⛸️ 🕠 🏂 Modelo típico de desarrollo de epidemias de COVID-19 👶🏻 💮 👢

Esta publicación trata sobre el modelo matemático más simple de la epidemia, con solo dos parámetros, dirigido a todos aquellos que quieran saber qué nos rodeará a nosotros y a nuestros vecinos mañana, en una semana, en un mes o dos. Estoy agradecido de antemano a aquellos que, habiendo disfrutado el modelo, exponen sus vicios y ayudan a mejorarlo.

Introducción. Algunas palabras sobre números semidesnudos

Al evaluar el desarrollo de la epidemia, debe recordarse que su desarrollo está determinado por el número de portadores del virus y se manifiesta a través del número de diagnósticos confirmados. Estas cantidades no son idénticas. Solo podemos suponer que la cantidad de portadores del virus en una sociedad infectada es directamente proporcional a la cantidad de diagnósticos confirmados. Los coeficientes de proporcionalidad pueden variar tanto en las regiones autónomas de un país como en diferentes países.

Las fuentes de información oficial y no oficial sobre la enfermedad pulmonar, que la OMS denominó COVID-19 [5], informan de manera consistente los casos confirmados en los que las personas han tenido un resultado positivo para Sars-CoV-2. Pero estas cifras no dicen nada acerca de cuántas personas en diferentes países realmente portan o portaron el virus, ni de cuánto enfermo o hasta ahora COVID-19 ha sido causado por el virus.

La verdad es que la comunidad mundial (hasta ahora) no sabe qué tan alto es el número oscuro de enfermedades. El problema es que las pruebas de Sars-CoV-2 son similares a las pruebas de intoxicación por alcohol familiares para los conductores. Las pruebas se realizan en dos etapas. En el primero, se toma una muestra, se procesa de acuerdo con el procedimiento estándar, y se determina la concentración en la muestra de una determinada sustancia testigo, cuya presencia probablemente esté asociada con la infección por Sars-CoV-2 o, como en el caso del conductor, con la intoxicación. Garantizar esta etapa se presta a la unificación e incluso a la estandarización, como en el caso de "ppm". La OMS da este paso al acreditar laboratorios de referencia en todo el mundo [5]. El Gosstandart ruso también emite un certificado de verificación de alcoholímetros. Pero en el siguiente paso,En la etapa de interpretación del resultado de medir la concentración de la sustancia testigo, comienza el área de responsabilidad de las autoridades nacionales. Las autoridades, así como con el ppm, establecen reglas nacionales para confirmar el diagnóstico de COVID-19 sobre la base de exceder el nivel umbral de concentración de la sustancia testigo en la muestra establecida por las autoridades. No hay acuerdo entre los países con respecto a dicho nivel de umbral, y tampoco ha habido una comparación internacional de confirmación de diagnósticos.No hay acuerdo entre los países con respecto a dicho nivel de umbral, y tampoco ha habido una comparación internacional de confirmación de diagnósticos.No hay acuerdo entre los países con respecto a dicho nivel de umbral, y tampoco ha habido una comparación internacional de confirmación de diagnósticos.

A partir de esto, podemos concluir que el número de portadores del virus se puede estimar en el mejor de los casos. Por la misma razón, no tiene sentido comparar el número absoluto de diagnósticos confirmados en diferentes países y sacar conclusiones de los resultados de dividir el número de diagnósticos por el número de ciudadanos.

Siempre tenga en cuenta estas incertidumbres al interpretar números semidesnudos.

Principios de la epidemia.

Según el curso fundamental del cálculo diferencial e integral, G.M. Fichtenholtz, al tratar de describir el desarrollo de la pandemia de COVID-19, describimos una variante ordinaria, o una función del tiempo, que refleja la secuencia de valores diarios de las características del desarrollo de la epidemia (o pandemia) a su gusto. Obtenemos estimaciones del valor de esta función en forma de una muestra aleatoria: esos números que diariamente presentan informes sobre el número de nuevos diagnósticos confirmados, el número de muertos o recuperados. Nuestra tarea es encontrar la ley del cambio de función (o variantes de Fichtenholtz) con el tiempo (día tras día) de acuerdo con los resultados del muestreo aleatorio. El propósito de esta búsqueda es encontrar una base confiable para pronosticar el desarrollo de la epidemia. Y el alcance de los resultados es la adopción de una decisión informada, por ejemplo, sobrecuando ya es posible ir con un amigo a Ples en el Volga, o cuando, finalmente, las autoridades pueden eliminar las medidas de cuarentena en el país e invitar a colegas extranjeros al simposio. Desafortunadamente, mucho depende de cómo se desarrolle la epidemia en nuestras vidas.

La función que nos interesa es la dependencia del número total de portadores de Sars-CoV-2, o el número de diagnósticos confirmados de COVID-19 proporcional a él a lo largo del tiempo. Esta es una función no decreciente: el valor actual de la función debe ser mayor o igual a lo que era ayer. Tal función es un reflejo de la ley más general del desarrollo de la epidemia [5, 6]. Se basa en tres principios.

El principio de proporcionalidad. El aumento diario en el número de portadores del virus en una sociedad infectada es proporcional al número total de portadores del virus que surgió durante todo el período anterior del desarrollo de la epidemia.

El principio de independencia. El aumento diario relativo en el número de portadores del virus no depende del número total de portadores del virus que surgió durante todo el tiempo anterior del desarrollo de la epidemia.

La expresión matemática de la ley del desarrollo de una epidemia que cumple con estos principios es elemental:

N (n + 1) = N (n) + f (n) × N (n) = N (n) [1+ f (n)],

donde N ( n) es el número de portadores del virus en el día n del desarrollo de la epidemia, por ejemplo, hoy, N (n + 1) es el número de portadores del virus en el día n + 1 del desarrollo de la epidemia, es decir, mañana, y f (n) es el día relativo un aumento en el número de diagnósticos confirmados, que es un "factor en la reproducción de la epidemia".

La función f (n), como el "factor de reproducción epidémica" en una sociedad infectada, que describí en [1,2], es el principal indicador de la propagación del virus durante una epidemia. El factor de reproducción determina completamente el desarrollo de la epidemia y es un análogo completo de la tasa de depósito bancario, que a su vez es un factor en la reproducción de dinero en un depósito fijo:

f(n) , , , , ;
f(n) , , , , ;
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f(n) , . .

Al igual que el dinero en un depósito bancario a plazo fijo, el número total de portadores del virus en una sociedad infectada, que estimamos como el número de portadores del virus, crece a medida que

N (n + 1) = N (n) [1+ f (n)],
N (n + 2 ) = N (n) [1+ f (n)] × [1+ f (n + 1)],
N (n + 3) = N (n) [1+ f (n)] × [1+ f (n + 1)] × [1+ f (n + 2)],

y así sucesivamente.

En términos de gestión del desarrollo de la epidemia, el tipo de función de la reproducción de la epidemia está determinado por la acción de varios factores [1-7]:

Cambios aleatorios en el virus debido a mutaciones que acompañan la reproducción del virus en el cuerpo del portador del virus;
Por las acciones de los médicos que, mediante pruebas, determinan los portadores del virus en una sociedad infectada y no permiten una mayor transmisión del virus, limitando el contacto del portador establecido con otros;
Por las acciones de las autoridades, que, a través de medidas de cuarentena, limitan la posibilidad de contacto entre un transportista no identificado y otros.

Teniendo en cuenta la aleatoriedad e independencia de los procesos de formación de mutaciones, transmisión del virus durante los contactos, es de esperar que, en condiciones de medidas constantes para controlar la epidemia por parte de los médicos y las autoridades, una función de reproducción epidémica típica se vea como una función exponencial decreciente del tiempo con parámetros constantes:

f (n) = B × exp (-Ax)

El desarrollo de cualquier enfermedad infecciosa se caracteriza por un período latente (latente) de su desarrollo desde la transmisión del virus por su portador a una persona sana hasta que se manifiestan los síntomas de la enfermedad y la posterior confirmación del diagnóstico en el nuevo portador del virus. Por lo tanto, un cambio en las medidas de las autoridades para controlar la epidemia o el sabotaje de tales medidas por parte de miembros de una sociedad infectada no se manifestará en un cambio en el número de portadores del virus al instante. Estas acciones y los cambios visibles causados por ellos, por ejemplo, el número de diagnósticos o muertes, estarán separados por un período de tiempo aproximadamente igual al período latente del desarrollo de la enfermedad. Esto implica el tercer principio para el desarrollo de una epidemia controlada.

El principio de la repercusión. El aumento diario relativo en el número de portadores del virus con retraso refleja medidas para controlar la epidemia o su sabotaje.

Un buen ejemplo de este principio es el control remoto del móvil. El operador en la Tierra presiona el pedal del freno, y el dispositivo en Marte se detiene solo después de 3 minutos debido a la velocidad finita de propagación de las ondas de radio.

Epidemia típica

Una epidemia típica es una epidemia cuyo desarrollo está sujeto al principio de proporcionalidad, el principio de independencia y el principio de efecto secundario, y la función de reproducción tiene la forma de una función exponencial decreciente del tiempo con parámetros constantes.

En el futuro, consideraremos el número de diagnósticos confirmados como una característica de la epidemia de COVID-19, proporcional al número de portadores del virus Sars-CoV-2. Los informes estadísticos de la OMS [8] sobre el desarrollo de la pandemia de COVID-19 muestran que en todos los países, sin excepción, hay períodos bastante largos de desarrollo típico en la historia de la epidemia de COVID-19. Con un desarrollo típico de la epidemia, para estimar el número de diagnósticos confirmados en un mes, es suficiente saber cuántos se han registrado hasta la fecha y los parámetros de la función f (n) para los próximos 30 días.

El crecimiento en el número de diagnósticos confirmados de ND (n) en la provincia china de Hubei, cuya capital es el famoso Wuhan, a medida que se desarrolla la epidemia, se muestra en la Fig. 1. La dependencia f (n), referida como el aumento diario relativo en el número de diagnósticos confirmados, también se presenta allí. En la primera etapa del desarrollo de la epidemia, la tasa de "reproducción" de los diagnósticos en Hubei creció rápidamente, pero a partir de los 10 días f (n) comienza a comportarse como una función exponencial descendente con parámetros constantes, y el desarrollo de la epidemia se vuelve típico.

En el período de 10-40 días, los parámetros de la función exponencial f (n) fueron iguales a: A = 0.14604 1 / día. y B = 1.234. Además, el 13 de febrero hubo una crisis en el sistema para confirmar los diagnósticos y su número en un día aumentó en casi 17 mil [1,2]. Al mismo tiempo, tal inyección de nuevos diagnósticos no condujo a un cambio en los parámetros de la función de reproducción. Después de 40 días, en la tercera etapa final del desarrollo de la epidemia, A = 0.324 1 / día. y B = 3.273.

El cambio de los parámetros de la función de reproducción f (n) fue una consecuencia de las acciones de las autoridades destinadas a fortalecer las medidas de cuarentena que impiden la reproducción y transmisión del virus. Además, de acuerdo con el principio de efecto secundario, estas acciones y los cambios posteriores en la función de reproducción no ocurrieron simultáneamente. Están separados por un intervalo de tiempo de aproximadamente 5-15 días.

Alrededor del 10 de marzo, el aumento diario relativo en el número de diagnósticos confirmados cayó por debajo del nivel de 0.0001 1 / día. Las autoridades chinas comenzaron a levantar las restricciones de cuarentena y el 15 de marzo anunciaron oficialmente que la epidemia de COVID-19 en Hubei había terminado.

Higo. 1. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 en la provincia de Hubei (China)

Suiza es otro ejemplo de un desarrollo epidémico típico. En Suiza (ver Fig. 2), la dependencia de la función de reproducción f (n) en el tiempo permanece sin cambios desde el 16 de marzo, el décimo día después de que el número de diagnósticos confirmados excediera el nivel crítico de 100 [1,2]. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 es típico. Los parámetros de la función de reproducción epidémica: A = 0.0910 y B = 0.6443.

Higo. 2. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Suiza La

disminución constante de la tasa de reproducción de la epidemia en Suiza refleja los esfuerzos de las autoridades y los residentes para combatir la epidemia. Las medidas duras de intervención de las autoridades chinas, con la plena sumisión a estas medidas por parte de los residentes, hicieron posible asegurar un rápido final de la epidemia. Las medidas de cuarentena liberales de las autoridades, junto con el pleno apoyo de estas medidas por parte de los residentes, permitieron a las autoridades y residentes de Suiza detener la epidemia, pero solo a los 80 días de su desarrollo se pueden lograr los resultados que la provincia de Hubei alcanzó 30 días antes, a los 50 días.

Epidemia atípica

Hay países en los que las acciones de las autoridades fueron ineficaces, y su sabotaje por parte de aquellos a quienes las autoridades deberían proteger redujo completamente estas medidas a nada. Dichos países brindan ejemplos del desarrollo atípico de la epidemia de COVID-19.

imagen

Higo. 3. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Irán

En la Fig. La Figura 3 presenta una imagen del desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Irán. Fuertes autoridades iraníes seculares en el primer mes del desarrollo de la epidemia han dado grandes pasos en el manejo de la epidemia. Pero luego ocurrieron dos eventos que llevaron a consecuencias desastrosas. La consecuencia del primer evento es un aumento en f (n) del 24 al 31 de marzo. Si no hubiera un aumento repentino, en Irán el número de diagnósticos confirmados para hoy (25 de mayo) sería de aproximadamente 30 mil en lugar de 135 mil. ¿Cuál fue el impulso que causó el aumento en la reproducción de la epidemia? Tal impulso es un acto de sabotaje, una violación grave de las medidas de cuarentena, por ejemplo, festividades públicas en medio de un período de autoaislamiento. Como se mostró anteriormente, el tiempo entre el acto de sabotaje y el aumento en el número de solicitudes de atención médica debe ser de aproximadamente 5-15 días. ¿Cuáles son los eventos de la violación masiva de las medidas de cuarentena,asociado con el hacinamiento ocurrido en Irán 5-15 días antes del 24-31 de marzo? Hay varios eventos de este tipo en el calendario de días festivos seculares y religiosos en Irán: el 8 de marzo, el Día del Padre en países musulmanes y el cumpleaños del Imam Ali; 10 de marzo - Día de la vestimenta tradicional kurda; 21 de marzo - Navruz y 22 de marzo - Israv al-Miraj. El Día del Padre y Navruz son ocasiones dignas para reunirse, conversar (los besos son un atributo indispensable de una reunión cordial en el Este) y contribuyen a la reproducción de los portadores del virus. Después de estos eventos, las autoridades seculares de Irán nuevamente establecieron un estricto control sobre el desarrollo de la epidemia, pero el 1 de mayo, quedó claro que el control de la epidemia se volvió ineficaz. El 18 de abril, Irán celebró el Día del Ejército, que fue precedido el 11 de abril por el levantamiento de muchas restricciones de cuarentena [9].El resultado es una pérdida parcial de control de la epidemia y un aumento incontrolado en el número de diagnósticos confirmados en mayo.
Otro ejemplo de la pérdida de control sobre el desarrollo de la epidemia es la situación en la capital austriaca, la bella Viena. En la Fig. 4 presenta una imagen del desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Viena.

Higo. 4. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Viena

Según los residentes vieneses, las medidas de cuarentena en la ciudad se redujeron a la terminación de oficinas y empresas, el cierre de parques de la ciudad, museos y todo lo que la gente pudiera comunicarse voluntaria o involuntariamente, incluidas las tiendas de comestibles. Los que continuaron trabajando estaban abarrotados. En las calles, la policía no permitió la aparición de residentes mayores de la ciudad. Todos los demás tenían que cuidar de su propia seguridad. Y la gente salía a caminar por parques y bosques que no tienen puertas ni cercas, que son muchas en Viena y sus alrededores. Como resultado, hay una variación muy grande de f (n) que indica un mal manejo de la epidemia. Después del 14 de abril (Pascua católica), algo similar a los eventos en Irán después del 1 de mayo comenzó en Viena. La función de reproducción de la epidemia prácticamente ha dejado de cambiar. Su muestra arroja alrededor de 0.012 1 / día.Como resultado, hay un aumento continuo en el número de diagnósticos confirmados en los últimos 50 días, similar al iraní. Además, se produjo una crisis en el sistema de atención médica: después del 4 de abril, el número de pacientes se redujo a alrededor de 1,500, aparentemente este es el máximo para Viena, y en dos días del 16 al 17 de abril, había menos de 1,000 pacientes en Viena. Este millar fue reconocido como recuperado. Como resultado, en los últimos 40 días, el número de pacientes en Viena no ha cambiado y se mantiene en el nivel de 450-500 personas. Las personas se curan, pero son reemplazadas inmediatamente por otras nuevas y nada cambia. Nada como esto sucedió en las 8 tierras federales austriacas restantes [6]. Si las autoridades retuvieran el control de la epidemia a fines de abril y principios de mayo, la situación podría desarrollarse como lo muestra la línea roja de puntos.después del 4 de abril, el número de pacientes cayó alrededor de 1,500, aparentemente este es el máximo para Viena, y en dos días del 16 al 17 de abril, había menos de 1,000 pacientes en Viena. Este millar fue reconocido como recuperado. Como resultado, en los últimos 40 días, el número de pacientes en Viena no ha cambiado y se mantiene en el nivel de 450-500 personas. Las personas se curan, pero son reemplazadas inmediatamente por otras nuevas y nada cambia. Nada como esto sucedió en las 8 tierras federales austriacas restantes [6]. Si las autoridades retuvieran el control de la epidemia a fines de abril y principios de mayo, la situación podría desarrollarse como lo muestra la línea roja de puntos.después del 4 de abril, el número de pacientes cayó alrededor de 1,500, aparentemente este es el máximo para Viena, y en dos días del 16 al 17 de abril, había menos de 1,000 pacientes en Viena. Este millar fue reconocido como recuperado. Como resultado, en los últimos 40 días, el número de pacientes en Viena no ha cambiado y se mantiene en el nivel de 450-500 personas. Las personas se curan, pero son reemplazadas inmediatamente por otras nuevas y nada cambia. Nada como esto sucedió en las 8 tierras federales austriacas restantes [6]. Si las autoridades retuvieran el control de la epidemia a fines de abril y principios de mayo, la situación podría desarrollarse como lo muestra la línea roja de puntos.Como resultado, en los últimos 40 días, el número de pacientes en Viena no ha cambiado y se mantiene en el nivel de 450-500 personas. Las personas se curan, pero son reemplazadas inmediatamente por otras nuevas y nada cambia. Nada como esto sucedió en las 8 tierras federales austriacas restantes [6]. Si las autoridades retuvieran el control de la epidemia a fines de abril y principios de mayo, la situación podría desarrollarse como lo muestra la línea roja de puntos.Como resultado, en los últimos 40 días, el número de pacientes en Viena no ha cambiado y se mantiene en el nivel de 450-500 personas. Las personas se curan, pero son reemplazadas inmediatamente por otras nuevas y nada cambia. Nada como esto sucedió en las 8 tierras federales austriacas restantes [6]. Si las autoridades retuvieran el control de la epidemia a fines de abril y principios de mayo, la situación podría desarrollarse como lo muestra la línea roja de puntos.

En la historia del desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Moscú, como en Rusia en general, también se produjo el sabotaje. En la Fig. 5. Se muestra el desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Moscú.

Higo. 5. El desarrollo de la epidemia de COVID-19 en Moscú

El ímpetu que llevó a un aumento en la función de reproducir la epidemia del 30 de abril al 3 de mayo fue muy probablemente los eventos de Pascua, junto con la congestión en la entrada de las estaciones de metro de Moscú el lunes 15 de abril. El segundo evento fue el resultado de un régimen restrictivo para el uso del transporte público introducido por el gobierno de Moscú. Las autoridades de Moscú impusieron restricciones al uso del transporte público en dos etapas. El 25 de marzo, se canceló la tarifa reducida en el transporte para personas mayores y estudiantes. El 11 de abril, se decidió introducir el control de acceso para el transporte a partir del 15 de abril, inmediatamente después de los eventos de Pascua. La congestión de personas en las iglesias y en la entrada del metro fue un impulso (¿sabotaje?), Que condujo a un aumento en la función de reproducción de la epidemia a principios de mayo. El hecho de que ocurriera el mismo aumento en toda Rusia,La versión sobre la participación de los eventos de Pascua es muy probable.

Parámetros de un modelo típico de desarrollo epidémico.

Dado que el desarrollo de una epidemia típica es predecible, considero necesario poner a disposición del lector los parámetros de la función de reproducción de la epidemia en varios países y ciudades. Se muestran en la tabla.

La experiencia existente de utilizar el modelo típico de desarrollo epidémico COVID-19 proporciona un pronóstico del número de diagnósticos confirmados con una incertidumbre de aproximadamente 10-15%. Según la práctica existente, con una disminución de f (n) por debajo de 0.001 1 / día, las autoridades pueden decidir debilitar o retirar por completo las medidas de cuarentena. En esta área, no se respetarán las condiciones típicas de la epidemia y se subestimarán las estimaciones predictivas del número de diagnósticos confirmados. Esto debe tenerse en cuenta al evaluar el pronóstico para los países en los que la epidemia está llegando a su fin.

Mesa. Parámetros de la función de reproducción del número de diagnósticos confirmados durante el desarrollo de una epidemia típica de COVID-19.

Conclusión

A mediados de abril, Moscú y Rusia pisaron el primer rastrillo que Irán había pisado un mes antes, a mediados de marzo. Viena pisó el segundo rastrillo iraní. Si, a diferencia de Viena, no pisamos el segundo rastrillo iraní, entonces, como se estima en la fig. 5, celebrar el Desfile de la Victoria, designado por el Presidente el 24 de junio, puede ser seguro.

enlaces externos

[1] COVID-19: ¿Qué y cuándo esperar?
[2] Antilapsha No. 2 COVID-19: ¿Por qué necesitamos ciencia en cuarentena?
[3] Anti-noodle No. 3 COVID-19 en una gran ciudad
[4] Anti-noodle No. 4 COVID-19: Avalanche que cubrió Europa
[5] Anti-noodle No. 5 COVID-19: ¿Quién es ahora?
[6] Antilapsha No. 6 COVID-19: ¿Fin de una pandemia?
[7] Antilapsha No. 7 COVID-19: Números semidesnudos. Víctimas humanas

[8] OMS COVID-19 informa

[9] –En Irán, dijeron que esperan la segunda y tercera oleada de coronavirus en el país / TASS.ru (05/02/2020; 14:27)

[10] Pases digitales: cómo funcionará sistema de acceso en la ciudad. MOS.ru. (11/04/2020; 19:35).

Modelo típico de desarrollo de epidemias de COVID-19