Lógica matemática que puede ayudar a controlar a más personas en busca de coronavirus

La evaluación rápida de pacientes durante una pandemia es de suma importancia. Pero cuando no hay suficientes pruebas COVID-19 [en Gran Bretaña] , o las pruebas son lentas, ¿es posible encontrar una manera de mejorar este proceso? Como matemático e ingeniero, me pregunté si un teórico puede hacer algo para ayudar a los médicos a cumplir con los requisitos de la OMS para verificar el número máximo posible de pacientes.

Quizás haya una manera de evaluar a muchos pacientes con una pequeña cantidad de tubos. En lugar de usar un tubo de ensayo para cada prueba, podríamos usar varios tubos para analizar más muestras, si recurrimos a la lógica .

La idea es simple. Una muestra tomada de cada uno de nuestros pacientes teóricos se distribuye en la mitad de todos los tubos que tenemos en diferentes combinaciones. Si tenemos diez tubos, distribuimos muestras de cada paciente en cinco tubos diferentes, combinándolos de manera diferente.

Cualquier tubo de ensayo con un resultado negativo indica que todos los pacientes cuyas muestras cayeron en él darán un resultado negativo. Las pruebas con un resultado positivo pueden contener muestras de varios pacientes positivos, y cada paciente individual se considerará positivo si todos los tubos asociados dan un resultado positivo.

Este enfoque es especialmente efectivo en las primeras etapas de la epidemia, cuando un pequeño número de personas puede dar un resultado positivo.

Cambiamos el enfoque

Cuantos más pacientes se infecten, más difícil será determinar cuál de ellos tiene el virus, porque los tubos de ensayo con un resultado positivo contendrán material de un mayor número de pacientes. Para resolver este problema, debe corregir el enfoque como se muestra en el siguiente ejemplo.

Digamos que tenemos seis tubos de ensayo y 20 pacientes. Los tubos están ordenados y numerados: No. 1, No. 2, No. 3, No. 4, No. 5 y No. 6. A cada paciente se le asigna un número de seis dígitos de ceros y unos (en el sistema binario). Cada dígito corresponde a un tubo específico: 0 significa que la muestra del paciente no ingresó a este tubo y 1 significa que el paciente sí.



Por ejemplo, el paciente No. 1 tendrá el número [0 0 0 1 1 1], lo que significa que solo los tubos No. 4, 5 y 6. contendrán su material. Al paciente No. 2 se le dio el número [0 0 1 0 1 1], lo que significa que sus muestras contienen tubos No. 3, 5 y 6. Y así sucesivamente, para cada uno de los 20 pacientes.

Habiendo distribuido muestras de los 20 pacientes en tubos de ensayo, los enviamos para su verificación. Si después de esto recibimos pruebas positivas para los tubos No. 4, 5 y 6, podemos decir que solo el paciente No. 1 con el número [0 0 0 1 1 1] obtendrá un resultado positivo, ya que solo las muestras de este paciente se agregaron a tres de estos tubos, números 4, 5 y 6, y a ningún otro.

Ahora la parte más difícil. Supongamos que obtuvimos resultados positivos para los tubos No. 3, 4, 5 y 6. Podemos descartar inmediatamente a los pacientes cuyas muestras estaban en los tubos No. 1 y No. 2, pero no tenemos certeza sobre el resto, porque tenemos estos tubos. Hay varias posibilidades ¿Los pacientes con números [0 0 1 0 1 1] y [0 0 1 1 1 0] están enfermos o con [0 0 0 1 1 1], [0 0 1 0 1 1] y [0 0 1 1 0 1], ¿o están todos juntos? Todas estas combinaciones darán un resultado positivo para los tubos No. 3, 4, 5 y 6. ¿Es posible obtener una respuesta definitiva sobre cuál de los pacientes está enfermo?

Sí, pero solo si la prueba puede dar no solo un resultado positivo o negativo, sino también un cierto grado de positividad, por ejemplo, determinar el número de anticuerpos en la muestra. Luego podemos comparar la cantidad de positividad en diferentes tubos, lo que nos dará una idea de la combinación correcta de pacientes positivos.

Grado de positividad

Volviendo a nuestro ejemplo, si la positividad para los tubos No. 4 y No. 5 es la misma (por ejemplo, tienen el mismo número de anticuerpos), pero difiere en los tubos No. 3 y No. 6, entonces podemos concluir que los pacientes [0 0 0 1 1 1] y [0 0 1 0 1 1] no puede ser positivo, ya que la muestra del primer paciente [0 0 0 1 1 1] está en los tubos No. 4 y No. 5, y la muestra del segundo [0 0 1 0 1 1] en tubos No. 5 (pero no No. 4). Esto significa que la positividad en estos tubos no puede ser la misma si ambos pacientes están enfermos (en los tubos n. ° 5 habrá positividad de ambos pacientes y en el n. ° 4 habrá solo uno).

La misma positividad en ambos tubos No. 4 y No. 6 será solo en pacientes [0 0 0 1 1 1] y [0 0 1 1 1 0], ya que las muestras de ambos se agregaron a ambos tubos No. 4 y No. 5, lo que dio la misma positividad en ambos tubos de ensayo.

En el ejemplo anterior, pudimos evaluar a 20 pacientes con solo seis tubos. Sin embargo, este método puede ampliarse a miles de pacientes, y se necesitan muchos menos tubos para analizarlos. E incluso cuando las máquinas capaces de realizar pruebas en cinco minutos ya están en desarrollo, este enfoque aún puede ser más rápido y más barato donde los recursos son escasos.

Resulta que con la ayuda de las matemáticas podemos mejorar la verificación de las muestras recolectadas, especialmente en esos lugares y en un momento en que la verificación encuentra dificultades. En tales casos, este enfoque podría ayudar a mitigar los efectos del nuevo coronavirus y salvar muchas vidas.