🤞🏻 🤽🏾 🙋🏿 ¿Cuál es la geometría del universo? 👩🏻 👨🏼‍🏫 🙏🏿

Las soluciones en la nube son buenas porque le permiten crear proyectos de cualquier complejidad, hasta un centro de datos virtual. Si intentas visualizar estas estructuras, obtienes una especie de mini universo. Juguemos con la geometría tratando de visualizar diferentes modelos de nuestro universo.

En nuestras mentes, el universo parece infinito. Pero con la ayuda de la geometría, podemos considerar varias formas tridimensionales que ofrecen una alternativa al espacio infinito "ordinario".

Cuando miras el cielo nocturno, parece que el espacio se expande en todas las direcciones. Este es nuestro modelo mental del universo, pero no siempre es cierto. Al final, hubo un momento en que todos pensaron que la Tierra era plana, porque las curvas de nuestro planeta eran extremadamente difíciles de notar, y ni siquiera pensaron en la forma esférica de la Tierra.

Hoy sabemos que la Tierra tiene la forma de una esfera. Pero pocas personas piensan en la forma del universo. Así como una esfera se ha convertido en una alternativa a una Tierra plana, otras formas tridimensionales ofrecen una alternativa al espacio infinito "ordinario".

Podemos hacer dos preguntas diferentes, pero aún estrechamente relacionadas, sobre la forma del universo. Uno de ellos se relaciona con su geometría: medidas locales de elementos finos como ángulos y regiones. Otro es sobre la topología: cómo se cosen estas partes locales en una forma común.

La evidencia cosmológica sugiere que la parte del universo que podemos ver es suave y homogénea, al menos aproximadamente. La estructura local del espacio se ve igual en todos los puntos y en todas las direcciones. Solo tres formas geométricas se ajustan a esta descripción: plana, esférica e hiperbólica. Veamos estos modelos, algunos supuestos topológicos y también qué dicen los datos cosmológicos sobre las formas que mejor describen nuestro universo.

Geometría plana (planimetría)

Esta es la geometría que estudiamos en la escuela. Los ángulos del triángulo son 180 grados, y el área del círculo es πr2. El ejemplo más simple de una forma tridimensional plana es el espacio infinito habitual, lo que los matemáticos llaman espacio euclidiano, pero hay otras formas planas que también deben tenerse en cuenta.

Estas formas son más difíciles de visualizar, pero podemos intentar fantasear pensando en dos dimensiones en lugar de en tres. Además del plano euclidiano habitual, podemos crear otras formas planas cortando parte del plano y manteniendo unidos sus bordes. Por ejemplo, supongamos que cortamos una hoja rectangular de papel y la sujetamos con bordes opuestos. Pegar las caras superior e inferior nos da un cilindro:

Luego podemos pegar los bordes derecho e izquierdo para obtener un donut (lo que los matemáticos llaman toro):

Ahora probablemente piense: "pero no me parece plano". Y tendrás razón. Hicimos trampa un poco, describiendo cómo funciona el toro plano. Si realmente trataras de hacer un toro con un trozo de papel de esta manera, tendrías ciertas dificultades. Sería fácil hacer un cilindro, pero no podría pegar los extremos del cilindro: el papel se arrugaría a lo largo del círculo interno del toro y no se estiraría lo suficiente a lo largo del círculo externo. En lugar de papel, habría que usar algún material elástico. Pero este estiramiento distorsiona las longitudes y los ángulos, cambiando la geometría.

Dentro de un espacio tridimensional ordinario, es imposible construir un toro físico real y liso a partir de un material plano sin distorsionar su geometría. Pero podemos especular de manera abstracta sobre cómo se siente vivir dentro de un toro plano.

Imagina que eres una criatura bidimensional cuyo universo es un toro plano. Dado que la geometría de este universo proviene de una hoja de papel plana, todos los hechos geométricos a los que estamos acostumbrados son los mismos, solo a pequeña escala: los ángulos en el triángulo suman 180 grados y así sucesivamente. Pero los cambios que hemos realizado en la topología global al cortar y pegar, significan que la experiencia de permanecer en el toro será muy diferente de lo que estamos acostumbrados.

Para empezar, hay caminos directos en el toro que se doblan y regresan a donde comenzaron:

Estos caminos se ven curvados en un toro distorsionado, pero parecen directos a los habitantes del toro plano. Y dado que la luz viaja en senderos rectos, si miras a la derecha, puedes verte a ti mismo desde atrás:

en una hoja de papel, la luz, que ves, se retuvo hasta que llega al borde izquierdo, luego reapareció a la derecha, como en un videojuego:

puedes imaginar es diferente. Por ejemplo, usted (o un rayo de luz) cruza uno de los cuatro bordes y aparece en lo que parece ser una nueva "habitación". Pero en realidad es la misma habitación, solo vista desde una nueva perspectiva.

Esto significa que también puede ver un número infinito de copias diferentes de usted mismo, mirando en diferentes direcciones. Este es un tipo de efecto Mirror Corridor, excepto que las copias de usted no son reflejos:

En la rosquilla, corresponden a muchos anillos diferentes a lo largo de los cuales la luz puede moverse de usted a usted:

De la misma manera, podemos construir un toro tridimensional plano pegando los lados opuestos del cubo. No funcionará visualizar este espacio como un objeto dentro de un espacio infinito ordinario, pero podemos hablar de manera abstracta sobre la vida dentro de él.

Así como la vida en un toro bidimensional era como la vida en un conjunto infinito bidimensional de habitaciones rectangulares idénticas, la vida en un toro tridimensional era similar a la vida en un conjunto tridimensional infinito de habitaciones cúbicas idénticas. Verás infinitas copias de ti mismo:

El toro tridimensional es solo uno de los 10 mundos planos finitos diferentes. También hay mundos planos e infinitos, como un análogo tridimensional de un cilindro infinito. En cada uno de estos mundos, hay un conjunto diferente de habitaciones espejo.

¿Es nuestro universo una de estas formas planas?

Cuando miramos al espacio, no vemos infinitas copias de nosotros mismos. Sin embargo, es sorprendentemente difícil excluir estas formas planas. En primer lugar, todos tienen la misma geometría local que el espacio euclidiano, por lo que ninguna dimensión local puede distinguirlos.

Y si vio una copia de usted mismo, esta imagen distante mostraría cómo usted (o su galaxia, por ejemplo) se veía en el pasado distante, ya que la luz tuvo que viajar mucho tiempo para alcanzarlo. Tal vez vemos copias irreconocibles de nosotros allí. Peor aún, diferentes copias de usted tienden a estar a diferentes distancias de usted, por lo que la mayoría de ellas se verán diferentes. Y quizás todavía estén demasiado lejos para que podamos verlos.

Para evitar estas dificultades, los astrónomos, por regla general, no buscan copias de sí mismos, sino que repiten características en lo más alejado de lo que podemos ver: la radiación cósmica de fondo de microondas (CMB) que quedó después del Big Bang. En la práctica, esto significa encontrar pares de círculos en el CMB que tengan patrones coincidentes de puntos calientes y fríos, lo que sugiere que este es realmente el mismo círculo que vemos desde dos puntos diferentes.

En 2015, los astrónomos realizaron un análisis de este tipo utilizando datos del telescopio espacial Planck. Combinaron datos sobre los tipos de círculos coincidentes que esperábamos ver dentro de un toro tridimensional plano u otra forma tridimensional plana, llamada placa, pero no pudieron encontrarlos.

Esto significa que si realmente vivimos en un toro, entonces probablemente sea tan grande que cualquier patrón repetitivo se encuentre fuera del universo observable.

Geometría esférica

Todos estamos familiarizados con las esferas bidimensionales: la superficie de una bola, naranja, tierra. Pero, ¿qué significaría para nuestro universo ser una esfera tridimensional?

Es difícil imaginar una esfera tridimensional, pero es fácil de describir usando una analogía simple. Así como una esfera bidimensional es una colección de todos los puntos a una distancia fija de un cierto punto central en un espacio tridimensional ordinario, una esfera tridimensional (o "tridimensional") es una colección de todos los puntos a una distancia fija de un cierto punto central en un espacio cuatridimensional.

La vida en tres áreas es muy diferente de la vida en un espacio plano. Para sentir esto, imagina que eres un ser bidimensional que vive en una esfera bidimensional. Una esfera bidimensional es todo el Universo: no puede ver ni acceder a ninguno de los espacios tridimensionales circundantes. Dentro de este universo esférico, la luz se mueve a lo largo de los caminos más cortos: en círculos grandes. Para ti, estos círculos grandes parecen ser líneas rectas.

Ahora imagine que usted y su amigo bidimensional se juntan en el Polo Norte y su amigo sale a caminar. Mientras su amigo camina, al principio se volverá cada vez menos en su espacio visual, así como en nuestro mundo ordinario (aunque no disminuirá tan rápido como estamos acostumbrados). Esto se debe al hecho de que si bien su espacio visual aumentará, su amigo ocupará cada vez menos espacio en él:

pero tan pronto como un amigo pasa el ecuador, sucede algo extraño: comienza a parecer cada vez más, cuanto más avanza . Esto se debe a que el porcentaje que ocupa en su espacio visual aumenta:

cuando su amigo esté a tres metros del Polo Sur, se verá tan grande como a tres metros de usted:

Y cuando llega al Polo Sur, se puede ver en todas las direcciones, por lo que llenará todo su horizonte visual:

si no hay nadie en el Polo Sur, entonces su horizonte visual es algo aún más extraño: usted mismo. Esto se debe a que la luz que emana de ti viajará a través de la esfera hasta que vuelva a ti.

Esto se puede correlacionar con la vida en la esfera tridimensional. Cada punto en las tres esferas tiene un punto opuesto, y si hay un objeto allí, lo veremos como un fondo, como si fuera el cielo. Si no hay nada allí, entonces nos veremos a nosotros mismos como un fondo, como si nuestro exterior se superpusiera a un globo, luego se volviera del revés y se inflara para convertirse en un horizonte completo.

Tres esferas es un modelo fundamental de geometría esférica, pero este no es el único espacio de este tipo. Así como construimos espacios planos cortando una pieza del espacio euclidiano y pegándola, podemos construir espacios esféricos pegando una pieza adecuada de tres esferas. Cada una de estas formas pegadas, como en el toro, tendrá el efecto de un "laberinto de reflejos", pero en estas formas esféricas solo hay un número limitado de habitaciones a través de las cuales puede pasar.

¿Puede nuestro universo ser esférico?

Incluso las personas más narcisistas no pueden imaginarse a sí mismas como el telón de fondo de todo el cielo nocturno. Pero, como en el caso del toro plano, el hecho de que no veamos ningún fenómeno no significa que no pueda existir. La circunferencia de un universo esférico puede ser mayor que el tamaño del universo observable, lo que hace que el fondo sea demasiado distante para ser visto.

Pero a diferencia del toro, el universo esférico se puede detectar utilizando mediciones puramente locales. Las formas esféricas difieren del espacio euclidiano infinito no solo en la topología global, sino también en la geometría más fina. Por ejemplo, debido al hecho de que las líneas rectas en la geometría esférica son círculos grandes, los triángulos están más hinchados que sus contrapartes euclidianas, y la suma de los ángulos es más de 180 grados:

De hecho, la medición de triángulos cósmicos es la principal forma en que los cosmólogos verifican si el universo es curvo. Para cada punto caliente o frío en el fondo cósmico de microondas, se conocen su diámetro horizontal y la distancia desde la Tierra, que forma tres lados del triángulo. Podemos medir el ángulo en el que se esconde un punto en el cielo nocturno, uno de los tres ángulos de un triángulo. Luego verifique si una combinación de la longitud de los lados y el ángulo medido es adecuada para geometría plana, esférica o hiperbólica (en la que la suma de los ángulos del triángulo es más de 180 grados).

La mayoría de estos estudios, junto con otras medidas de curvatura, indican que el Universo es plano o muy cercano al plano. Pero un equipo de investigación declaró recientemente que algunos de los datos obtenidos con el telescopio espacial Planck en 2018 indican la existencia de un universo esférico. Otros investigadores se oponen a esta declaración, creyendo que es muy probable que sea un accidente estadístico.

Geometría hiperbólica

A diferencia de una esfera que se dobla sola, la geometría hiperbólica se despliega hacia afuera. Esta es la geometría de sombreros flexibles, arrecifes de coral y monturas. El modelo básico de la geometría hiperbólica es el espacio infinito, como un espacio euclidiano plano. Pero dado que la geometría hiperbólica se propaga hacia afuera mucho más rápido que el plano, no hay forma de colocar incluso un plano hiperbólico bidimensional dentro de un espacio euclidiano ordinario, a menos que queramos distorsionar su geometría. Aquí, por ejemplo, la noción de un plano hiperbólico conocido como disco Poincare está distorsionada:

Desde nuestro punto de vista, los triángulos cerca del círculo límite se ven mucho más pequeños que cerca del centro, pero desde el punto de vista de la geometría hiperbólica, todos los triángulos son del mismo tamaño. Si tratamos de hacer triángulos del mismo tamaño, por ejemplo, usando material de estiramiento para nuestro disco y aumentando cada triángulo a su vez, saliendo desde el centro, nuestro disco se vería como un sombrero flexible y se doblaría cada vez más Nos abrimos paso. A medida que nos acercamos a la frontera, esta curva se volvería cada vez más incontrolable.

Desde el punto de vista de la geometría hiperbólica, el círculo límite está infinitamente lejos de cualquier punto interno, ya que para esto debes intersectar infinitos triángulos. Por lo tanto, el plano hiperbólico se extiende hasta el infinito en todas las direcciones, al igual que el plano euclidiano. Pero desde el punto de vista de la geometría local, la vida en el plano hiperbólico es muy diferente de lo que estamos acostumbrados.

En geometría euclidiana simple, un círculo es directamente proporcional a su radio, pero en geometría hiperbólica, el círculo crece exponencialmente en comparación con el radio. Podemos ver un grupo exponencial en las masas de triángulos cerca del límite de un disco hiperbólico.

Debido a esta característica, a los matemáticos les gusta decir que en un espacio hiperbólico es fácil perderse. Si tu amigo te deja en el espacio euclidiano habitual, comenzará a verse más pequeño, pero esto sucederá lentamente, porque tu círculo visual no está creciendo tan rápido. En el espacio hiperbólico, su círculo visual crece exponencialmente, de modo que pronto su amigo se verá comprimido a un punto exponencialmente superficial. Si no ha seguido cuidadosamente su ruta, será casi imposible encontrar un camino hacia él.

Y en geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un triángulo es inferior a 180 grados; por ejemplo, los triángulos en nuestro mosaico de disco Poincare tienen ángulos de 165 grados:

Los lados de estos triángulos no se ven rectos, pero esto es solo porque observamos la geometría hiperbólica a través de una lente distorsionada. Para un residente del disco Poincare, estas curvas son líneas rectas, porque la forma más rápida de llegar del punto A al punto B es cortar el camino hacia el centro:

hay una forma completamente natural de hacer un análogo tridimensional del disco Poincare: simplemente haga una bola tridimensional y llénela con formas tridimensionales que se conviertan menos a medida que te acercas a la zona límite, como triángulos en el disco de Poincare. Y al igual que en la geometría plana y esférica, podemos hacer una serie de otros espacios hiperbólicos tridimensionales cortando una pieza adecuada de una bola hiperbólica tridimensional y pegando sus caras.

¿Puede nuestro universo ser hiperbólico?

La geometría hiperbólica, con sus triángulos estrechos y círculos que crecen exponencialmente, no es como la geometría del espacio que nos rodea. De hecho, como ya hemos visto, la mayoría de las mediciones cosmológicas apuntan a un universo plano.

Pero al mismo tiempo, no se excluye la posibilidad de que vivamos en un mundo esférico o hiperbólico, ya que pequeñas piezas de ambos mundos parecen casi planas. Por ejemplo, los triángulos pequeños en geometría esférica tienen ángulos que son solo un poco más de 180 grados, y los triángulos pequeños en geometría hiperbólica tienen ángulos que son solo un poco menos de 180 grados.

No es casualidad que la gente antigua creyera que la Tierra era plana: la curvatura de la Tierra era demasiado pequeña para ser detectable. Cuanto más grande es la forma esférica o hiperbólica, más plana es cada parte pequeña. Por lo tanto, si nuestro Universo tiene una forma esférica o hiperbólica extremadamente grande, entonces la parte que podemos observar puede ser tan plana que su curvatura solo puede detectarse con la ayuda de instrumentos ultraprecisos que aún tenemos que inventar.

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