¡Hola! Soy Azat Kalmykov, curador de ShAD Helper. Continuamos nuestra serie de artículos en los que analizamos las tareas para ingresar al ShAD. Esta vez nosotros (yo, Nikolai Proskurin y Alexander Kurilkin) analizaremos las decisiones de la primera etapa de selección en el ShAD de este año, que finalizó recientemente. Entonces empecemos.A. Mínimo local
A qué valores del parámetro es una antiderivada de la función F(X)=(X4 4-(una+1)X3+(una-2)X2+2unaX)ExppecadoX2+25 5X2+2 tiene como máximo un mínimo local?Decisión, — . , . , , ( ).
, , , , f(x)=x4−(a+1)x3+(a−2)x2+2ax. , : −1,0,2,a. , f(x)=(x+1)x(x−2)(x−a).
, +→−→+→−→+, . , a=−1,0,2. , .
B. Límite
Determinar a qué valor una este límite es 1mi:limX→+inf(cos√1X)Xuna
Decisión,
una=1.
√1X→0 0, :
cos√1X=1-12!X+14 4!X2-16 6!X3+...
. , , , , . , . :
1-12X<cos√1X<1-12X+124X2
X→+∞,
X , . ,
mi-1/ /2. , :
limX→+∞(1-12X+124X2)X=Exp(limX→+∞XEn(1-12X+124X2))=
=Exp(limX→+0 0En(1-X2+X224)X)
, . :
limX→+∞(cos√1X)X=mi-1/ /2⇒limX→+∞(cos√1X)X/ /una=mi-1/ /2una
una=12.
: , , .
C. Mínimo local
A qué longitud mínima del escalón el descenso del gradiente no puede encontrar la función mínima X4 4+cos2, Si X0 0=1?Decisión, :
Xk+1=Xk-λ▽F(Xk)
.
— , .
▽F(Xk)=4 4X3k
X0 0 ,
X1:
X1=X0 0-λ4 4X30 0=1-4 4λ
,
X1=-1 ,
X0 0, . , , «» -
1 -1 . , ,
X1=-1⇔λ=0,5 (
0 0). ,
λ .
, .
El |Xnorte+1El |≤El |XnorteEl |El |1-4 4λEl | . ,
0,5>λ>0 0⇒El |1-4 4λEl |<1:
El |X1El |=El |1-4 4λEl |≤1El |1-4 4λEl |=X0 0El |1-4 4λEl |.
El |Xnorte+1El |=El |Xnorte-4 4λX3norteEl |=El |XnorteEl |El |1-4 4λX2norteEl |.
Xnorte<1⇒X2norte<1.
El |Xnorte+1El |≤El |XnorteEl |El |1-4 4λEl |. .
, ,
El |XnorteEl |≤El |X0 0El |El |1-4 4λEl |norte=El |1-4 4λEl |norte. ,
El |1-4 4λEl |<1,
El |XnorteEl | . .
D. Propio vector
Determinar a qué valores del parámetro un vector (11una) es un vector propio de la matriz(una1-112-10 00 01)
Decisión,
v≠0 0 UNA,
∃λ:
UNAv=λv. :
(una1-112-10 00 01)(11una)=(13-unauna)=λ(11una)
.
λ=1, —
una=2, , . ,
una=2.
E. Calificador
A qué valores de parámetros una determinante máximo de la matriz inversa a esto?(una-7 7-36 6-10-una20 0una9 9)
Decisión:
det(una)=El |una-7 7-36 6-10-una20 0una9 9El |=unaEl |-10-una2una9 9El |-6 6El |-7 7-3una9 9El |=una4 4-108una+376
det′(una)=4 4una3-108=0 0⇔una=3
, , , , ,
det(una),
det(una)≥det(3)>0 0 una=3. ,
det(UNA-1)=det(UNA)-1, ,
una=3.
F. Proyecciones
Puntos dados si(1,2,-3) y C(2,2,1)así como el avión α:2X-2y+z=0 0 y β:−x+2y+3z=0. Encuentra las coordenadas del puntoAsi se sabe que su proyección ortogonal sobre α coincide con la proyección del punto Bpero en β - con proyección puntual .DecisiónUNA=(X,y,z) ,
si, ,
si. , ,
α ¯norte1(2,-2,1). :
{X=2t1+1y=-2t1+2z=t1-3
,
UNA ,
C β. :
¯norte2(-1,2,3), :
{X=-t2+2y=-2t2+2z=3t2+1
.
t1 t2, :
{2t1+1=-t2+2-2t1+2=2t2+2⇔{3=t2+4 4-2t1+2=2t2+2⇔{t2=-1t1=1
, ,
UNA(3,0 0,-2), .
G. Domino
En la constelación distante de Tau Ceti, en cada mitad de los nudillos de dominó hay 0 antes de N puntos y para cada par de números (a,b) tal que a y b entero de 0 antes de N, hay exactamente un dominó que contiene ambos números. El turista espacial voló y recogió un nudillo invertido al azar. En queN La expectativa matemática del módulo de la diferencia en el número de puntos en una y la otra mitad de este dominó será igual 2?Decisiónξ,
Ω ξ(Ω). :
mi(ξ)=∑k∈ξ(Ω)kPr[ξ=k]=2
UNAk — ,
K,
Pr[ξ=k]=El |UNAkEl |El |ΩEl |.
El |ΩEl |, :
∑k∈ξ(Ω)kEl |UNAkEl |=2El |ΩEl |
El |ΩEl |. -, . -, , . ,
El |ΩEl |=norte+1+norte(norte+1)2
.
. , 0
norte.
k?
norte-k+1: —
(0 0,k),(1,k+1),...,(norte-k,norte). :
∑k∈ξ(Ω)kEl |UNAkEl |=norte∑k=0 0k(norte-k+1)=(norte+1)norte∑k=0 0k-norte∑k=0 0k2=norte(norte+1)22-
-norte(norte+1)(2norte+1)6 6=norte(norte+1)(norte+2)6 6
:
norte(norte+1)(norte+2)6 6=(norte+1)(norte+2)
norte>0 0, ,
norte=6 6.
H. examen
Dos amigos decidieron ir juntos para los exámenes en el SHAD y acordaron reunirse en la entrada de 14:00 a 15:00, pero no acordaron a qué hora. El momento de llegada de cada uno de ellos se distribuye de manera uniforme durante este período de tiempo, pero los amigos están impacientes, por lo que después de 15 minutos de espera se desesperan por esperar y entran solos. Se sabe que se conocieron.Encuentre la probabilidad de que ambos llegaron antes de las 14:45.Decisión, , . , 60x60. x , y — .

« » . « 14:45» 2 . , , , , « 14:45» , « » 3 . ,
5 57 7.
I. variable aleatoria
Densidad de distribución de una variable aleatoria. ξ es igual a p(x)=1sinx a x desde π/2 antes de 2arctane y cero para todos los demás x.Encuentre un valor que esta variable aleatoria no exceda con probabilidad12.Decisión:
Pr(ξ≤X)=X∫π/ /2retpecadot=bronceadoX/ /2∫1retutu=EnbronceadoX2
:
EnbronceadoX2=12⇔bronceadoX2=mi1/ /2⇔X=2bronceado-1mi1/ /2
J. Encuentra la media
Condición. : n
una0 0,una1,...,unanorte-1.
- !
l r. .
l r :
r-l+1√unal⋅unal+1⋅...⋅unar
norte (
1≤norte≤300 000).
n
unayo (
0,01≤unayo≤100) .
q (
1≤q≤100 000) — .
q lyo ryo (
0 0≤lyo≤ryo<norte) —
yo- .
6 .
.
1
2
3
,
Xy=miEnX+Eny. .
Decisión.
ACERCA DE(1),
O(1).
. sums,
stumetros[yo]=una[0 0]+una[1]+⋯+una[yo].
stumetros[yo]=stumetros[yo-1]+una[yo],
O(norte).
l r —
stumetros[r]-stumetros[l-1]. ,
r-l+1.
O(1) O(norte) .
. , , , . , ,
mi . ,
En((una[l]⋅...⋅una[r])1r-l+1)=Enuna[l]⋅⋯⋅una[r]r-l+1=Enuna[l]+⋯+Enuna[r]r-l+1,
ACERCA DE(1) .
:
gist.github.com/Azatik1000/0b0d8496785169a8ac0d35a8c9e8e59f K. Eliminar último
Condiciónuna norte . .
, .
, , .
norte (
1≤norte≤300 000).
norte unayo (
0 0≤unayo≤1 000 000 000).
metro (
0 0≤metro<norte) — , .
metro — , . , , .
1
2
3
L. Tablón de anuncios
Condición, .
W×H, a b. , . , .
. , , . , .
.
(0 0,0 0), —
(W,H). .
, .
W,
H una,
si (
1≤W,
H≤100 000,
1≤una≤W,
1≤si≤H).
norte (
0 0≤norte≤100) — .
norte (Xlre,ylre) (Xrtu,yrtu) (
0 0≤Xlre<Xrtu≤W,0 0≤ylre<yrtu≤H). , .. .
(Xlre,ylre) (Xrtu,yrtu) , .
una (,
si). .
.
, .
1
2
3
Decisión, . ,
W∗norte .
X (
0 0 W-una), . ,
X X+una, . , «»
X X+una,
y- . ,
(y1,y2),
y1 y2 —
y- , .
y2 —
y1.
,
(0 0,0 0) (h,h), . , , , . , , . , , .
.
O(W∗norte∗Iniciar sesiónnorte) O(norte) .
:
gist.github.com/Azatik1000/2c07ebdd866ce20a4b5f5e6ee7408ad7