Definición de parámetros de transformación de la nube de puntos

Formulación del problema

Considere el problema de encontrar el ángulo de rotación y desplazamiento de una nube de puntos. Una nube de puntos significa un conjunto de puntos en un plano que conserva la posición relativa de cada uno durante su movimiento espacial.

Aquellos. Hay dos conjuntos de puntos: la nube inicial y la nube transformada arbitrariamente en el espacio (ver Fig. 1). Cualquier transformación de una nube de puntos en el espacio puede interpretarse como rotación y desplazamiento. Por lo tanto, es necesario determinar en qué ángulo desea rotar la nube de puntos original y qué tan lejos debe moverse de la nube de puntos original para obtener la misma nube de puntos convertida de manera arbitraria.

Higo. 1 Ejemplo de una nube de puntos a la que se aplica una rotación de 15 grados y un desplazamiento a lo largo del eje X: 10, a lo largo del eje Y: 30

Algoritmo

1. Determinar el desplazamiento de la nube de puntos

, . . , .

, .

$x_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{x}}{N}; y_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{y}}{N}$

: (0;0) (10;30). , : 10, Y: 30.

2.

(. 2). , . 90 , 4 .

. 2

, . , , .

$$$\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy}\\ I_{yx} & I_{yy}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

, :

$$$I_{xx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)^2]}$
$$$I_{xy} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yy} = \sum_{n=1}^{N}{[(y - y_c)^2]}$

.

:
— : (33334 0; 0 11667), : (1; 0) (0; 1), 0 90 .
— : (31882.5 -54167.5; -54167.5 13118.4), (0.9659 -0.2588) (0.2588 0.9659), -15 75 .
, 15, 105, 195 285 . , 15 .

: . Matlab, .

. 3

. 4

. 5

Usando el método descrito anteriormente, puede determinar el ángulo de rotación y el desplazamiento de la nube de puntos original, en relación con otro. El cual se obtiene utilizando cualquier movimiento espacial de la nube de puntos original. Además, en presencia de un pequeño error (distribución normal), este método también funciona de manera estable (ver Fig. 3 y Fig. 5).

Este método también se puede utilizar en el procesamiento de imágenes digitales cuando es necesario determinar la ubicación espacial de cualquier objeto.

La idea principal de este artículo es que el lector aplique inmediatamente el método descrito si alguna vez se encuentra con una tarea similar y no pasa tiempo en ella.