🗳️ 🐬 🖱️ Mathématiques floues. Principes de base des ensembles flous 👨🏾‍✈️ 🍈 🔉

Un désir excessif de précision a commencé à exercer un effet qui nie la théorie du contrôle et la théorie des systèmes, car il conduit au fait que la recherche dans ce domaine se concentre sur ceux-ci et seulement sur les problèmes qui peuvent être résolus avec précision. De nombreuses classes de problèmes importants dans lesquels les données, les objectifs et les contraintes sont trop complexes ou mal définis pour permettre une analyse mathématique précise sont restées et restent sur la touche uniquement parce qu'elles ne peuvent pas être interprétées mathématiquement. L. Zade

Définition et caractéristiques

Dans le monde, beaucoup n'est pas seulement divisé en blanc et noir, en vérité et vérité ... Une personne utilise de nombreux concepts flous pour évaluer et comparer des quantités physiques, des états d'objets et de systèmes à un niveau qualitatif approximatif. Ainsi, chacun de nous est en mesure d'estimer la température à l'extérieur de la fenêtre, sans avoir recours à un thermomètre, et guidé uniquement par ses propres sentiments et une échelle d'estimations approximatives («assez couvert pour prendre un parapluie»).

Mais une évaluation qualitative ne possède pas la propriété d'additivité inhérente à nos nombres habituels; autrement dit, nous ne pouvons pas déterminer le résultat des opérations pour des estimations approximatives («une petite somme d'argent» + «une petite somme d'argent»), contrairement, par exemple, aux nombres naturels (2 + 2). Nous ne pouvons pas le déterminer car une évaluation qualitative dépend fortement du décideur, du contexte et de la signification investis dans un cas particulier.

Cependant, dans le monde, il y a suffisamment de quantités que nous ne sommes pas en mesure d'évaluer avec précision pour une raison ou une autre: le degré d'ordre dans la pièce, le "prestige" de la voiture, la beauté d'une personne, la "similitude" des choses ... Mais je veux travailler avec eux comme avec les chiffres habituels cependant serait pour les tâches d'automatisation.

. 1964 .

( ) $\ tilde {A}$ () U $(u, \ mu_A (u))$ , $u \ subseteq U$ ,
$\ mu_A (u)$ — $\ tilde {A}$ , $\ mu_A (u): U → [0; 1]$ . $\ tilde {A} = \ bigcup _ {(u \ subseteq U)} (\ mu_A (u) / u) = \ left \ {(\ mu_A (u) / u) \ right \}$ .

U $\ mu_A (u)$ ( ) u (-) $\ tilde {A}$ . , . - .

$\ mu_A (u)$ ( . ), – . – U $\ tilde {A}$ . , , .

, $\ mu_A (u) = \ begin {cases} 1 & amp; u \ subseteq A \\ 0 & amp; u \ nsubseteq A \ end {cases}$ , .

, $\ mu_A (u)$ :

( );
;
;
;
...

-a≤x≤a.

“ ”.

$\mu_A(x)= \frac{(a-|x|)}{a}, -a \leq x \leq a$
$\tilde{A} = \left\{ 0 / -a;…;1 / 0;…;0.5 / \frac{a}{2};…;0 / a \right\}$ .

– , 1. 0.

, $\mu_A(u)$ 0.5, . -a/2 a/2.

$sup⁡(\mu_A(u)),u \subseteq U$ .

, 1, . – .

, , 0, .

, 1 .

2 $(-a, a)$ $\omega = \left\{x | \mu_A(x)>0, x \subseteq X \right\}$ – $\tilde{A}$ . $S_A$ $Supp A$ .

, x, $\mu_A(x)=0$ ; – $lim_{|x| \to \infty ⁡}{\mu_A (x)}=0$ .

, , . :

, ;
, ;
, , .

: $\tilde{A}, \tilde{B} ,\tilde{C}$ — U, $x \subseteq U$ . , .

$\tilde{A} = \tilde{B}$ , $\mu_A(x)= \mu_B(x)$ .

$A \subseteq B$ , $\mu_A(x) \leq \mu_B (x)$ x.

$\tilde{C} = \tilde{A} \cup \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = max⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . , $\mu_C(x) = \mu_A(x) \vee \mu_B (x)$ . (t– s–)

$\tilde{C} = \tilde{A} \cap \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . , $\mu_C(x) = \mu_A(x) \wedge \mu_B (x)$ . (t-)

. , , . , min max .

$\tilde{C} = \tilde{A} \backslash \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = \mu_A(x) - \mu_{A \cap B}(x) = \mu_A(x) - min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x)) = max(0; \mu_A(x) - \mu_B(x))$ .

$U \backslash \tilde{A}$ $\overline{\tilde{A}}$ . , $\mu_{A}(x) = 1- \mu_{\overline{A}}(x)$ .

. , , , (, $A \ cap \ overline {A} = ∅$ ). :

α- . α- $A _ {\ alpha}$ , $\ mu_A (x) \ geq \ alpha$ .

. $\ tilde {A} = \ bigcup_ {a \ subseteq M} {\ alpha * A _ {\ alpha}}$ , M — .

$Un ^ {\ beta}$ , $\ mu_ {A ^ {\ beta}} (x) = \ mu_A ^ {\ beta} (x)$ . :

β = 2 ( CON(A) ). , . , “ ” ;
β = 0.5 ( DIL(A) ). , . “ ”.

$\ mu_ {A * B} (x) = \ mu_A (x) * \ mu_B (x)$ .

$\ mu_ {A \ circledcirc B} (x) = (\ mu_A (x) + \ mu_B (x) - 1) \ vee 0$ .

$\ mu_ {A \ triangle B} (x) = \ begin {cases} \ mu_B (x) & amp; \ mu_A (x) = 1 \\\ mu_A (x) & amp; \ mu_B (x) = 1 \\ 0 & amp; \ end {cases}$ .

$\ mu_ {A + B} (x) = \ mu_A (x) + \ mu_B (x) - \ mu_A (x) * \ mu_B (x)$ .

$\ mu_ {A \ circledcirc B} (x) = (\ mu_A (x) + \ mu_B (x) - 1) \ wedge 1$ .

$\ mu_ {A \ triangledown B} (x) = \ begin {cases} \ mu_B (x) & amp; \ mu_A (x) = 0 \\\ mu_A (x) & amp; \ mu_B (x) = 0 \\ 1 & amp; \ end {cases}$ .

- – A B λ (1 — λ) ( A B). $\ mu_ {A _ + ^ {\ lambda} B} (x) = \ lambda * \ mu_A (x) + (1 - \ lambda) * \ mu_B (x)$ .

, λ- :

?

, , . . , ( , ). 2 – .

, . , , , . : , .

, , . , .

, , , , , :

0 <= μ(x) <= 1;
( );
La fonction et l'ensemble des fonctions définies doivent avoir une différenciation naturelle des concepts représentés par des ensembles voisins;
Il ne devrait y avoir aucune lacune sur l'ensemble universel (ou limité pour examen) auquel aucun ensemble n'est associé;
Pour les ensembles voisins, le maximum de l'un doit coïncider avec le minimum de l'autre, et le point d'intersection de leurs graphiques doit correspondre aux points de transition;
et quelques autres tâches spécifiques.

bien qu'il existe des situations exceptionnelles dans lesquelles une fonction doit être déterminée en fonction du contexte. La construction de telles fonctions est un sujet distinct et plutôt compliqué.

Et c'est tout pour aujourd'hui.

Mathématiques floues. Principes de base des ensembles flous

Définition et caractéristiques

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