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Lois naturelles et mathématiques élégantes: problèmes et solutions

Si les mathématiques peuvent nous fournir une explication élégante de nombreux phénomènes physiques, parfois dans des situations réelles, il est nécessaire de parcourir des fourrés de données numériques




Depuis l'époque de Pythagore, les gens croient en la capacité spéciale des belles mathématiques à nous révéler tous les secrets du monde. Nous avons utilisé le célèbre article d'Eugene Wigner " Efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles " pour discuter de ce sujet avec les lecteurs et résoudre plusieurs problèmes qui y sont liés. Les tâches devaient démontrer que, bien que les mathématiques soient vraiment très utiles pour créer des modèles idéalisés et des explications élégantes de nombreux phénomènes physiques, dans des situations réelles, il est parfois nécessaire de parcourir des fourrés de données numériques.

Scénario 1: simplicité et uniformité


A) L'objet glisse sur une surface homogène, ayant une vitesse initiale de 1. Pour chaque unité de distance, sa vitesse diminue de 1/10 de la valeur qu'il avait avant de commencer à passer ce segment particulier. Jusqu'où un objet peut-il voyager avant de s'arrêter complètement? Quelle est la formule générale pour le calculer?

Cette tâche a un hic. À première vue, il rappelle le paradoxe zénon d'Achille et de la tortue, qui produit une progression géométrique infinie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... pour le temps et la distance. Bien que cette séquence soit infinie, elle converge et il est donc possible de calculer son montant total (dans ce cas, 2). Par conséquent, dans ce cas, la distance finie est couverte dans un temps fini [on peut argumenter: ici nous ne parlons pas d'un modèle mathématique, mais de mouvement réel, et donc cela n'a aucun sens de limiter l'analyse du paradoxe aux mathématiques - parce que Zenon ne fait que questionner l'applicabilité de l'idéalisé au mouvement réel concepts mathématiques / env. trad.].

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B) La machine peut se déplacer vers l'avant et latéralement, avec la même facilité. Sa vitesse de croisière normale dans n'importe quelle direction est de 1 unité sur une surface lisse. La figure montre qu'elle doit surmonter 10 bandes de terrain, chacune ayant une longueur de 10 unités et une largeur de 1 unité. La longueur des bandes est perpendiculaire à la direction dans laquelle la machine doit se déplacer. La machine est située au milieu de la première bande, qui est lisse (les bandes lisses sont indiquées en gris). Après cela, des rayures irrégulières (violettes) et lisses alternent.



Cependant, les irrégularités sur les rayures inégales ne sont pas les mêmes. Chaque bande se compose de 10 sections carrées, que nous pouvons imaginer sous la forme d'irrégularités artificielles de la route. Les rugosités se tiennent côte à côte, la taille de chacun d'eux est 1x1. Leurs propriétés varient. Des irrégularités peuvent ralentir la vitesse de croisière de la machine d'une valeur de 50% à 95%, et cette valeur est modifiée par pas de 5%. Chacune des bandes inégales est constituée d'irrégularités de tous les 10 types, allant dans un ordre aléatoire (la première bande violette montre l'un des modèles de distribution possibles des irrégularités). La machine peut lire la rugosité de la zone située juste en face d'elle (mais une seule), et peut se déplacer latéralement avec sa vitesse de croisière égale à 1, de sorte que, si vous le souhaitez, elle déplace une autre rugosité qui ne la ralentira pas autant. Pour cela, bien sûr,le temps passera, et si elle se déplace latéralement de quelques cases, plus de temps sera consacré. Après avoir surmonté chaque bande magenta, la vitesse de croisière augmente à nouveau. Quelle stratégie la voiture doit-elle adopter pour parcourir le territoire le plus rapidement? Combien de temps cela prendra-t-il?

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2:


Considérons un objet solide hypothétique en forme de triangle rectangulaire, avec toute sa masse concentrée aux sommets. Pour simplifier, imaginez que cet objet est bidimensionnel - il n'a pas d'épaisseur. Chaque sommet est un point d'une masse de 1 unité et la masse totale de l'objet est de 3 unités. La base du triangle est de 4 unités de long, la jambe verticale est de 3 unités et l'hypoténuse est de 5 unités. Imaginez que le même triangle soit situé à proximité, orienté exactement de la même manière, et que la médiane des deux triangles (le segment reliant le milieu de l'hypoténuse au sommet opposé) se trouve sur une ligne droite, et les sommets des angles droits sont distants de 4 unités. Quelle sera l'attraction agissant sur eux? La loi de l'attraction gravitationnelle fonctionne-t-elle si elle est appliquée à deux triangles en tant qu'objets séparés? Quoi,si les triangles étaient situés à une distance de 8 unités de longueur les uns des autres, et orientés de la même manière? Dans une telle situation, la formule de l'attraction gravitationnelle fait-elle mieux?

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La loi de la nature requiert-elle donc des mathématiques élégantes? Et qu'est-ce qui rend les mathématiques élégantes si capables et applicables dans un large éventail de problèmes? Parmi les avantages des mathématiques,

un lecteur a énuméré l' abstraction, les contrôles intégrés de cohérence, de continuité, de travail à l'infini, les retours de la physique et de la symétrie. Un autre a cité l' histoire suivante de la vie:

Il y a quelques semaines, j'ai parlé avec Don Lincoln, un physicien du Fermilab. Je lui ai demandé: "Pourquoi les mathématiques décrivent-elles si bien l'univers?" Il a répondu que les systèmes mathématiques peuvent être formulés d'un nombre infini de façons, donc pour tout univers qui a des relations causales, vous pouvez toujours trouver une plate-forme mathématique qui décrit sa physique.

D'autres lecteurs ont décrit des observations similaires. Il me semble que les mathématiques en elles-mêmes sont un vaste ensemble de lois et de techniques qui, en raison de leur abstraction, peuvent trouver une application dans de nombreux domaines non liés qui ont une structure et une dynamique similaires, ou une interaction mutuelle d'un type différent. Nous avons également la chance de vivre dans un univers où les mathématiques élégantes sont utiles. Comme l'a fait remarquer un lecteur: «Les mathématiques et les lois de Newton seraient plutôt impraticables si nous vivions dans un univers avec une entropie proche du maximum.»

Mais dans quelle mesure les mathématiques élégantes peuvent-elles décrire la nature? Je vais citer un commentaire d'un des lecteurs dans son intégralité:

Il n'est pas nécessaire d'approfondir la biologie pour constater que de nombreuses représentations mathématiques deviennent insuffisamment complètes: chimie, science des matériaux, physique de la matière condensée. Par exemple, une molécule d'eau ne peut pas être décrite analytiquement en utilisant les outils de la mécanique quantique pour la même raison que le problème des trois corps n'est pas disponible pour nous en mécanique céleste. Des domaines entiers de la science, comme la thermodynamique et la mécanique statistique, existent parce que certains systèmes physiques, comme un glaçon dans l'eau, sont trop complexes pour décrire mathématiquement chaque molécule d'eau dans la glace et en capacité, sans parler des condensats de Bose -Einstein ou superfluidité. La loi d'Ohm est la version électromagnétique de la somme statistique brute, et la loi de Hooke et les tenseurs de tension sont la version élastique de la somme statistique brute,et les deux refusent de travailler à un certain moment ou après une certaine limite en raison de la dépendance du courant électrique sur la température et le matériau, et les effets de la déformation irréversible dans les corps physiques sous une charge lourde.

La raison de la simplicité de la plupart des mathématiques utilisées en physique est qu'il s'agit d'une somme statistique brute ou d'une simplification sérieuse des phénomènes physiques.

Pourquoi aimons-nous autant les mathématiques élégantes?


L'un des lecteurs a intitulé son commentaire «l'élégance est la moindre dépense énergétique du cerveau» et a écrit:

Le sentiment de «l'eureka!», La réduction de la grande complexité au principe simple d'organisation des neurones, ou à la «loi mathématique» dans de nombreux problèmes est un exemple de simplification qui donne ce sentiment euphorique économie d'énergie. Ce principe peut être lié au principe KISS (Keep It Simple, Stupid), ainsi qu'à la déclaration d'Einstein: "Tout doit être réduit à la forme la plus simple possible, mais cela ne vaut pas la peine d'être simplifié davantage."

La prise de conscience par notre cerveau qu'il existe de nombreux phénomènes liés les uns aux autres dans la nature donne lieu à une telle symétrie que l'auto-organisation de nos neurones perçoit comme un moyen de stocker des informations avec une consommation d'énergie minimale.

Comme je l'ai écrit dans mon article sur ce sujet, le rasoir d'Occam et la sensation agréable à l'époque de "Eureka!" sont fermement enregistrés dans notre cerveau et sont les manifestations d'une connexion cognitive-émotionnelle unique qui nous rend rationnels. Je suppose que chaque fois dans notre tête la quantité que j'appelle «entropie psychique» diminue, nous obtenons une récompense. Cette entropie psychique n'est pas seulement de la compacité, mais aussi de l'organisation de connexions invisibles jusqu'à ce point, et le sentiment que tout est combiné en un tout unique. L'évolution nous a rendus intelligents, offrant de petites récompenses internes après avoir résolu chaque énigme - une stratégie très efficace.

Est-ce que Wigner a raison?


Oui et non. Il avait raison de dire que dans les descriptions mathématiques de certains problèmes physiques, il y a des motifs abstraits et des symétries, puis les mathématiques montrent toute leur puissance. Cependant, il existe de tels domaines, à la fois en physique et dans d'autres sciences complexes, lorsque cela ne fonctionne pas. Peut-être que Wigner était un peu mystique, ou un «patriote des mathématiques», et a quelque peu exagéré le problème dans son essai.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

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