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Un modèle d'une série naturelle de nombres et de ses éléments. Cellules à plusieurs lignes




Dans un autre ouvrage d'une série d'articles sur la série naturelle des nombres (NRF), les concepts et la notation G 2 ± sont utilisés - le modèle NRF sous la forme d'un plan infini discret (à partir de cellules de coordonnées (x1, xo)) ( voir ici ), dans lequel le composite est pair ou le nombre naturel impair (VLF) dans chaque cellule du modèle est décrit par la relation N = x1 2 ± xo 2 . Nous considérons une autre propriété importante de la série naturelle de nombres, la multiplicité des cellules modèles, pour le module de chiffrement RSA, qui est importante pour résoudre le problème de la factorisation des grands nombres (ZFBCH).

À propos des anneaux algébriques et du chiffrement RSA


Le chiffrement RSA et similaires est essentiellement basé sur une construction mathématique stricte - un anneau de résidus numériques finis (KCHKV) modulo un nombre composite N = dmdb, où dm est un plus petit diviseur premier, db est un plus grand diviseur.

L'exigence pour la clé (en particulier, pour le module N) du chiffre est que les deux diviseurs doivent être des nombres premiers de très grande capacité (jusqu'à 300 chiffres décimaux). voir ici

Une autre exigence importante pour une clé de chiffrement est l'exigence de la différence des diviseurs
| db - dm | = Δ. Il devrait avoir la même capacité élevée que les séparateurs eux-mêmes. Un exemple simple du KPKV est le fragment initial d'une série naturelle de nombres avec l'ajout d'un élément zéro. Tous les nombres consécutifs forment un anneau de 0 à N - 1. Plus de détails sur les anneaux peuvent être trouvés dans les manuels d'algèbre supérieure.

La résistance du chiffrement RSA à la divulgation des clés est estimée comme très élevée et tous les efforts des cryptanalystes dans le monde pour déchiffrer le chiffrement depuis sa publication (1978) n'ont jusqu'à présent pas réussi. Il y a plusieurs raisons à cette situation.

Les algorithmes publiés pour implémenter les attaques sur le chiffrement sont basés sur le concept d'un tamis numérique proposé par Ératosthène avant la nouvelle ère. Avec chaque nouvelle publication, nous voyons une version légèrement améliorée et améliorée de l'algorithme, mais, apparemment, ces améliorations ne sont pas suffisantes pour réussir. L'idée du tamis d'Eratosthène [1] était progressive en son temps, mais maintenant elle ne fonctionne plus.

Sur Internet, il existe une liste de numéros RSA que la société est invitée à factoriser. La liste a été publiée en 1991 et elle est loin d'être complète. Une analyse des résultats de la décomposition multiplicative des nombres de la liste est disponible, car les nombres eux-mêmes sont ouverts à tous.

Il résulte de l'analyse que plus il y a de chiffres dans la description du nombre, plus il a fallu de temps pour sa décomposition. La conclusion est que la décomposition du module N utilise des algorithmes très sensibles à la capacité des nombres, c'est-à-dire que les algorithmes utilisent les propriétés des nombres qui dépendent beaucoup de leur capacité. Je veux dire des propriétés comme les «signes de divisibilité» des nombres. Ils ne dépendent pratiquement pas de la profondeur de bits du nombre factorisable ( voir ici ).

Les travaux publiés se limitent, en règle générale, au traitement du nombre lui-même, en ignorant son environnement, les propriétés des voisins proches et lointains au sein d'un système numérique spécifique. De très grands espoirs des auteurs et des attentes sont assignés aux nouveaux appareils informatiques: quantique, photonique, moléculaire, etc.

Auteurs de publications et propriétaires de l'entreprise, c'est-à-dire Les algorithmes de chiffrement ne nient pas d'autres nouvelles approches et n'excluent pas la possibilité de créer de nouveaux algorithmes basés sur de nouvelles idées, pour lesquels la tâche de factoriser de grands nombres ne tiendra pas et sa solution sera couronnée de succès. En tant qu'auteur de cette publication, je suis attiré par de nouveaux développements originaux dans le domaine de la résolution de la WFCH.

La plupart de mes publications sont consacrées à de nouvelles approches, à commencer par la synthèse de modèles de séries naturelles de nombres, l'étude de leurs propriétés et l'utilisation de ces propriétés dans le développement de nouveaux algorithmes originaux pour résoudre le ZFBCH. Dans cette direction, il a été établi (ouvert) des diviseurs de droit de distribution (RDA) numéro N dans NRCH RDA .

Verticales (colonnes) G 2 ± - modèles NRF


Un exemple d'une telle nouvelle approche est l'utilisation de sommes de paires de nombres au carré. Ces nombres sont tirés de la NRF et doivent satisfaire aux exigences: deux nombres sont adjacents et leur somme est égale au nombre composite N que nous voulons factoriser, deux autres nombres sont des carrés satisfaisant l'équation N + x1 2 = xo 2 .

Autre exigence: la somme des carrés des nombres adjacents de la décomposition additive avec les deux carrés trouvés doit avoir des valeurs égales (correspondantes) ( voir ici ). S'il est possible de satisfaire aux exigences ci-dessus, la factorisation de N est garantie. L'exemple 1 ci-dessous illustre cette possibilité.

Le schéma considéré est original, diffère de celui proposé par L. Euler et d'autres mathématiciens dans une compréhension plus simple et plus transparente.

Exemple 1 . ( Somme des carrés ). On donne le nombre composite N = dmdb = 209723. Il faut trouver sa décomposition multiplicative, c'est-à-dire les valeurs des facteurs dm et db.
Solution . Nous utilisons les propriétés des sommes des carrés dans 2+ - le modèle circulaire hyperbolique.

Nous prenons la racine carrée de N, √209723 = 457.955 = 458 et arrondissons à un entier plus grand.
Ensuite, nous trouvons les différences des carrés suivants et du nombre N en vérifiant l'égalité de cette différence au carré complet: 458 2 - 209723 = 41 ≠ ▢, 459 2- 209723 = 958 ≠ ▢, 460 2 - N ≠ ▢,
461 2 - N ≠ ▢,

462 2 - 209723 = 3721 = 61 2 = ▢. À la 5ème étape, la différence souhaitée est égale au carré complet. Nous trouvons la décomposition additive de N = 209723 = sm + sb = 104861 + 104862 en termes adjacents. Vérifier l'égalité des sommes des carrés dans les cellules du modèle
N (x11, xo) = N (x11, sm), N (x12, xo2) = N (x12, sb),
où sm, sb sont les numéros de colonne et x11 et x12 sont les numéros de ligne , des modèles. Ces nombres sont déterminés à partir des relations d'égalité des sommes des carrés.

sm 2 + 462 2 = 104861 2 + 213444 = 10995829321 + 213444 = 10996042765;
sb 2 + 61 2 = 104862 2 + 3721 = 10996039044 + 3721 = 10996042765. Comme prévu, les quantités dans les cellules se sont avérées égales.

Pour ces sommes, nous écrivons l'égalité sm 2 + 462 2 = sb 2 + 61 2 et la transformons en égalité de la différence des carrés 462 2 - 61 2 = sb 2 - sm 2 . A droite, la différence des carrés est toujours égale à N, et la différence de gauche est convertie en produit
462 2 -61 2 = (462 - 61) (462 + 61) = 401 · 523 = 209723 = N.

Les deux facteurs sont des nombres premiers, c'est-à-dire la factorisation du nombre N est terminée avec succès. L'inconvénient de cette approche est la nécessité de trouver la somme des carrés avec des valeurs correspondantes dans les colonnes adjacentes du modèle. Avec un grand nombre, c'est une opération assez longue. Essentiellement, cette tâche se réduit à la sélection d'un tel carré qui, additionné du nombre N, donne un carré plus grand.

Horizontal (rangées) G 2- - modèles basse fréquence


Travailler avec des nombres, résoudre des problèmes urgents comme HFBCH ou le logarithme discret suggère que le chercheur a en quelque sorte ordonné et classé les nombres ( ici ) et ne fonctionne pas aveuglément, pas au hasard, mais prédit le résultat attendu, basé sur les hypothèses sur le résultat.

L'une des propriétés des lignes (horizontales) du modèle G 2- - NRF est la dépendance linéaire des valeurs de chaque cellule de la ligne suivante du modèle sur les valeurs dans les cellules de la précédente, qui est exprimée par simple sommation des valeurs des cellules des deux rangées adjacentes avec une valeur constante de la dernière cellule de la ligne inférieure, puis est
N (x1, xo) = N (h1-1 ho) + N (x1, x1 - 1), ho fonctionne pendant que toute la ligne du bas (voir Tableau 1) Cliquable



Figure 1-Valeurs qui sont des multiples des nombres impairs composites dans les 100 premiers (mis en évidence par un remplissage)
La figure montre les cellules remplies d'un remplissage avec des nombres égaux au produit des nombres des diagonales.

La particularité de ces nombres est que les nombres des diagonales du CCCH modulo N, considérés comme des éléments de l'anneau, lorsqu'ils sont affichés (quadrature) et apportant le résultat modulo les anneaux restent eux-mêmes (éléments fixes).

Le premier nombre du module est N = 15. Pour cela, la cellule multiple contient le produit des nombres des diagonales 10 · 6 = 60 = 15 · 4 multiple du module avec le coefficient k = 4. Pour les nombres des diagonales: 6 2 ≡ 6 (mod15); 10 2 ≡ 10 (mod15).

Prenez le deuxième nombre comme module N = 35. Pour cela, la cellule multiple contient le produit des nombres des diagonales 21 · 15 = 315 = 35 · 9 multiple du module avec un coefficient k = 9. Pour les nombres des diagonales: 15 2 ≡ 15 (mod35);
21 2 × 21 (mod35). Il en sera de même pour tous les nombres N appartenant à la longue diagonale D1, dans la ligne dont la cellule N multiple est indiquée en remplissant.

Exemple 2. ( Calcul d'une cellule multiple ). Le module composite KChKV N = 77 est réglé. selon les propriétés 1,2, la valeur dans la cellule N (x1 = 39, xo = 17) est calculée comme la somme des valeurs dans la cellule au-dessus de la donnée et dans la dernière cellule de la ligne x1 = 39 égale au module CCFV.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39-1) => 1232 = 1155 +77.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39 –1) = 38 2 - 17 2 + 39 2 - 38 2 => 1232 = 1155 +77.

D'autre part, la valeur dans chaque cellule d'une rangée arbitraire est calculée comme la différence des carrés des coordonnées de la cellule ou en tant que produit de la différence des coordonnées de la cellule par leur somme
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = 39 2 - 17 2 = ( 39 - 17) (39 + 17) = 22,56 = 1232 = 16,77.

Il existe d'autres façons moins évidentes de calculer la valeur dans la cellule.

L'exemple considéré est remarquable en ce qu'il établit une connexion formalisée du modèle considéré avec un anneau numérique fini de résidus par le module composite.

On sait que la première première diagonale 2 ± est le modèle NRF. contient dans ses cellules tous les nombres suivants, impairs d'affilée, qui peuvent être considérés comme des modules de réduction des structures algébriques. Les structures elles-mêmes sont formées d'éléments - des nombres naturels. Nous ne nous attarderons pas ici sur les concepts d'algèbre supérieure, mais nous n'indiquerons que les faits intéressants du point de vue de leur représentation dans le modèle G 2 - - de la NRF.

Parmi tous les éléments de la structure QPCW modulo N, il y a un ensemble I = {x}, appelés idempotents, et dont les carrés, après réduction (réduction modulo), conservent leurs valeursx 2 ≡ x (mod N). De tels éléments sont appelés immobiles dans la théorie des mappages. De plus, nous désignerons les idempotents par les symboles I1, II, ...

Une autre classe d'éléments est l'ensemble H = {x} QPCW, appelé involutions, a la propriété suivante x 2 ≡ 1 (mod N). De plus, nous désignerons les involutions par les symboles 1, 2, ...

Le rôle de tels éléments d'anneau est très important dans la résolution de problèmes appliqués, et ici nous considérerons quelques faits intéressants et utiles pour résoudre le HFBC. Le fait est que la théorie des anneaux ne répond pas à la question de savoir quels éléments de l'anneau sont idempotents, qui sont des involutions. Comment établir ces éléments, comment déterminer leurs valeurs, pour un module N donné de l'anneau.

Il s'avère que les idempotents sont, en plus, des éléments qui sont des multiples de différents diviseurs du module N. Leur produit modulo est nul, car c'est un multiple de N, mais la somme de deux idempotents est égale à N + 1. Ayant la valeur idempotente, nous pouvons résoudre le problème de trouver le plus grand facteur commun (commun à la fois pour le module et pour idempotent).

Et d'ici ce n'est pas loin de résoudre le problème de la factorisation du module en anneau, qui garantira que la clé privée du chiffrement asymétrique est trouvée et que l'attaque sur un tel chiffrement est réussie.

L'exemple considéré avec une cellule ayant une valeur qui est un multiple de la valeur dans la cellule la plus à droite de la ligne (un multiple de la cellule) a la particularité que le produit des diagonales dans le multiple de la cellule est le produit des idempotents de l'anneau.

Factorisation de N en utilisant les idempotents d'un anneau de nombre fini


VLF N. Schémas de factorisation. Utilisation des idempotents KPKV.
Toutes les cellules ( 1 , ®) G 2 sont uniques et sont combinées en lignes: horizontales avec les nombres 1 (elles contiennent le nombre 1 cellules), verticales avec les nombres 1, diagonales: courtes (K) avec nombres x1 + xo et long (D) avec nombres x1 - xo.

Dans chaque cellule (x1, xo) du modèle, des lignes des types nommés se croisent, dont les nombres sont déterminés par les coordonnées de la cellule. Les cellules du modèle peuvent ne contenir aucun nombre, mais uniquement des différences représentables des carrés d'autres nombres (coordonnées).

L'horizontale du modèle peut être définie par son nombre x1, et la verticale par le nombre xo, respectivement. Chaque cellule contient le nombre N (x1, xo) = x1 2 - xo 2. Les dernières cellules horizontales forment une longue diagonale D1 et contiennent les valeurs

N (x1, x1 - 1) = x1 2 - x1 2 + 2x1–1 = 2x1 - 1,

selon le nombre horizontal. Les cellules de cette diagonale contiennent tous les nombres impairs suivants dans une rangée. Pour la plage de nombres [d1min, d1max], d1min, d1max ∊ D1, la somme de leurs valeurs définit la forme additive de N.

Exemple 3 ( Calcul de la valeur kN d'une cellule multiple comme la somme des éléments d'un fragment de la diagonale D1 )

= 77 + 75 + 73+ ... + 37+ 35 = 1232 = 16 · 77 = 22 · 56 ,
où i = 1 (1) 22 . Ce dernier signifie que le nombre de termes (22) au total est égal à un plus petit diviseur


N (x1, xo), et le terme moyen (56) est le plus grand diviseur de N (x1, xo).

Si les cellules du modèle To diagonal G 2 ± - principal avec l'équation x1 = xo sont incluses dans le modèle G 2 - , alors la valeur qu'elles contiennent sera nulle. Ensuite, lors de la génération de valeurs dans les cellules de la ligne avec le nombre x1 dans sa dernière cellule, nous obtenons la valeur 2x1–1, car elle résume avec la valeur de la cellule de la ligne avec le nombre x1–1 situé au-dessus et cette valeur est 0. Propriétés importantes de G 2 - - Le modèle et ses cellules sont les suivants.

Propriété 1. Tous les nombres dans les cellules de l'horizontale actuelle x1 peuvent être obtenus à partir des nombres dans les cellules correspondantes de l'horizontale précédente (supérieure) avec le nombre x1 - 1 en additionnant leurs valeurs avec une valeur constante de 2x1 - 1.

Tableau 1 - Fragment G 2 - - modèles de 2 lignes 38e et 39e, N = 77



En effet, N (x1, xo) = N (x1 –1, xo) + 2x1 - 1 = x1 2 - 2x1 + 1+ 2x1 - 1– xo 2 = x1 2 - ho 2 .

Propriété 2. La deuxième propriété découle de la première. Tout nombre N (x1, xo) dans la cellule horizontale avec le nombre x1 peut être obtenu comme la somme des valeurs dans les cellules du fragment de la longue diagonale D1, dont le plus grand d1max est le nombre dans la dernière cellule horizontale x1, et le plus petit d1min est le nombre dans la cellule coupant la diagonale D1 avec ho vertical.

Propriété 3 . Pour un VLF N carré placé dans la cellule d'extrême droite de l'horizontale x1, dans cette horizontale il y aura une cellule dans laquelle un multiple de N sera placé, c'est-à-dire le nombre kN, k> 1. La recherche d'une telle cellule est un problème non trivial difficile à résoudre.

Une illustration de cette propriété est les données du tableau 2. Pour les nombres des cent premiers sans carré et composé N, placés dans les cellules d1∊ D1 avec une valeur de 2x1 - 1, une autre cellule (x1, xo) contenant la valeur N (x1, xo) = kd1 est un multiple d1.

Tableau 2.


K · D est le produit des diagonales se coupant dans la cellule avec la valeur de kN.

Propriété 4 . Tous les nombres N (x1, xo) dans les cellules de l'horizontale actuelle x1 peuvent être obtenus comme le produit des nombres des diagonales a = x1 + xo court et b = x1 - xo long, se croisant dans ces cellules.

Il est commode d'illustrer les propriétés avec un exemple numérique
Exemple 4 . Nous considérerons 2 -- modèle. Nous avons défini N = pq = 7 · 11 = 77 pour la factorisation de l'ELF. C'est un nombre impair et pour cela il y a une cellule dans la longue diagonale D1 qui se trouve horizontalement avec le nombre x1 = ½ (N + 1) = 39.

Le nombre 77 lui-même est placé dans le dernier cellule de cette horizontale, contenant, comme toutes les autres cellules, la différence des carrés des coordonnées x1 2 - xo 2 .

La première cellule de cet horizontal dans la verticale xo = 0 est occupée par le nombre
x1 2 = 39 2 = 1521. La valeur du nombre dans toute cellule intermédiaire de l'horizontale x1 est, d'une part, le produit des nombres b = x1 - xo longs et courts a = x1 + xo diagonales, l'intersection ab = (x1 + xo) (x1 - xo) en elle.

En revanche, il est égal à la différence entre les carrés des nombres horizontaux (pour toutes les cellules horizontales, ce carré x1 2 est le même) et le xo 2 vertical , qui se croisent également dans cette cellule intermédiaire, c'est-à-dire
N (x1, xo) = x1 2 - xo 2 .

De plus, toutes les valeurs dans les cellules horizontales x1 (par la propriété 1) sont égales à la somme des valeurs N (x1, xo) = N (x1 - 1, xo) + 77 des cellules horizontales correspondantes avec le nombre x1 - 1, c'est-à-dire à partir du haut au-dessus et une constante égale à N = 77.

Supposons que pour les nombres des diagonales la valeur x1 + xo = I1 = 56 soit choisie pour le court et pour le long la valeur x1 est xo = I2 = 22, c'est-à-dire, valeurs des idempotents non triviaux du cycle résiduel modulo N.

Lorsque nous multiplions des idempotents non triviaux comme les diagonales du modèle G 2 - -, nous obtenons dans une cellule horizontale (avec le nombre x1 = 39) comme produit le nombre multiple du module de l'anneau résiduel (77), qui est situé dans la dernière cellule de cette horizontale, c'est-à-dire I1 · I2 = 56 · 22 = kN = 16 · 77 = 1232.

Il est également connu de la théorie des anneaux que la somme des idempotents non triviaux est égale à 1 + 2 = N + 1. Ainsi, en ce qui concerne les idempotents inconnus, nous obtenons un système d'équations algébriques qui, en plus de deux idempotents inconnus, contient également un troisième coefficient de multiplicité inconnu k> 1.



Heureusement, le coefficient k peut être déterminé en dehors du système d'équations algébriques. Supposons que le coefficient k soit déjà déterminé par nous k = 16. Ensuite, nous résolvons le système d'équations.



Le dernier terme de l'équation quadratique doit être le carré de 39. Pour ce faire, ajoutez le nombre 289 = 17 2 aux côtés gauche et droit de l'équation . On obtient alors
(I2 - 39) 2 = 17 2 ou I2 - 39 = ± 17 et enfin, I2 = 17 + 39 = 56 ou I2 = 39 - 17 = 22.
Réponse: Les idempotents sont égaux à I2 = 22; I1 = 56 ou vice versa: I2 = 56 et I1 = 22.

Revenons maintenant à la question de la détermination de la valeur du coefficient de multiplicité k.
Considérons l'algorithme suivant pour déterminer le coefficient de multiplicité du module N.

Algorithme

1. Un nombre composite N = 77 est donné - le module de l'anneau résiduel;

2. Déterminez par N la valeur du nombre horizontal x1 = ½ (77+ 1) = 39, dans la première cellule
que nous avons mis un carré 39 2 = 1521, et dans sa dernière cellule nous avons mis N = 77;

3. Le produit des idempotents apparaît dans la cellule horizontale intermédiaire x1 = 39; pour cette cellule, la condition est satisfaite que le nombre qu'il contient est égal à kN, et il est représentable par la différence des carrés des nombres naturels.

4. Par conséquent, en soustrayant à plusieurs reprises du carré du nombre de la première cellule horizontale 39 2 = 1521 les valeurs x0 = 1,2,3, ... successivement, chaque fois que nous déterminons la valeur de k, et est-ce un entier? Dès que la différence devient un multiple de N, le problème est résolu: kN est trouvé.

Considérons également un autre algorithme pour déterminer le coefficient de multiplicité du module N.

1. Un nombre composite N = 77 est donné - le module de l'anneau résiduel;

2. Déterminez par N la valeur du nombre horizontal x1 = ½ (77+ 1) = 39, dans la première cellule
dont nous avons mis le carré 39 2 = 1521, et dans sa dernière cellule, nous avons mis N = 77;

3. Le produit des idempotents apparaît dans la cellule intermédiaire de l'horizontale x1; pour cette cellule, la condition est satisfaite que le nombre qu'il contient est égal à kN, et il est représentable par la différence des carrés des nombres naturels.

En utilisant la propriété 2, le nombre kN peut être trouvé par le chemin indiqué ici, à savoir, en additionnant des nombres impairs décroissants de façon monotone à partir d'un fragment de la diagonale D1, en commençant par d1max = 77 et en terminant par d1min, dont la valeur est a priori inconnue, d1min, d1max ∊ D1.

4. Pour établir le dernier terme après chaque étape de sommation, la divisibilité de la somme obtenue est vérifiée par N = 77. La solution est la somme divisible par 77.

Tableau 3 - N nombres sont des multiples de 3 sur la ligne médiane (la prévision est mise en évidence en remplissant)



Dans ce tableau sont des nombres composites (multiples trois) suivent avec des écarts alternés de 6 et 12. En effet, dans la ligne N, nous avons 21 - 15 = 6, et 33 - 21 = 12 et plus loin dans le même ordre. On peut supposer que les écarts entre les valeurs tabulaires de N sont dus au fait que dans les six nombres adjacents, il y a des nombres premiers jumeaux, par exemple, 16, 17, 18, 19, 20.

Le prochain multiple de trois 21 n'est que le sixième d'affilée après 15. Soit en 12 nombres consécutifs, des paires de nombres premiers jumeaux sont possibles, par exemple, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ou les carrés 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 sont mélangés avec de simples jumeaux. En général, le choix est fait avec la garantie de ne pas tomber sur un nombre non composite dans une position correspondant à un multiple de trois.

À savoir, une telle condition garantit la fiabilité des prévisions à long terme. Les nombres manquants s'avèrent être des multiples non seulement de trois, mais aussi de grands nombres premiers, ce qui permet de les considérer à partir d'autres positions.

Liste des publications

1.Stechkin B.S., Matiyasevich Yu.V. Tamis d'Eratosthène // Actes de l'école internationale de S.B. Stechkina sur la théorie des fonctions. - Iekaterinbourg, 1999. - p. 148.

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