À mesure que les vecteurs de vitesse changent d'un point à un autre dans l'évier où l'eau est mélangée, la concentration de peinture noire en blanc changera d'un point à un autre avec le mélange: dans certains par endroits sa concentration sera plus grande (lignes plus épaisses), en moins.

Cette option est un exemple de «turbulence scalaire passive». Elle se produit lorsqu'un liquide, un «scalaire passif» est injecté et que le lait est ajouté à l'autre dans le café, la peinture noire en blanc.

La turbulence scalaire passive décrit également de nombreux phénomènes naturels - des changements soudains de température entre des points proches de l'océan. Dans un tel environnement, les courants océaniques «mélangent» les températures de la même manière que les couleurs noir et blanc se mélangent.

La loi de Batchelor prédit le rapport du nombre de phénomènes à grande échelle (tourbillons épais de peinture ou jets d'eau de mer de la même température) au nombre de phénomènes à plus petite échelle (fines lignes de peinture) lors du mélange de liquides. C'est ce qu'on appelle une loi car les physiciens observent ce phénomène dans les expériences depuis de nombreuses années.

«Du point de vue de la physique, cela suffit pour l'appeler loi», a déclaré Panshon Smith, mathématicien à l'Université Brown. Cependant, avant ce travail, il n'y avait aucune preuve mathématique de sa performance indispensable.


La loi de Batchelor prédit le rapport du nombre de phénomènes à grande échelle (tourbillons épais de peinture ou jets d'eau de mer de la même température) au nombre de phénomènes à plus petite échelle (fines lignes de peinture) lors du mélange de liquides. Ce rapport reste inchangé lors d'un zoom arrière, car les petites poupées gigognes maintiennent les proportions grandes.

Pour réaliser l'idée de Batchelor, revenons à la peinture. Imaginez que vous continuiez cette expérience pendant un certain temps, en ajoutant des gouttes de peinture noire et en remuant. Maintenant, arrêtez le temps. Vous verrez des bandes épaisses de peinture noire (c'était le moins malaxé), des bandes plus minces (elles étaient pétries plus longtemps), et même plus minces (elles étaient pétries encore plus longtemps).

La loi de Batchelor prévoit que le nombre de bandes épaisses, de bandes plus minces et très minces obéit à la proportion exacte - quelque chose comme les poupées obéissent aux mêmes proportions.

"Des bandes d'échelles différentes sont visibles dans un fragment liquide donné, car une partie des gouttelettes ne fait que commencer à se mélanger, et certaines ont été mélangées depuis un certain temps", a déclaré Blumenthal. "La loi de Batchelor décrit la distribution des tailles des bandes de peinture noire." Il est difficile de décrire la proportion exacte en un mot, mais on obtient plus de bandes minces que d'épaisses, et un certain nombre de fois.

La loi prédit que la proportion est maintenue même si vous regardez le fragment de fluide augmenter. Les bandes de différentes épaisseurs, à la fois dans une petite zone de liquide et dans toute la berge, auront exactement le même rapport en quantité; et en zoomant, nous verrons le même rapport. Le schéma est le même à toutes les échelles, comme en turbulence hydrodynamique, où dans chaque tourbillon il y a de petits tourbillons.

Une prédiction assez audacieuse, qui d'ailleurs est difficile à modéliser mathématiquement. L'imbrication complexe de phénomènes à différentes échelles ne permet pas de décrire avec précision l'apparition de la loi de Batchelor dans un seul écoulement de fluide.

Mais les auteurs de l'ouvrage ont compris comment contourner cette complexité et la prouver.

Approche aléatoire


Bedrossian, Blumenthal et Punchon Smith ont adopté une approche qui considère le comportement moyen des fluides dans tous les systèmes turbulents. Les mathématiciens ont déjà essayé cette stratégie, mais personne ne l'a mise en œuvre avec succès.

Cette approche fonctionne car le caractère aléatoire permet parfois des prédictions précises du comportement du système. Imaginez une planche verticale parsemée de clous. Déposez une pièce le long d'en haut et elle rebondira sur les clous jusqu'à ce qu'elle touche l'un des emplacements ci-dessous. Il est difficile de prédire où une pièce particulière tombera - trop de facteurs affectent où elle rebondira après chaque collision.


Samuel Punchon Smith

Au lieu de cela, vous pouvez considérer le système comme aléatoire - et que pour chaque clou, il y a une chance que la pièce rebondisse à droite et à gauche. Si les probabilités sont correctement calculées, il sera alors possible de faire des prédictions précises sur le comportement du système dans son ensemble. Par exemple, vous pouvez constater que les pièces sont plus susceptibles de tomber dans des emplacements spécifiques.

"Ce qui est bien avec l'aléatoire, c'est la capacité de faire la moyenne", a déclaré Tiffo. "La moyenne est une idée très fiable, dans le sens où de nombreux petits détails n'y touchent pas."

Qu'est-ce que cela signifie pour la turbulence et le mélange des couleurs? Étant donné que les énoncés exacts et déterministes dépassent le cadre des mathématiques, il serait plus utile d'imaginer que certaines forces aléatoires agissent sur la peinture - parfois l'interférant ici, parfois là, sans aucune régularité. Cette approche est appelée aléatoire ou stochastique. Il permet aux mathématiciens d'utiliser des calculs statistiques de haut niveau et d'étudier ce qui se passe dans les systèmes dans leur ensemble, sans se plonger dans les détails de chaque détail.

"Un peu de coïncidence nous permet de surmonter les difficultés", a déclaré Punchon Smith.

Cela a finalement permis à trois mathématiciens de prouver la loi de Batchelor.

Comprendre le mix


Une façon de prouver une loi physique est d'imaginer les conditions qui l'invalideraient. S'il peut être prouvé que de telles conditions ne se présentent pas, cela prouvera que la loi fonctionne toujours. L'équipe a réalisé que pour éviter les lois prévues par la loi de Batchelor, le pétrissage devait avoir des caractéristiques très spécifiques.

La preuve de la loi est divisée en quatre ouvrages publiés en ligne entre septembre 2018 et novembre 2019. Les trois premiers se sont concentrés sur la compréhension de certains mouvements de la peinture mixte qui ne permettraient pas à la loi de Batchelor d'élaborer et d'exclure de tels mouvements. Ils ont prouvé que même si vous preniez un fluide spécialement formulé pour vaincre la loi de Batchelor, le motif y apparaîtrait toujours.

"La principale chose que vous devez comprendre est que le liquide ne peut rien concevoir contre vous", a déclaré Bedrossian.


Jacob Bedrossian

Par exemple, la loi de Batchelor ne fonctionnerait pas si le processus de mélange entraînait des tourbillons ou des entonnoirs persistants dans la peinture. Ces entonnoirs contiendraient quelques gouttes de peinture noire en un seul endroit - comme des débris au bord du ruisseau - et la peinture ne se mélangerait pas.

«Dans un tel tourbillon, les trajectoires des particules ne seront pas chaotiques; ils ne se séparent pas rapidement, mais tournent tous ensemble », a déclaré Bedrossian. "Si votre système ne mélange pas la peinture à la bonne vitesse, la loi de Batchelor ne se manifestera pas."

Dans le premier ouvrage, les mathématiciens se sont concentrés sur ce qui se passe pendant le processus de mélange avec deux points d'encre noire qui étaient à l'origine côte à côte. Ils ont prouvé que les points suivent des chemins aléatoires et divergent dans différentes directions. En d'autres termes, les points étroitement espacés ne peuvent pas rester coincés dans un tourbillon qui les maintiendrait ensemble tout le temps.

"Initialement, les particules se déplacent ensemble", a déclaré Blumenthal, "mais à la fin, elles se séparent et divergent dans des directions complètement différentes."

Dans les deuxième et troisième œuvres, ils ont examiné plus en détail le processus de mélange. Ils ont prouvé que dans un liquide chaotique, dans le cas général, la peinture noire et blanche se mélange le plus rapidement possible. Ils ont ensuite déterminé que les imperfections locales (tourbillons) ne se formeraient pas dans le fluide turbulent, ce qui pourrait interférer avec l'apparition d'une image globale élégante décrite par la loi de Batchelor.

Dans les trois premiers travaux, les auteurs ont effectué les calculs mathématiques complexes nécessaires pour prouver que la peinture se mélange de manière approfondie et aléatoire. Dans le quatrième, ils ont montré que dans un fluide avec de telles propriétés de mélange, la loi de Batchelor apparaît comme une conséquence nécessaire.

Il s'agit de l'une des déclarations mathématiquement les plus rigoureuses concernant les systèmes turbulents. Plus important encore, il nous offre des opportunités pour un nouveau flux d'idées mathématiques. La turbulence est un phénomène chaotique, presque aléatoire dans son mouvement. Trois mathématiciens ont compris comment gérer le hasard en utilisant le hasard. D'autres spécialistes dans ce domaine les suivront certainement.

"Leur plus grande contribution est de nous fournir une plate-forme sur laquelle construire des preuves", a déclaré Tiffo. «Je pense que le hasard est l'une des rares façons de construire un modèle de turbulence que nous pouvons comprendre mathématiquement.»

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