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Estudiante graduado resolvió un problema topológico hace medio siglo

Lisa Picchirillo tardó menos de una semana en encontrar una respuesta a la vieja pregunta sobre un extraño nodo descubierto hace más de cincuenta años por el legendario matemático John Conway.




En el verano de 2018, en una conferencia sobre topología y geometría de baja dimensión, Lisa Picchirillo se enteró de un pequeño problema matemático. Parecía un buen campo de pruebas para algunas de las técnicas que Lisa desarrolló como estudiante graduada en la Universidad de Texas en Austin.

“No me permití trabajar en eso durante el día”, dijo, “porque no consideraba que esta tarea fuera matemática real. La percibí más como tarea ".

La pregunta era: ¿es el nudo de Conway, un complejo tejido de cuerda, descubierto hace más de cincuenta años por el legendario matemático John Horton Conway , un trozo de un nudo de dimensiones superiores. "Sliceness" es una de las primeras preguntas naturales que los especialistas enLas teorías de los nudos preguntan acerca de los nudos de los espacios de alta resolución, y los matemáticos pudieron responderlo por muchos miles de nudos con no más de 12 intersecciones, todas menos una. El nodo Conway, que tiene 11 intersecciones, ha provocado a los matemáticos durante muchas décadas.

Antes del final de la semana, Picchirillo estaba listo para responder: el nodo Conway no es la sección mencionada. Unos días después, cuando se reunió con Cameron Gordon, profesora de la Universidad de Texas, mencionó casualmente su decisión.

"¿¿Yo dije eso?? ¡Sí, debería ir inmediatamente a los Anales! - dijo Gordon, refiriéndose a una de las revistas matemáticas más grandes, Annals of Mathematics.

"Comenzó a gritar: ¿Por qué no estás contento con esto?" Dijo Pichchirillo, ahora un postdoc en la Universidad de Brandeis. "Es como un loco".

"No creo que se haya dado cuenta de la antigüedad y la fama de esta tarea", dijo Gordon.

EvidenciaPiccirillo apareció en la revista Annals of Mathematics en febrero. Este trabajo y sus otros logros le proporcionaron un lugar en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, donde comenzará a trabajar el 1 de julio, solo 14 meses después de defender su doctorado.

La cuestión de si el nodo de Conway pertenecía al corte fue famosa no solo porque permaneció sin respuesta durante mucho tiempo. Los nudos cortados brindan a los matemáticos la oportunidad de explorar la extraña naturaleza del espacio cuatridimensional, en el que a veces es posible tejer esferas bidimensionales en un nudo de manera tan arrugada que no se pueden alisar. La sobriedad está "relacionada con algunos de los problemas más profundos de la topología de cuatro dimensiones", dijo Charles Livingston , profesor emérito de la Universidad de Indiana.

"La cuestión de la cizalladura del nudo de Conway ha sido un criterio para muchos desarrollos modernos relacionados con aspectos generales de la teoría de nudos", dijo Joshua Green, del Boston College, supervisor de posgrado Piccirillo. "Fue muy agradable ver cómo un hombre a quien conocía desde hace bastante tiempo de repente sacó esta espada de una piedra".

Esferas mágicas


La mayoría de nosotros imaginamos el nudo como un trozo de cuerda entrelazada con dos extremos. Sin embargo, los matemáticos trabajan con cuerdas cuyos extremos están interconectados, por lo que el nudo no se puede desenredar. Durante el siglo pasado, estos bucles anudados han ayudado a estudiar preguntas de diversos campos de la ciencia, desde la física cuántica hasta la estructura del ADN, así como desde la topología de espacios tridimensionales.


En este video de 1990, John Conway explica cómo, en la escuela secundaria, demostró que dos nodos no se anulan entre sí.

Sin embargo, si tenemos en cuenta el tiempo como medida, nuestro mundo será de cuatro dimensiones, por lo que es natural preguntar acerca de la existencia de una teoría apropiada de nodos en 4D. Y esto no significa que simplemente podamos tomar todos los nudos tridimensionales y empujarlos en un espacio de cuatro dimensiones: si tiene cuatro dimensiones, puede desentrañar cualquier lazo si comienza a levantar los trozos de cuerda uno encima del otro en la cuarta dimensión.

Para atar un nudo en 4D, necesita una esfera bidimensional, no un bucle unidimensional. Al igual que las tres dimensiones proporcionan suficiente espacio para atar los bucles, pero no para desatarlas, las cuatro dimensiones proporcionan un lugar para atar las esferas, lo que los matemáticos hicieron por primera vez en la década de 1920.

Es difícil imaginar una esfera atada en un espacio de cuatro dimensiones, pero para esto es útil imaginar primero una esfera normal en 3D. Si lo cortas, verás un bucle desatado. Pero si corta la esfera conectada en 4D, verá un bucle conectado (o, posiblemente, un bucle no conectado, o varios bucles conectados entre sí, depende de dónde cortar). Cualquier nodo que se pueda obtener cortando una esfera conectada se considera cortado. Algunos nodos no están cortados, por ejemplo, un nodo con tres intersecciones, trifolium.



Los nodos cortados "unen las historias tridimensionales y tetradimensionales de la teoría de nudos", dijo Green.

Sin embargo, hay un problema que revela la riqueza y la especificidad de la historia de cuatro dimensiones: en la topología de cuatro dimensiones, hay dos opciones diferentes para la cizalladura. Varios trabajos revolucionarios a principios de la década de 1980 (por los cuales Michael Friedman y Simon Donaldson recibieron el Premio Fields) mostraron que el espacio de cuatro dimensiones contiene no solo esferas lisas que imaginamos intuitivamente. También tiene esferas arrugadas que no se pueden alisar. Y la cuestión del corte del nudo depende de si se deben considerar estas esferas arrugadas.

"Estos son objetos muy, muy extraños, casi mágicos", dijo Shelley Harveyde la Universidad de Rice (fue del informe de Harvey en 2018 que Piccirillo se enteró por primera vez sobre el nodo de Conway).

Estas extrañas esferas no son un error de la topología de cuatro dimensiones, sino su peculiaridad. Los nudos de corte topológico, pero no los "cortes suaves", es decir, los nudos que son rodajas de esferas arrugadas, permiten a los matemáticos crear los llamados nudos Variantes "exóticas" del espacio cuatridimensional habitual. Desde un punto de vista topológico, estas copias del espacio de cuatro dimensiones se ven igual que de costumbre, pero al mismo tiempo están irrevocablemente arrugadas. La existencia de tales espacios exóticos distingue la cuarta dimensión de todas las demás.

El problema de corte es la "sonda más pequeña" para estos espacios exóticos de cuatro dimensiones, dijo Green.

A lo largo de los años de investigación, los matemáticos han descubierto un conjunto completo de nodos cortados topológicamente, pero no sin problemas. Sin embargo, entre los nodos con el número de intersecciones de hasta 12, al parecer, no se observó, con la posible excepción del nodo Conway. Los matemáticos podrían calcular el límite de todos los demás nodos con un número de intersecciones no superior a 12, sin embargo, no se les dio el nodo Conway de ninguna manera.

Conway, quien murió el mes pasado debido a un coronavirus, era conocido por sus importantes contribuciones a una amplia gama de áreas de las matemáticas. Se interesó por los nodos por primera vez en la década de 1950 y se le ocurrió una manera simple de enumerar casi todos los nodos con el número de intersecciones hasta 11 (las listas completas anteriores incluían solo nodos con el número de intersecciones hasta 10).

Pero un nodo en esta lista se mantuvo aparte. "Creo que Conway se dio cuenta de que este nodo era de alguna manera especial", dijo Green.

El nodo Conway, como se llamó más tarde, es una sección topológica: los matemáticos entendieron esto en la década de 1980 como parte de una serie de descubrimientos revolucionarios. Sin embargo, no pudieron determinar si fue un corte suave. Sospechaban que esto no era así, ya que no tenía una característica como la "cinta" que generalmente se observa en los nodos lisos. Sin embargo, otra característica no dio la oportunidad a todos los intentos de mostrar que este corte no es uniforme.

A saber, el nodo de Conway tiene un nodo fraterno o, como dicen en la teoría de los nodos, una mutación. Si dibujas un nudo de Conway en el papel, cortas una cierta parte de él, volteas un fragmento y vuelves a conectar el nudo, obtienes otro nudo, conocido como el nudo Kinoshita - Terasaki .


Para demostrar que el nodo Conway no es un corte suave, los científicos fueron impedidos por su similitud con el nodo Kinoshita - Terasaki. Lisa Picchirillo descubrió cómo atar a un nuevo compañero más complejo al nodo de Conway.

El problema es que este nuevo nodo es un corte suave. Y dado que el nodo Conway se parece mucho a un corte liso, evita los efectos de todas las herramientas (invariantes) utilizadas por los matemáticos para determinar los nodos que no son cortes.

"Cuando apareció un nuevo invariante, tratamos de probarlo en el nodo Conway", dijo Green. "Y este es un ejemplo tan obstinado único que, independientemente de la invariante, no nos dijo si es una rebanada o no".

El nudo de Conway "cae en la intersección de los puntos ciegos" de estos instrumentos, dijo Picchirillo.

Un matemático, Mark Hughes, de la Universidad Brigham Young, creó una red neuronal utilizando invariantes de nodos y otra información para predecir propiedades como la cizalladura. Para la mayoría de los nodos, la red hace predicciones claras. ¿Sabes lo que dijo sobre el corte suave del nudo de Conway? 50 a 50.

"Con el tiempo, este nudo comenzó a destacarse entre otros como no sujeto a nosotros", dijo Livingston.

Vueltas difíciles


A Picchirillo le gusta la intuición visual asociada con la teoría de los nudos, pero no cree que sea principalmente una teórica en este campo. "Estoy más interesada en figuras tridimensionales y tetradimensionales, pero su estudio está estrechamente entrelazado con la teoría de los nodos, así que lo estoy haciendo un poco", escribió en un correo electrónico.

Cuando comenzó a estudiar matemáticas en la universidad, no se destacó como "una niña prodigio estándar en matemáticas", dijo Elisenda Grisby , una de las maestras de Picchirillo en el Boston College. Grisby notó por primera vez la naturaleza creativa de Picchirillo. "Ella siempre creyó en la exactitud de su punto de vista".

La pregunta relacionada con el nodo de Conway llegó a Pichchirillo cuando pensó si los nodos podían estar conectados por otra cosa que no fueran mutaciones. Cada nodo tiene su llamado. se puede obtener un trazado de cuatro dimensiones si coloca el nudo en el borde de la bola de cuatro dimensiones y cose algo como una capucha en la parte superior a lo largo del nudo. La huella del nodo "codifica su nodo bastante duro", dijo Gordon.



Los diferentes nodos pueden tener la misma traza de cuatro dimensiones, y los matemáticos ya sabían que, por así decirlo, los familiares en las pistas siempre tienen el mismo estado de corte, ya sea que estén cortados o no. Sin embargo, Piccirillo y Allison Miller , un postdoctorado de la Universidad de Rice, mostraronque tales familiares traza no necesariamente se ven iguales para todos los invariantes utilizados para estudiar la cizalladura.

Esto indicó a Picchirillo el camino hacia la estrategia utilizada para demostrar que el nodo Conway no está cortado: si ella pudiera crear un pariente de rastreo para este nodo, tal vez estaría más dispuesto a cooperar con uno de los invariantes cortados que el nodo Conway mismo.

La construcción de tales familiares es una tarea difícil, pero Picchirillo era un experto en esto. "Básicamente estoy haciendo esto", dijo. "Así que me fui a casa y lo hice".

Usando una combinación ingeniosa, Pichchirillo pudo construir un nodo complejo que tiene el mismo rastro que el nodo Conway. Y para este nodo, una herramienta llamada
La "invariante c" de Rasmussen muestra que no se corta suavemente, como, por lo tanto, es el nodo Conway.

"Muy hermosa prueba", dijo Gordon. Según él, no había razón para esperar que el nodo creado por Picchirillo sucumbiera a la invariante c de Rasmussen. "Sin embargo, el enfoque funcionó, lo que es incluso sorprendente".

La evidencia de Pichchirillo "acompaña a la evidencia breve e inesperada de resultados evasivos de que los investigadores en este campo pueden digerir, admirar e intentar generalizar rápidamente, sin mencionar que se preguntan por qué nadie podría pensar en esto por tanto tiempo". escrito por Green en el correo electrónico.

Las huellas son una herramienta clásica que ha existido durante varias décadas, pero Picchirillo lo descubrió mejor que otras, dijo Green. Según él, su trabajo mostró a los topólogos que se subestiman los rastros de los nodos. "Ella tomó algunas herramientas ligeramente polvorientas", dijo. "Y ahora otros ya están siguiendo su ejemplo".

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