Je continue le sujet des bévues et des gribouillis, commencé dans l'article "Bévues de manuels et curiosités d'étude" . Je rappelle les définitions:

Le bêtisier est une erreur flagrante ou voilée, qui n'est cependant pas de nature fondamentale, de sorte qu'après avoir souffert, vous pouvez y remédier.
Zagogulina est une phrase, un thème énoncé de telle manière que pour le comprendre, vous devez vous casser la tête (ordinaire, pas de génie et pas de talent).

1. Quelle est la simplicité de la formule?

Prenez le livre «Théorie des probabilités. Concepts de base. Théorèmes limites. Processus aléatoires », Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov,« Science », 1967. Je
cite le texte de la page 14:
« Formule de Stirling. Dans toutes les formules ci-dessus, l'expression

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . Le calcul direct d'un tel produit pour les grands n est très laborieux. Il existe une formule relativement simple donnant une valeur approximative pour n!, Appelée formule de Stirling: pour les grands n

n! ∽ \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}

$n! \backsim \sqrt{2πn}n^n e^{-n}$

Une phrase similaire se trouve dans d'autres livres et sur Internet.

Je ne comprends pas quelque chose car la formule de Stirling est plus simple que la formule de définition

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . En quoi est-ce plus facile? Comment organiser les formules par simplicité? La phrase clé étant «Le calcul direct d'un tel produit pour les grands n est très laborieux», il est naturel de supposer une plus grande simplicité dans le sens de moins de calculs. D'accord, venons de ce côté. Comparer les formules à partir de la position du nombre d'opérations élémentaires (du point de vue d'un ordinateur) dans l'une et l'autre des formules. Dans la formule

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ il y a n multiplications. Dans la formule de Stirling, nous avons les opérations:

$\sqrt{2πn}$ - deux multiplications et une extraction racinaire. L'extraction de la racine n'est pas une opération élémentaire, mais sa mise en œuvre nécessite un cycle de calcul et plus elle est longue, plus la précision requise des calculs est grande.
$n^n$ - n multiplications. $n^n=nnn…n$ . Après tout, nous ne dissimulerons pas que c'est une opération. Dans ce cas, on peut dire que n! une opération. Du moins dans aucun ordinateur, ni le degré ni la fonction exponentielle ne sont des opérations élémentaires.
$e^{-n}$ - il ne s'agit pas non plus d'une opération élémentaire, mais sa mise en œuvre nécessite un cycle de calcul et plus elle est longue, plus la précision requise des calculs est grande.

Le plus drôle, c'est que

n^{n} = n n \dots n

$n^n=nn…n$ déclaré plus facile

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . De tout point de vue sur la simplicité, après cela on ne peut plus raisonner davantage.
Ainsi, il est clair que du point de vue de la complexité de calcul, la formule de Stirling n'est en aucune façon plus simple que la formule de définition.
Alors pourquoi avons-nous besoin de la formule Stirling? Il n'y a pas de réponse universelle. Et cela ne se résume pas à la simplicité des calculs. Cela dépend complètement de la situation. Par exemple, il est peu probable de simplifier l'expression

N! / (N - 1)!

$N!/(N-1)!$ vous devez appliquer la formule Stirling. La formule de définition donne immédiatement

N! / (N - 1)! = N

$N!/(N-1)!=N$ .
En général, si nous avons une identité comme formule1 ≡ formule2, il est parfois avantageux de remplacer la formule1 par la formule2, et parfois vice versa.
Dans certaines situations, l'application de la formule de Stirling entraîne une réduction évidente des termes de la formule là où elle entre, ce qui est difficile à voir si la formule de définition est appliquée. C'est du moins le cas en physique statistique. Là, toutes les quantités fondamentales sont exprimées en termes de poids statistique, dont les formules sont scintillantes avec des factorielles. Mais l'entropie, par exemple, s'exprime par le logarithme naturel du nombre d'états. C'est là que le rôle de la forme commence à jouer, dans ce cas, la représentation du factoriel à travers le degré:

l n (n!) ∽ n l n (n / e)

$ln⁡(n!) \backsim nln(n/e)$

Et voici un exemple d'application de la formule de Stirling, tirée de Fichtenholtz (v.2):

2. La capture de la notation

Prenez le manuel «Physics of Elementary Particles», auteur N.F. Nelipa, Moscou, «Higher School», 1977. À la page 19, la relation entre l'élan et les représentations de coordonnées est enregistrée:

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ (p) (1)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}φ(p) \ \ \ \ (1)$

Nous voyons que la formule contient à la fois φ à droite et φ à gauche. S'il s'agit d'une identité, alors en regardant cette formule, une personne pas très sophistiquée peut tirer ces conclusions.
On prend φ (x) = 1
Alors à partir de (1) on a

1 = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} 1

$1=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}1$

Vous avez une "merveilleuse" décomposition de l'unité. Ou, de même,

s i n (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} s i n (p)

$sin(x) =(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}sin(p)$

Tout cela est clairement absurde. Alors, quel est le problème?
Ou peut-être que la relation (1) doit être interprétée comme une équation du type

x^{2} = b x

$x^2=bx$ ?
Nous regardons d'autres livres. Voici une autre «Physique des particules élémentaires», auteur Gaziorovich, Moscou, «Science», 1969. À la page 20, nous avons la formule

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ ̃ (p) (2)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx} φ ̃(p) \ \ \ \ (2)$

Je pousse un soupir de soulagement. Ceci est juste un lien entre les représentations de coordonnées et de momentum et il est donné du point de vue des mathématiques par l'expansion de Fourier. Ici φ et φ ̃ sont des fonctions différentes. Mais qu'en est-il de la formule (1) Nelips? Du point de vue des mathématiques, c'est incorrect. Si φ est une fonction, alors φ (x) et φ (p) sont tous deux une seule fonction. J'ai été tourmenté pendant longtemps ("L'auteur ne peut s'empêcher de le remarquer. Cela signifie que l'affaire est plus délicate") puis j'ai trouvé une excuse du point de vue de la physique. La voici:
φ (x) et φ (p) ne sont pas les mêmes fonctions, ce sont un seul et même champ φ pris dans des représentations différentes. Le domaine en est un, mais sa présentation est différente. Le type de vue est spécifié par une lettre entre parenthèses. Nous nous concentrons sur le fait que le champ ne change pas. La vue change. Je me rassure donc.Mais, messieurs, les auteurs, vous écrivez un manuel. expliquer aux simples mortels ce qui est quoi. Et puis le lecteur doit trouver des excuses à l'auteur .

En outre, je me tourne vers les classiques quantiques soviétiques "Introduction à la théorie des champs quantifiés" par NN Bogolyubov et DV Shirkov, Nauka, Moscou, 1973. Page 28.

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} φ ̃ (k) (3)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx}φ ̃ (k) \ \ \ \ (3)$

Bien. Et le Gaziorovich susmentionné est similaire. Mais regardez plus loin. Je cite:
«... nous constatons que la fonction φ ̃ (k) satisfait l'équation

(k^{2} - m^{2}) φ ̃ (k) = 0

$(k^2-m^2 ) φ ̃ (k)=0$

Et, par conséquent, peut être représenté comme

φ ̃ (k) = δ (k^{2} - m^{2}) φ (k)

$φ ̃ (k)=δ(k^2-m^2 )φ(k)$

Et, de plus, on dit que dans cet esprit, la décomposition (3) prendra la forme

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} δ (k^{2} - m^{2}) φ (k) (4)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx} δ(k^2-m^2 )φ(k) \ \ \ \ (4)$

Encore une fois, nous sommes revenus à la représentation de φ à φ. De compréhensible Gaziorovich est venu à l'incompréhensible Nelipe. Qu'est-ce que ça veut dire? Est-ce une équation? Je pense qu'ici aussi il est nécessaire de donner une interprétation similaire au cas de Nelipa donné ci-dessus.
C'est vraiment un gribouillis. Pour une raison quelconque, ce caprice ne m'a rencontré que dans les livres d'auteurs soviétiques.
Et je reviens à l'auteur de Nelip. Nous prenons son livre «Physique des particules élémentaires. Champs de jauge. " Le livre est recommandé comme guide d'étude. Cela oblige le manuel à faire le moins possible toutes sortes de défauts. Pas besoin de forcer l'élève à réfléchir longuement à la résolution des défauts. C’est déjà difficile pour lui. Cependant, nous prenons la formule (1.2.14) et le texte précédent:
Matrices

λ_{k}

$λ_k$ satisfaire les relations de commutation suivantes (algèbre de Lie):

[λ_{k}, λ_{j}]_{-} = 2 i f_{k j n} λ_{n}, S p λ_{i} λ j_{k} = 2 δ_{i j} (1.2.14)

$[λ_k,λ_j ]_-=2if_{kjn} λ_n, Spλ_i λj_k=2δ_{ij} \ \ \ \ (1.2.14)$

Et pas un mot n'est dit que sommer signifie n. Ce n'est ni dans la préface ni dans le texte principal. Et il y a beaucoup de telles formules dans le livre.
De plus, l'introduction dit:
«Le produit scalaire de deux vecteurs à quatre dimensions s'écrit

Bloopers et gribouillis. 2

1. Quelle est la simplicité de la formule?

2. La capture de la notation

3. Grandes mesures de gribouillis

$\ \ \$ 3.1. Dirac

$\ \ \$ 3.2. Landau

$\ \ \$ 3.3. Blokhintsev

$\ \ \$ 3.4. Susskind

$\ \ \$ 3.5.

$\ \ \$ 3.6. Wihman

$\ \ \$ 3.7.

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.1. Déni du postulat de projection

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.2. Refus de réduction non déterministe

$\ \ \$ 3.8. Sommaire

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.1. Cuisine

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.2. La mesure

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