Get best of the week

Un puente matemático "deslumbrante" que se extiende más allá del Gran Teorema de Fermat

Los matemáticos descubrieron cómo alargar el misterioso puente que conecta los dos continentes distantes del mundo matemático




Cuando Andrew John Wiles demostró el Gran Teorema de Fermat a principios de la década de 1990 , fue un paso monumental no solo para los matemáticos, sino para toda la humanidad. La declaración del teorema es muy simple: afirma que la ecuación x n + y n = z nno hay soluciones positivas completas para n> 2. Sin embargo, esta simple declaración atrajo a un gran número de personas que desean probarlo durante más de 350 años, ya que el matemático francés Pierre de Fermat esbozó casualmente la declaración del teorema en 1637 al margen de la aritmética de Diophantus. La formulación de Fermat también es famosa: "encontró evidencia realmente maravillosa de esto, pero los márgenes del libro son demasiado estrechos para él". Durante siglos, matemáticos profesionales y entusiastas aficionados han estado buscando la prueba de Fermat, o cualquier otra cosa.

La prueba finalmente obtenida por Wiles (con la ayuda de Richard Taylor ) nunca se le habría ocurrido a Fermat. No afectó directamente al teorema, pero construyó un gran puente que, según los matemáticos, se suponía que existía, un puente entre dos "continentes" matemáticos distantes. La prueba de Wiles se redujo a la definición de este puente que conecta dos pequeñas parcelas de tierra entre dos continentes. La prueba estaba llena de ideas nuevas y profundas, y generó cascadas de nuevos resultados a ambos lados de este puente.

Desde este punto de vista, la asombrosa evidencia de Wiles resolvió una pequeña parte de un misterio mucho más grande. Su prueba fue "uno de los mejores eventos matemáticos del siglo XX", dijo Toby Guydel Imperial College de Londres. Y sin embargo, pertenecía al "pequeño tramo" del puente, conocido como la correspondencia geométrica de Langlands .

Todo el puente permitiría a los matemáticos arrojar luz sobre las vastas extensiones de las matemáticas, transmitiendo conceptos de una parte a otra. Muchas tareas, incluido el Gran Teorema de Fermat, parecen ser difíciles en un lado del puente, pero rápidamente se convierten en tareas más fáciles, moviéndose hacia el otro lado.

Después de que Wiles presentara su prueba, otros matemáticos comenzaron a expandir con entusiasmo este puente a secciones más grandes de los dos continentes. Y luego se encontraron con un obstáculo. Hay dos direcciones naturales para expandir este puente, pero en ambos el método Taylor-Wiles parecía encontrar una barrera insuperable.


El matemático Andrew Wiles, quien demostró el Gran Teorema de Fermat y recibió el Premio Abel en 2016

"La gente siempre ha querido hacer esto", dijo Anna Karayani, del Imperial College de Londres. Pero "nosotros, en general, no pensamos que esto sea posible en principio".

Ahora dos trabajos, que representan la culminación de los trabajos de más de diez matemáticos, han superado esta barrera, esencialmente resolviendo ambos problemas. Algún día, estos descubrimientos pueden ayudar a los matemáticos a probar el Gran Teorema de Fermat para un sistema numérico que va más allá de los enteros positivos.

Estos son los "mejores resultados", dijo Matthew Emerton, de la Universidad de Chicago. "Revelan algunos fenómenos fundamentales de la teoría de números, y apenas estamos comenzando a entender cuáles son".

Aguja en el vacío


Uno de los lados del puente Langlands se concentra en las ecuaciones más simples que se pueden escribir: estas son ecuaciones diofantinas, o combinaciones de variables con exponenciales y coeficientes enteros, por ejemplo, y = x 2 + 6x + 8, o x 3 + y 3 = z 3 . Durante milenios, los matemáticos han tratado de descubrir qué combinaciones de enteros satisfacen una ecuación particular de Diophantine. Básicamente, su motivación se basa en la simplicidad y la naturalidad de este problema, pero recientemente, parte de su trabajo ha recibido una continuación inesperada en áreas como la criptografía.

Desde la antigua Grecia, los matemáticos han conocido una forma de encontrar soluciones enteras de ecuaciones de diofantina con solo dos variables y ningún grado mayor que 2. Sin embargo, en el caso de grados más altos, encontrar soluciones enteras no es una cuestión simple, comenzando con curvas elípticas. Estas son ecuaciones en las que y 2 está a la izquierda del signo igual , y a la derecha hay una combinación de términos con un grado máximo de 3, por ejemplo, x 3 + 4x + 7. Guy dijo que, en comparación con las ecuaciones con grados más bajos, estas son „ un problema radicalmente más complejo ".

En el otro lado del puente viven objetos llamados formas automórficas, que son similares a los mosaicos para colorear con un alto grado de simetría. En los casos estudiados por Wiles, las fichas pueden parecerse a algo similar al mosaico de Escher , donde los peces o ángeles con demonios que se muestran en los discos disminuyen a medida que se acercan a la frontera. En el universo más general de Langlands, las fichas pueden pavimentar una bola tridimensional u otra figura en dimensiones superiores.

Estos dos tipos de objetos matemáticos son completamente diferentes entre sí. Sin embargo, a mediados del siglo XX, los matemáticos comenzaron a revelar relaciones profundas entre ellos y, a principios de la década de 1970, Robert Langlands, del Instituto de Estudios Avanzados, expresó la hipótesis de que las ecuaciones diofantinas y las formas automorfas pueden correlacionarse entre sí de cierta manera.


Robert Langlands, quien presentó la hipótesis del cumplimiento hace 50 años, da una conferencia en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, en 2016.

A saber: tanto en las ecuaciones diofantinas como en las formas automorfas, existe una forma natural de generar secuencias infinitas de números. Con las ecuaciones de Diophantine, se puede calcular el número de soluciones en aritmética modular (se puede representar como números ubicados en la esfera del reloj; por ejemplo, en el caso del dial de 12 horas, 10 + 4 = 2). Y para tales formas automorfas que aparecen de acuerdo con Langlands, puede obtener una lista interminable de números similares a los niveles de energía cuántica.

Si la aritmética modular se usa solo sobre la base de números primos, entonces, de acuerdo con Langlands, estos dos tipos de secuencias coincidirán en una gama asombrosamente amplia de diferentes condiciones. En otras palabras, para cualquier forma automórfica, sus niveles de energía controlan la secuencia modular de una ecuación de diofantina, y viceversa.

Esta conexión es "más extraña que incluso la telepatía", dijo Emerton. "La forma en que estos dos lados se comunican entre sí me parece sorprendente e increíble, aunque he estado estudiando este fenómeno durante más de 20 años".

En las décadas de 1950 y 1960, los matemáticos encontraron los primeros signos de la existencia de este puente en una de las direcciones: cómo pasar de ciertas formas automorfas a curvas elípticas con coeficientes que son números racionales (fracciones que consisten en números enteros). Luego, en la década de 1990, Wiles, con Taylor, encontró otra dirección para el puente para una familia particular de curvas elípticas. Su resultado produjo automáticamente una prueba del Gran Teorema de Fermat, ya que los matemáticos ya habían demostrado que si fuera incorrecto, entonces al menos una de estas curvas elípticas no tendría una forma automórfica correspondiente.

El gran teorema de Fermat estaba lejos de ser el único descubrimiento que siguió a la construcción de este puente. Por ejemplo, los matemáticos lo usaron para demostrarLa hipótesis de Sato-Tate , un problema de varias decenas de años de edad relacionado con la distribución estadística del número de soluciones modulares de una curva elíptica, así como para probar la hipótesis con respecto a los niveles de energía de las formas automorfas, que fue expresada por el legendario matemático de principios del siglo XX Srinivasa Ramanujan Iyengor .

Después de que Wiles y Taylor publicaron sus hallazgos, quedó claro que su método todavía estaba lleno de posibilidades. Pronto, los matemáticos se dieron cuenta de cómo extenderlo a curvas elípticas con coeficientes racionales. Más tarde, los matemáticos descubrieron cómo cubrir los coeficientes con números irracionales simples, como 3 + √2.

Pero lo que no lograron fue extender el método de Taylor-Wiles a curvas elípticas con coeficientes complejos, como i (√-1) o 3 + i, o √2i. Además, no podían hacer frente a las ecuaciones de diofantina con poderes mucho más que las curvas elípticas. Las ecuaciones con grados 4 en el lado derecho del signo igual en lugar de 3 se resolvieron fácilmente usando el método Taylor-Wiles, pero tan pronto como el grado aumentó a 5, el método ya dejó de funcionar.

Los matemáticos gradualmente comenzaron a darse cuenta de que el problema con estas dos extensiones naturales del puente Langlands no era solo llegar a una ligera mejora en el método Taylor-Wiles. Aparentemente, el obstáculo era fundamental.

Estos fueron "solo los siguientes ejemplos que se me ocurrieron", dijo Guy. "Pero te dijeron: No, estas cosas están irremediablemente fuera del alcance".

El problema era que el método de Taylor-Wiles encuentra una forma automórfica que corresponde a la ecuación de la diofantina al aproximarla sucesivamente usando otras formas automorfas. Sin embargo, cuando se producen números complejos o una potencia superior a la cuarta en los coeficientes de las ecuaciones, hay muy pocas formas automórficas, tan pocas que casi ninguna forma automórfica probablemente no tendrá las formas automorfas más cercanas que podrían usarse para aproximarla.

Bajo Wiles, la forma automórfica que necesitamos es similar a una "aguja en un pajar, pero esta pila existe", dijo Emerton. "Y esto se puede comparar con una pila de limaduras de metal, a las que traes un imán: las limaduras están alineadas y apuntan a la aguja que necesitas".

Sin embargo, en el caso de coeficientes complejos o grados de un orden superior, según él, más "se asemeja a una aguja en el vacío".

Vuelo a la luna


Muchos de los expertos actuales en teoría de números estaban creciendo en un momento en que Wiles presentó su prueba. "Este fue el único ejemplo de matemáticas que vi en las portadas de los periódicos", recuerda Guy, que tenía 13 años en ese momento. "Inspiró a muchas personas, querían resolverlo, y como resultado, fue por esta razón que comenzaron a trabajar en esta área".

Por lo tanto, cuando en 2012 dos matemáticos, Frank Kalegari de la Universidad de Chicago y David Gerati (ahora investigador de Facebook), propusieron una forma de superar el obstáculo que no permitía expandir el método Taylor-Wiles, esta idea provocó excelentes críticas de una nueva generación de expertos en teoría de números.

Su trabajo demostró que "este obstáculo fundamental que impedía nuestro progreso no era un obstáculo en absoluto", dijo Guy. Explicó que, de hecho, las limitaciones aparentes del método Taylor-Wiles sugieren que "solo sentiste la sombra del método real y más general que nos presentaron Calegari y Gerati".


David Geraty en la Universidad de Boston en 2015

En los casos en que surge un obstáculo repentinamente, las formas automorfas viven en mosaicos de dimensiones más altas que los mosaicos Esher bidimensionales que estudió Wiles. En estos mundos de dimensiones superiores, es incómodo que las formas automorfas sean muy raras. Pero los mosaicos de dimensiones más altas a menudo dan una estructura más rica que la que pueden ofrecer las bidimensionales. A Kalegari y Gerati se les ocurrió la idea de utilizar esta estructura rica para compensar la falta de formas automórficas.

Más precisamente, para cada forma automorfica específica, puede utilizar el "color" de sus mosaicos como una herramienta de medición que puede calcular el color promedio de cualquier parte de su mosaico elegido. En una situación bidimensional, las formas automorfas, de hecho, son la única herramienta de medición disponible. Pero las fichas de dimensiones superiores tienen nuevas herramientas, las llamadas clases de torsión, y con su ayuda, a cada sección de mosaico se le puede asignar no el color promedio, sino el número de la aritmética modular. Y tales clases de torsión son una moneda de diez centavos por docena.

Kalegari y Gerati sugirieron que para algunas ecuaciones diofantinas puede resultar encontrar la forma automórfica correspondiente a través de la aproximación no por otras formas automorfas, sino por clases de torsión. "Esta idea de ellos resultó ser fantástica", dijo Karajani.

Kalegari y Gerati presentaron un esquema para construir un puente mucho más amplio desde las ecuaciones de Diofantina hasta las formas automorfas en comparación con lo que construyeron Wiles y Taylor. Sin embargo, su idea no podría considerarse un puente completo. Para que funcione, primero fue necesario probar tres grandes teoremas. Según Kalegari, esto se puede comparar con el hecho de que su trabajo con Gerati describe el vuelo a la luna, si solo hay una nave espacial, combustible para cohetes y trajes espaciales. Y estos tres teoremas eran "perfectos fuera de nuestro alcance", dijo Kalegari.

En particular, el método de Calegari y Gerati exigió la presencia de un puente prefabricado que vaya en la otra dirección, desde formas automórficas hasta ecuaciones de diofantina. Y se suponía que este puente combinaría no solo formas automórficas, sino también clases de torsión. "Creo que muchas personas consideraron esto una tarea desesperada cuando Calegari y Gerati describieron por primera vez su programa", dijo Taylor, ahora en la Universidad de Stanford.

Menos de un año después de la publicación del trabajo de Kalegari y Gerati, Peter Scholze es un joven genio de la Universidad de Bonn que recibió el Premio Field., el premio más alto para las matemáticas, sorprendió a los expertos en teoría de números, al descubrir cómo cambiar de clases de torsión al lado de las ecuaciones de Diophantine en el caso de curvas elípticas, cuyos coeficientes son números complejos simples como 3 + 2i o 4 - √5i. "Hizo muchas cosas increíbles, pero este es probablemente su logro más sorprendente", dijo Taylor.


El matemático Peter Scholze

Scholze demostró el primero de los tres teoremas de Calegari y Gerati. Y el par de trabajos conjuntos posteriores de Scholze y Karayani estuvo muy cerca de probar el segundo teorema, demostrando la presencia de las propiedades correctas en el puente encontrado por Scholze.

Se tenía la sensación de que este programa se podía dominar fácilmente, por lo que en el otoño de 2016, Karajani y Taylor organizaron, según Kalegari, el "taller secreto" en el Instituto de Estudios Avanzados, destinado a lograr un mayor progreso. "Ocupamos una audiencia allí y no dejamos entrar a nadie", dijo Kalegari.

Después de un par de días de conversaciones preparatorias, los participantes del taller comenzaron a comprender cómo lidiar simultáneamente con el segundo teorema y sortear el tercero. "Y tal vez dentro de un día después de formular todas las tareas, todos las resolvimos", dijo Guy, uno de los participantes del proyecto.

El resto de la semana, los participantes han dedicado un estudio detallado de varios aspectos de la evidencia, y durante los próximos dos años, han publicado sus hallazgos en elautoría de diez personas: tal cantidad es desconocida para trabajos sobre teoría de números. De hecho, su trabajo establece la existencia de un puente Langlands para curvas elípticas con coeficientes de cualquier sistema numérico compuesto por números racionales y números irracionales y complejos simples.


Anna Karayani y Richard Taylor

"El taller se organizó principalmente para comprender qué tan cerca se puede llegar a la solución", dijo Guy. "No creo que ninguno de nosotros esperara que demostráramos todo".

Continuación del puente.


Mientras tanto, se desarrollaba otra historia relacionada con la continuación del puente más allá de las curvas elípticas. Calegari y Guy trabajaron con George Boxer (que ahora trabaja en la Escuela Normal Superior en Lyon, Francia) en casos en los que el mayor grado de ecuaciones de diofantina es 5 o 6 (en lugar de 3 y 4, como ya se conoce). Sin embargo, tres matemáticos estaban atrapados en un punto clave de su prueba.

Y luego, el siguiente fin de semana, después de realizar el "taller secreto", Vincent Pilloni de la Escuela Normal Superior publicó un artículo que muestra cómo sortear este obstáculo. "¡Ahora tenemos que frenar nuestro trabajo y comenzar a cooperar con Pilloni!" - Entonces, según Kalegari, tres investigadores se dijeron de inmediato.

En pocas semanas, cuatro matemáticos resolvieron este problema, aunque tomó un par de años de trabajo y casi 300 páginas de una descripción detallada de las ideas. Su trabajo , así como el trabajo de autoría de 10 personas, se publicó en Internet en diciembre de 2018, con una diferencia de cuatro días.


Frank Calegari, Toby Guy y Vincent Pilloni

"Este es un logro muy serio", comentó Emerton sobre estos dos trabajos. Los llamó a ellos y a los componentes básicos que los precedieron como una "obra de arte".

Aunque estos dos trabajos, de hecho, prueban que la misteriosa conexión telepática entre las ecuaciones de Diophantine y las formas automórficas se transfiere a las nuevas condiciones, hay una trampa: no construyen un puente ideal entre dos orillas matemáticas. Las obras solo indican la "presencia potencial de automorfismo". Esto significa que cada ecuación de Diophantine tiene una forma automorphic correspondiente, pero no sabemos con certeza si esta forma automorphic vive en esa parte del continente donde, según los científicos, debería estar ubicada. Sin embargo, el potencial automorfismo es suficiente para muchas aplicaciones, por ejemplo, para la hipótesis de Sato-Tate sobre estadísticas de soluciones modulares de ecuaciones diofantinas, cuya operabilidad en un paisaje mucho más amplio que antes, podría ser probada por diez autores.

Los matemáticos ya están comenzando a comprender cómo mejorar estos resultados con automorfismo potencial. En octubre, tres matemáticos, Patrick Allen de la Universidad de Illinois en Urbana-Campaign, Chandrasekar Hare de la Universidad de California en Los Ángeles y Jack Thorne de la Universidad de Cambridge, demostraron que una parte significativa de las curvas elípticas consideradas en el trabajo con 10 autores tienen puentes. llegando a los lugares correctos.

Los puentes con una precisión tan alta en el futuro pueden permitir a los matemáticos probar un montón de nuevos teoremas, incluida una generalización del Gran Teorema de Fermat hace un siglo. El último afirma que la ecuación de este teorema todavía no tendrá soluciones, incluso cuando en lugar de x, y y z sustituiremos no solo valores enteros, sino combinaciones de enteros y una unidad imaginaria .

Dos trabajos bajo el programa Calegari-Gerati proporcionan evidencia importante de que el concepto está en funcionamiento, dijo Michael Harris, de la Universidad de Columbia. Ellos, dijo, "demuestran que el método es aplicable en un amplio rango".

Y aunque las nuevas obras conectan puentes a secciones mucho más amplias de los continentes de Langlands que antes, aún dejan vastos territorios inexplorados. Desde el lado de las ecuaciones de Diophantine, estas ecuaciones incluyen todas las ecuaciones con grados superiores a 6, así como ecuaciones con más de dos variables. Por otro lado, los territorios inexplorados pertenecen a formas automorfas que viven en espacios simétricos más complejos que los estudiados hasta el día de hoy.

"Hoy, este trabajo representa el pináculo del éxito", dijo Emerton. "Pero en algún momento serán considerados como uno de los pasos para lograr el objetivo".

El propio Langlands nunca pensó en retorcerse, estudiar formas automórficas, por lo que una de las tareas difíciles para los matemáticos será encontrar una visión unificada de estos dos enfoques diferentes. "Estamos ampliando nuestra gama", dijo Taylor. "Nos salimos del camino de alguna manera con Langlands y no sabemos a dónde íbamos".

More articles:


All Articles