Estudiante graduado resolvió el problema del "Nodo de Conway", sobre el cual lucharon durante décadas

Lisa Piccirillo tardó menos de una semana en responder la antigua pregunta sobre un sitio extraño descubierto hace más de medio siglo por el legendario John Conway.

En el verano de 2018, en una conferencia sobre topología y geometría de baja dimensión, Lisa Picchirillo se enteró de un pequeño y lindo problema matemático. Parecía un buen campo de pruebas para algunos de los métodos que desarrolló como estudiante graduada en la Universidad de Texas en Austin.

"No me permití trabajar en este día", dijo, "porque no consideré que esto fuera matemática real. Pensé que era mi tarea ".

La pregunta es si el nodo Conway, una palanca abierta hace más de medio siglo por el legendario matemático John Horton Conway, es una pieza de un nodo de dimensiones superiores. "Sliceness" es una de las primeras preguntas naturales que los teóricos de los nudos hacen sobre nudos en espacios con dimensiones más altas, y los matemáticos pudieron responder a todos los miles de nudos con 12 o menos intersecciones, con la excepción de una. El nodo Conway, que tiene 11 intersecciones, ha estado provocando a los matemáticos durante décadas.



La solución al problema del nodo Conway, propuesta por Lisa Pichchirillo, la ayudó a conseguir un puesto permanente en el Instituto de Tecnología de Massachusetts.


En menos de una semana, Picchirillo ya tenía la respuesta: el nodo Conway no es una "rebanada". Unos días después, se reunió con Cameron Gordon, un profesor de la Universidad de Austin, y de paso mencionó su decisión.

"¡¿Qué?! ¡Se está metiendo en los anales ahora mismo! " - Dijo Gordon, refiriéndose a los "Anales de las Matemáticas", una de las mejores revistas de esta disciplina.

Él comenzó a gritar: "¿Por qué no saltas de alegría?" Dice Picchirillo, ahora estudiante graduado en la Universidad de Brandeis. "Incluso se asustó un poco".

"No creo que ella haya entendido qué problema tan antiguo y famoso es", dijo Gordon.

Prueba de Piccirilloapareció en Annals of Mathematics en febrero. Este artículo, combinado con su otro trabajo, le proporcionó una oferta de trabajo permanente en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, que comienza el 1 de julio, solo 14 meses después de completar su doctorado.

La cuestión del corte del nudo de Conway se conocía no solo por el tiempo que permaneció sin resolver. Las rodajas de nudos brindan a los matemáticos la oportunidad de explorar la extraña naturaleza del espacio cuatridimensional en el que las esferas bidimensionales se pueden atar en un nudo, a veces de forma tan arrugada que no se pueden alisar. Según Charles Livingston, profesor emérito de la Universidad de Indiana, la pureza "en este momento está vinculada a algunos de los problemas más profundos en la topología de cuatro dimensiones".

"Esta pregunta de si el nodo de Conway es una porción fue una especie de desglose para muchos desarrollos modernos en el campo general de la teoría de nodos", dijo Joshua Greene, del Boston College, quien supervisó la disertación de posgrado de Picchirillo durante sus años de estudiante. "Estaba muy contento de ver cómo alguien que había conocido por tanto tiempo de repente sacó una espada de una piedra".

bola mágica

Mientras que la mayoría de nosotros cree que existe un nudo en un trozo de cuerda con dos extremos, los matemáticos piensan que estos dos extremos están conectados, por lo que el nudo no se puede desenredar. Durante el siglo pasado, estos ciclos nodales han ayudado a iluminar varios temas, desde la física cuántica hasta la estructura del ADN, así como la topología del espacio tridimensional.


John Conway explicó en 1990 cómo demostró en la escuela secundaria por qué dos nodos no pueden equilibrarse entre sí.

Pero nuestro mundo es de cuatro dimensiones si incluimos el tiempo como medida, por lo que es natural preguntar si existe una teoría correspondiente de los nudos en el espacio 4D. No se trata solo de tomar todos los nodos que tenemos en el espacio tridimensional y sumergirlos en el espacio 4D: con cuatro dimensiones para moverse en un círculo, cualquier bucle nudoso se puede desenredar si los hilos se mueven uno encima del otro en la cuarta dimensión .

Para hacer un objeto nudoso en un espacio de cuatro dimensiones, necesita una esfera bidimensional, no un bucle unidimensional. Así como las tres dimensiones brindan suficiente espacio para construir bucles anudados, pero no suficiente espacio para que se desenreden, las cuatro dimensiones brindan un entorno para las esferas anudadas que los matemáticos construyeron por primera vez en la década de 1920.

Es difícil visualizar una esfera anudada en el espacio 4D, pero es útil pensar primero en una esfera normal en el espacio 3D. Si lo atraviesas, verás un lazo suelto. Pero cuando corta una esfera anudada en el espacio 4D, puede ver un bucle anudado (o, posiblemente, un bucle irreconocible o un enlace de varios bucles, en su lugar, dependiendo de dónde corte). Cualquier nodo que pueda hacer cortando una esfera anudada se llama "corte". Algunos nodos no se cortan, por ejemplo, un nodo de tres uniones, conocido como trébol.

Los nodos de corte "proporcionan un puente entre las historias tridimensionales y cuatridimensionales de la teoría de nodos", dijo Green.

Pero hay una arruga que da la riqueza y la originalidad de una historia de cuatro dimensiones: en la topología 4D hay dos versiones diferentes de lo que significa ser cortado. En una serie de desarrollos revolucionarios a principios de la década de 1980 (que trajeron medallas a Michael Freedman y Simon Donaldson Fields), los matemáticos descubrieron que el espacio 4D contiene no solo esferas suaves que visualizamos intuitivamente, sino también esferas que están tan arrugadas que nunca se podrían planchar sin problemas. La pregunta de qué nodos son una porción depende de si decides incluir estas esferas arrugadas.

"Estos son objetos muy, muy extraños que parecen existir a través de la magia", dijo Shelly Harvey de la Universidad de Rice. (Fue en el discurso de Harvey en 2018 que Picchirillo aprendió por primera vez sobre el problema del nodo Conway).

Estas áreas extrañas no son un error de la topología de cuatro dimensiones, sino una característica. Los nodos que están "cortados topológicamente" pero no "cortados suavemente", es decir, son un corte de una esfera arrugada, pero no suave, permiten a los matemáticos construir versiones llamadas "exóticas" del espacio ordinario de cuatro dimensiones. Estas copias del espacio de cuatro dimensiones se ven igual que el espacio normal desde un punto de vista topológico, pero están irremediablemente arrugadas. La existencia de estos espacios exóticos distingue la cuarta dimensión de todas las demás dimensiones.

El tema de la suavidad es el "sensor dimensional más bajo" de estos espacios exóticos de cuatro dimensiones, dijo Green.

Con los años, los matemáticos han descubierto una serie de nodos que se cortaron topológicamente, pero que no se cortaron sin problemas. Sin embargo, entre los nodos con 12 o menos intersecciones, parecía no haber ninguno, con la posible excepción del nodo Conway. Los matemáticos podrían calcular el estado de corte de todos los demás nodos con 12 o menos intersecciones, pero el nodo Conway los eludió.

Conway, quien murió de COVID-19 el mes pasado, era conocido por hacer contribuciones influyentes a un área de las matemáticas tras otra. Primero se interesó por los nodos en su adolescencia en la década de 1950 y se le ocurrió una manera simple de enumerar casi todos los nodos hasta 11 intersecciones (las listas completas anteriores solo llegaron a 10 intersecciones).

Hubo un nodo en la lista que se destacó. "Creo que Conway entendió que había algo completamente especial en esto", dijo Green.

El nodo de Conway, como comenzaron a llamarlo, está cortado topológicamente: los matemáticos entendieron esto en el contexto de los descubrimientos revolucionarios de la década de 1980, pero no pudieron entender si se cortó sin problemas. Sospechaban que esto no era así, porque parecía carecer de una función llamada "nervadura", que normalmente tienen los nudos cortados suavemente. Pero también tenía una característica que lo hacía inmune a cualquier intento de demostrar que no estaba bien cortado.

A saber, el nodo Conway tiene una especie de pariente: el llamado mutante. Si dibujas un nudo de Conway en papel, recortas un trozo de papel específico, volteas un fragmento y luego conectas sus extremos libres, obtendrás otro nudo, conocido como el nudo Kinoshita-Terasaka .

El problema es que esta nueva unidad resultó cortarse suavemente. Y dado que el nodo Conway está tan estrechamente conectado con el nodo de corte suave, se las arregla para engañar a todas las herramientas (llamadas invariantes) que los matemáticos usan para encontrar nodos sin un corte.

"Cada vez que aparece un nuevo invariante, tratamos de verificarlo en el nodo de Conway", dijo Green. "Este es solo un ejemplo obstinado que, independientemente del invariante que se te ocurra, no te dice si es un corte o no. ".

El nodo de Conway "está ubicado en la intersección de los puntos ciegos" de estos diversos instrumentos, dijo Piccirillo.

Un matemático, Mark Hughes, de la Universidad Brigham Young, creó una red neuronal que utiliza invariantes de nodos y otra información para predecir características como la cizalladura. Para la mayoría de los nodos, la red hace predicciones claras. Pero, ¿cuál es su presentimiento sobre si el nudo de Conway se corta suavemente? Cincuenta cincuenta.

"Con el tiempo, se convirtió en un nudo que no pudimos hacer frente", dijo Livingston.

Giros y vueltas inteligentes

Piccirillo disfruta de la intuición visual que conlleva la teoría del nudo, pero no se considera a sí misma principalmente como una teórica del nudo. "Estas son realmente [formas tridimensionales y tetradimensionales] que me entusiasman, pero el estudio de estas cosas está profundamente relacionado con la teoría de los nudos, así que también hago un poco de esto", escribió en un correo electrónico.

"Cuando comenzó a estudiar matemáticas en la universidad, no se destacó como un" niño prodigio matemático dorado ", dijo Elisenda Grigsby, una de las profesoras de Pichchirillo en el Boston College. Lo más probable es que fue creatividad Pichchirillo atrajo la atención de Grigsby. "Ella realmente creía en su punto de vista, y eso siempre ha sido así".

Piccirillo se enfrentó a la pregunta del nodo de Conway en un momento en que estaba pensando en una forma diferente de conectar dos nodos además de una mutación. Cada nodo tiene una forma tetradimensional correspondiente, llamada su trazo, que se crea colocando el nodo en el borde de la bola 4D y cosiéndole una especie de gorra a lo largo del nodo. La traza del nodo "codifica este nodo con mucha fuerza", dijo Gordon.



Piccirillo, uno de los antiguos profesores, llamó a la creatividad, una de sus principales fortalezas como las matemáticas.

Los diferentes nodos pueden tener la misma traza de cuatro dimensiones, y los matemáticos ya sabían que estos hermanos gemelos de la traza, por así decirlo, siempre tienen el mismo estado de corte: o ambos son corte o ambos no lo son. Pero Piccirillo y Allison Miller, ahora estudiante graduada de Rice, han demostrado que estos hermanos traza no se ven necesariamente iguales para todos los invasores de nudos utilizados para estudiar la suavidad.

Esto apuntó a la estrategia de Picchirillo de demostrar que el nodo Conway no es un segmento: si pudiera generar una afinidad de rastreo para el nodo Conway, probablemente funcionaría mejor con uno de los invariantes de corte que el nodo Conway.

Crear rastros de hermanos y hermanas es un asunto complejo, pero Picchirillo era un verdadero experto. "Esta es solo mi profesión", dijo. "Así que me fui a casa y lo hice".

Gracias a una combinación de giros ingeniosos, Piccirillo logró construir un nudo complejo que tiene la misma huella que el nudo Conway. Para este nodo, una herramienta llamada Rasmussen s-invariant muestra que no es un corte suave, por lo que el nodo Conway no puede ser uno u otro.

"Esta es una gran evidencia", dijo Gordon. Según él, no había razón para esperar que el nodo construido por Picchirillo cedería ante el s-invariante de Rasmussen. "Pero funcionó ... de alguna manera sorprendentemente".

La evidencia de Piccirillo "encaja en la forma de evidencia breve y sorprendente de resultados escurridizos que los investigadores en este campo pueden absorber, admirar y esforzarse por generalizar rápidamente, sin mencionar que se preguntan cómo tomó tanto tiempo", escribió Green en un correo electrónico. .

"Las huellas son una herramienta clásica que ha existido durante décadas, pero Picchirillo entendió más profundamente que nadie", admira Green. "Su trabajo mostró a los topólogos que las huellas están subestimadas. Cogió algunas herramientas en las que, quizás, un poco polvorientas. Otros ahora están siguiendo su ejemplo ".

---

Aprenda los detalles de cómo obtener una profesión solicitada desde cero o subir de nivel en habilidades y salario tomando los cursos en línea de SkillFactory:

• « Data Scientist» (24 )
• « Data Analyst» (18 )
• «Python -» (9 )

• 450
• Data Science Harvard University
• 30 -
• Data Science : Cambridge Analytica