Teorías de probabilidad: preparación para una entrevista y resolución de "paradojas"

Cada año participo en alrededor de un centenar de entrevistas en proyectos educativos de JetBrains : entrevistar a solicitantes en el Computer Science Center y el programa de maestría corporativa de ITMO (por cierto, reclutamientova al programa ahora mismo). Todas las entrevistas se organizan de acuerdo con un patrón: le pedimos que resuelva los problemas en el acto y haga preguntas básicas sobre las disciplinas que los estudiantes estudiaron en las universidades. La mayoría de las preguntas que hacemos son bastante simples: debe dar una definición de un concepto, formular una propiedad o teorema. Desafortunadamente, en una proporción significativa de estudiantes, todas estas definiciones se erosionan inmediatamente después de los exámenes en las universidades. Parece que no hay nada sorprendente? En el mundo moderno, cualquier definición puede ser google en un par de segundos, si es necesario. Pero la incapacidad para restaurar la definición básica indica una falta de comprensión de la esencia del tema.

Si un malentendido de álgebra o análisis matemático puede tener poco efecto en su vida, entonces un malentendido de la teoría de la probabilidad lo convierte en un blanco fácil para el engaño y la manipulación. Los juicios sobre las probabilidades de varios eventos están tan profundamente arraigados en nuestra vida cotidiana que es necesaria la capacidad de razonar y distinguir la verdad de la ignorancia o la manipulación. En esta breve revisión, hablaremos sobre los conceptos básicos de la teoría de probabilidad, aprenderemos cómo formular correctamente declaraciones sobre procesos aleatorios simples y analizaremos algunas paradojas. Parte del material fue tomado del folleto de A. Shen "Probabilidad: ejemplos y tareas" , que recomiendo encarecidamente para un estudio independiente.

Antes de hablar sobre las definiciones, debemos acordar de dónde proviene la aleatoriedad en nuestro mundo. Por ejemplo, ¿por qué pensamos que lanzar monedas es un proceso aleatorio? Desde el punto de vista de la física clásica, que describe los procesos en el macrocosmos, todo está determinado, por lo tanto, por los parámetros del lanzamiento de la moneda, puede determinar claramente de qué lado caerá. Sin embargo, en la práctica resulta que es imposible medir y tener en cuenta todas las fuerzas que realmente afectan a la moneda y, por lo tanto, el resultado de este experimento se considera aleatorio. Es importante entender que esta pregunta no es una cuestión de teoría de la probabilidad. La teoría de la probabilidad funciona con modelos: para ello, una moneda en la que el águila y las colas caen con la misma frecuencia, y una moneda en la que hay dos veces más águilas que colas son solo dos modelos diferentes. La pregunta escuál de los modelos es más consistente con la realidad observada es una cuestión de nuestra experiencia (la experiencia muestra que la frecuencia del águila y la cola es aproximadamente la misma). Por lo tanto, lo primero que debemos acordar es un modelo.

Definiciones

Para determinar un modelo que nos permita hablar sobre probabilidades, necesitamos describir un espacio probabilístico .

El espacio de probabilidad en el caso final más simple consiste en muchos resultados elementales $$$\Omega = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}$ y un conjunto de números no negativos$$$\{p_1,p_2,\dotsc, p_n\}$ tal que su suma es$$$1$ . Muy a menudo, todos los resultados se consideran igualmente probables, es decir$$$p_1=p_2=\dotsb=p_n$ . En un caso infinito más complejo, es necesario separar por separado elconjunto de eventos que nos interesany establecer las probabilidades de eventos utilizando una función llamadamedida de probabilidad. Un eventoes un conjunto que consiste en eventos elementales, es decir cualquier subconjunto$$$\Omega$ . Probabilidad de evento$$$E\subseteq \Omega$ , denotado por$$$\Pr[E]$$$$p_i$, qué $$$a_i\in E$. En particular, la probabilidad de un evento vacío$$$E = \emptyset$ es igual a cero y eventos $$$E=\Omega$ igual a 1. En el caso de que todos los resultados se consideren igualmente probables, la probabilidad de un evento es simplemente igual a la relación entre el número de resultados contenidos en el evento y el número total de resultados elementales, es decir $$$\Pr[E] = |E| / |\Omega|$.

La probabilidad de cualquier evento está entre 0 y 1. Si la probabilidad del evento es cero, entonces dicho evento se llama imposible , si la probabilidad del evento es igual a la unidad, entonces dicho evento se llama confiable .

Es importante que sin determinar el espacio de probabilidad sea imposible (en el sentido matemático) hablar sobre la probabilidad de algo.

Comentario

Basado en la definición de un espacio de probabilidad, es fácil distinguir entre la teoría de probabilidad y la estadística: la teoría de probabilidad predice las frecuencias en función del conocimiento del espacio de probabilidad, y la estadística resuelve el problema inverso: determina los parámetros de un espacio de probabilidad desconocido en función de las frecuencias observadas.

Ejemplo: lanzamiento de moneda

Suponemos que la moneda acuñada es "correcta" o "simétrica", es decir igualmente se cae con un águila y una cola, y nunca se levanta en un borde. Entonces el conjunto de resultados elementales consta de dos elementos,$$$\Omega = \{ \text{}, \text{}\}$. Como acordamos que la moneda es "correcta", es razonable suponer que$$$p_1 = p_2 = 1/2$. Ahora enumeremos todos los eventos posibles y sus probabilidades.

1. Ni el águila ni las colas se caerán. Esto corresponde al evento.$$$E = \emptyset$, $$$\Pr[E] = 0$.
2. Caerá un águila $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
3. Las colas se caerán $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
4. Un águila o colas caerán $$$E = \{\text{}, \text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2 + 1/2 = 1$.

Ejemplo: Dice Flip

Como en el caso de la moneda, asumiremos que el dado que juega cae todas las caras con la misma frecuencia. Entonces el conjunto de resultados elementales consta de seis elementos,$$$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, todas sus probabilidades son iguales $$$p_1 = p_2 = \dotsb = p_6 = 1/6$. El número de eventos diferentes en este experimento es$$$64 = 2^6$(este es el número de todos los subconjuntos de un conjunto de 6 elementos). Sorprendentemente, la pregunta "¿cuántos eventos diferentes hay en un experimento con un lanzamiento de dados?", En mi observación, desconcierta a 9 de cada 10 solicitantes.
Veamos algunos ejemplos de eventos.

1. Soltar 1 $$$E = \{1\}$, $$$\Pr[E] = 1/6$.
2. Habrá un número mayor que tres, $$$E = \{4, 5, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$.
3. Aparecerá un múltiplo de tres, $$$E = \{3, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 = 1/3$.

Ejemplo: dos lanzamientos de monedas

Bajo los mismos supuestos sobre la "simetría" de la moneda, definimos el conjunto de resultados elementales como el conjunto de pares ordenados

$$

$$\Omega = \{ (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}.$$

La simetría de la moneda nos permite concluir que todos los resultados elementales son igualmente probables, es decir $$$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1/4$.
Ejemplos de eventos.

1. En el primer rollo, colas $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
2. Al menos una cola caerá $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{}),(\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4+1/4+1/4 = 3/4$.
3. La moneda se dejará caer dos veces en un lado, $$$E = \{(\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

Ejemplo: seleccionar un número aleatorio del calendario 2020

Muchos resultados elementales $$$\Omega = \{1, 2,\dotsc,31\}$. ¿Cómo elegir las probabilidades? Depende de cómo esté organizado el experimento. Por ejemplo, podemos arrancar una hoja aleatoria de un calendario de corte y ver el número en él. El modelo más preciso que describe este experimento sería un espacio de probabilidad con$$$366$resultados donde difieren los mismos números de meses diferentes. Y luego la probabilidad de que el número 1 caiga sería la suma de las probabilidades de resultados elementales correspondientes a los primeros números de diferentes meses, es decir$$$12\cdot 1/366$. Pero por conveniencia podemos considerar un conjunto más simple de resultados elementales$$$\Omega$ con 31 resultados, pero con diferentes probabilidades: $$$p_1 = p_2 =\dotsb =p_{29} = 12/366$, $$$p_{30} = 11/366$, $$$p_{31} = 7/366$.

Un ejemplo de un evento: "el día dibujado del mes se divide por 10". Esto corresponde al evento.
$$$E = \{10,20,30\},\ \Pr[E] = p_{10} + p_{20} + p_{30} = (12+ 12+11)/366 = 35/366$.

Comentario

Una vez que hemos determinado el espacio de probabilidad (es decir, hemos decidido sobre el conjunto $$$\Omega$y las probabilidades que atribuimos a los resultados elementales), entonces la cuestión de la probabilidad de algún evento se vuelve puramente aritmética. En otras palabras, tan pronto como hayamos elegido algún modelo matemático, que desde nuestro punto de vista describe el proceso físico, las probabilidades de todos los eventos están determinadas de manera única.

Tareas de autoevaluación

En cada problema, primero se debe describir el espacio de probabilidad, y solo luego hacer los cálculos.

1. : . , .
2. .
3. 1 20. , , :
   
   • ;
   • 3;
   • 2, 3;
   • 2, 3;
   • 9;
   • , 3.

,

Considere el siguiente experimento: arroje dos monedas y observe de qué lado cayeron. Se podría decir que en este problema solo hay tres resultados: dos colas, dos águilas y un águila y colas. Si suponemos que todos los resultados son igualmente posibles, resulta que la probabilidad de que caigan dos águilas es igual a 1/3. Las matemáticas no nos prohíben considerar un espacio probabilístico de este tipo, pero la verificación experimental sugiere que en el mundo físico la respuesta está más cerca de 1/4. Por lo tanto, no debe suponer por defecto que todos los resultados son igualmente probables, de lo contrario obtendremos 1/2 en respuesta a una pregunta sobre la probabilidad de una reunión de dinosaurios.

Fórmula de probabilidad

Decimos que dos eventos son incompatibles si su intersección es igual a un conjunto vacío. Es decir, no hay resultados que correspondan a ambos eventos. Ejemplo: los eventos "un número par cayó en un dado" y "uno o tres cayeron en un dado" son incompatibles.

Los eventos incompatibles tienen la siguiente propiedad. Permitir$$$A$ y $$$B$- dos eventos incompatibles. La probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es igual a la suma de las probabilidades$$$A$ y $$$B$, en otras palabras $$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$evento $$$A\cup B$también llamado la suma de los eventos$$$A$ y $$$B$ y denotar $$$A+B$. Esta propiedad no se ejecuta para eventos arbitrarios. Por ejemplo, los eventos "un número par cayó en un dado" y "un número más de cuatro cayó en un dado" no son incompatibles y la suma de sus probabilidades (5/6) es mayor que la probabilidad de su suma (4/6).

Considere el siguiente problema. En la bolsa hay bolas de tres colores: blanco, amarillo y negro. Además, se sabe que el blanco$$$10\%$ del total, y amarillo - $$$15\%$. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola dibujada al azar sea brillante? El conteo preciso muestra que si está en una bolsa$$$N$ bolas, entonces el evento en cuestión corresponde a $$$0.1N + 0.15N = 0.25N$ bolas, es decir $$$25\%$del número total de bolas. Los eventos "tiraron una pelota blanca" y "tiraron una pelota amarilla" son incompatibles, por lo que la probabilidad de que la pelota sea ligera es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.

Los eventos se llaman opuestos si exactamente uno de ellos siempre ocurre. De esta definición, podemos concluir que, en primer lugar, estos eventos son incompatibles, y en segundo lugar, su probabilidad total es 1. Un evento opuesto al evento$$$E$expresado como $$$\Omega\setminus E$ (si todos los resultados elementales tienen una probabilidad positiva, entonces este es el único evento de este tipo).

Desafío de autoevaluación

Selecciona un número al azar $$$n$ del 1 al 100. Considere los siguientes eventos:

1. número $$$n$ igualmente;
2. número $$$n$ impar;
3. número $$$n$ divisible por 4;
4. número $$$n$ tiene un resto de 2 cuando se divide por 4;
5. número $$$n$ tiene un resto de 1 cuando se divide por 4.

¿Cuál de estos eventos es incompatible? (indicar todos los pares)

Fórmula de inclusión y exclusión

¿Cómo determinar la probabilidad de la suma de dos eventos que no son incompatibles? Considere el siguiente ejemplo. Entre estudiantes de la escuela$$$15\%$ por ciento sabe francés y $$$20\%$saber alemán La proporción de quienes hablan ambos idiomas en todos$$$5\%$. ¿Cuál es la proporción de estudiantes que saben al menos uno de estos dos idiomas? Si dibujamos un diagrama, si sumamos las partes de los que saben francés y los que saben alemán, entonces contaremos dos veces los que saben ambos idiomas. Por lo tanto, la respuesta:$$$15\% + 20\% - 5\%= 30\%$.

La misma pregunta también se puede formular en el lenguaje de la teoría de la probabilidad: ¿con qué probabilidad un estudiante seleccionado al azar sabe al menos uno de los dos idiomas? Un razonamiento similar nos lleva a la siguiente fórmula:

$$

$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A\cap B],$$

Dónde $$$A\cap B$ Es una intersección de eventos. $$$A$ y $$$B$es decir Este evento consiste en los resultados elementales que entran simultáneamente en$$$A$, y en $$$B$(dicho evento también se denomina producto de eventos$$$A$ y $$$B$ y denotar $$$\Pr[AB]$)

Desafío de autoevaluación

Se sabe que los estudiantes de clase con deuces en álgebra representan el 25%, y los estudiantes con deuces en geometría representan el 15%. ¿Cuántos estudiantes tienen deuces en álgebra y geometría, si los estudiantes que no tienen deuces en ninguna de las materias representan el 70%?

La probabilidad condicional

Nuevamente, considere el problema de los estudiantes y los idiomas extranjeros. ¿Qué proporción entre los estudiantes que saben alemán sabe francés? La respuesta es fácil de entender mirando la imagen. Es necesario calcular la relación entre el número de estudiantes que saben ambos idiomas y el número de estudiantes que saben alemán, es decir.$$$\frac{0.05N}{0.2N} = 25\%$. Volviendo al lenguaje de la teoría de la probabilidad, uno puede hacer la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sepa francés, siempre que sepa alemán? Deja que los eventos$$$A$ y $$$B$corresponden al hecho de que un estudiante seleccionado al azar sabe francés y alemán, respectivamente. Entonces la probabilidad deseada se llama probabilidad condicional de ocurrencia$$$A$ previsto $$$B$ y es designado $$$\Pr[A\mid B]$. Por analogía, obtenemos la siguiente fórmula para probabilidad condicional:

$$

$$\Pr[A\mid B] = \frac{\Pr[A\cap B]}{\Pr[B]}.$$

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sepa alemán, siempre que sepa francés?

A partir de la fórmula de probabilidad condicional, podemos obtener una fórmula para la probabilidad del producto de dos eventos.

$$

$$\Pr[A\cap B] = \Pr[B] \cdot \Pr[A\mid B].$$

En palabras: para encontrar la probabilidad de que ambos eventos ocurran $$$A$ y $$$B$, debes multiplicar la probabilidad del evento $$$B$ sobre la probabilidad condicional de un evento $$$A$ con conocido $$$B$.

Desafío de autoevaluación

En una clase del 50% de los niños; El 60% de los niños adoran el helado. ¿Cuál es la proporción de niños que aman el helado entre los estudiantes de la clase? ¿Cómo reformular esto en el lenguaje de la teoría de la probabilidad?

Independencia

Considere un experimento con lanzar dos dados: rojo y azul. Hay 36 resultados en este experimento que consideramos igualmente posibles. La probabilidad de que un triple caiga en un dado rojo es igual a$$$1/6$ (6 de 36 resultados), la probabilidad de que un triple caiga en un cubo azul también es igual $$$1/6$. ¿Cuál es la probabilidad de que un tres caiga en un cubo azul, siempre que un tres haya caído en rojo? Usando la fórmula de probabilidad condicional, necesita calcular la razón de la probabilidad de un triple en ambos cubos a la probabilidad de un triple en rojo. Obtenemos$$$\frac{1/36}{1/6} = 1/6$. Tenga en cuenta que la presencia de información de que un triple ha caído en un cubo rojo no afecta la probabilidad de que un triple se caiga en azul. Tales eventos se llamarán independientes . Diremos que los eventos$$$A$ y $$$B$ independiente si

$$

$$\Pr[A\mid B] = \Pr[A].$$

(Esta definición supone que ambas probabilidades de eventos $$$A$ y $$$B$estrictamente mayor que cero.)

Se puede obtener una definición alternativa utilizando la definición de probabilidad condicional: dos eventos se denominan independientes si la probabilidad de su producto es igual al producto de sus probabilidades.

$$

$$\Pr[AB] = \Pr[A]\cdot \Pr[B].$$

Tareas de autoevaluación

1. ¿Son independientes los eventos "saber alemán" y "saber francés"?
2. Lanza un dado. Son los eventos independientes:
   
   1. "Incluso se cayó" y "se cayó extraño",
   2. "Incluso se cayó" y "2 se cayó",
   3. "Incluso se cayó" y "se cayó un múltiplo de tres".

El siguiente paso es una conversación sobre la fórmula de Bayes, que se deriva de la definición de probabilidad condicional. Reescribe la definición:

$$

$$P[B\mid A] = \frac{P[A\cap B]}{P[A]}\quad \Rightarrow\quad P[A\cap B] = P[B\mid A]\cdot P[A].$$

Y sustituyendo esto en la definición, obtenemos la fórmula de Bayes

$$

$$P[A\mid B] = \frac{P[A\cap B]}{P[B]} = \frac{P[B\mid A]\cdot P[A]}{P[B]},$$

que le permite intercambiar el evento y la condición bajo el signo de probabilidad. Creo que al aplicar la fórmula de Bayes necesitas escribir una publicación separada, por ejemplo, una .

Terminaremos aquí con definiciones y antes de pasar a paradojas, discutamos y en qué casos podemos hablar de probabilidad.

¿Cuándo podemos hablar de probabilidad?

Propongo considerar varias cuestiones que ilustran la importancia de la redacción.

¿Cuál es la probabilidad de que al caminar por la calle te encuentres con un dinosaurio?

Creo que está claro para todos que esto no es 1/2. Pero aún así, ¿cómo responder esta pregunta correctamente? El problema con esta pregunta es que está formulado incorrectamente: es imposible determinar inequívocamente el espacio de probabilidad a partir de él y, por lo tanto, tampoco es posible hablar de probabilidad. Puede sugerir alguna otra redacción de la pregunta, en la que será obvio. Por ejemplo, a partir de mañana, un dinosaurio se materializa cada minuto con una probabilidad de 0.00001 en cada calle de la ciudad y existe durante una hora sin ir a ninguna parte. En esta formulación, el proceso aleatorio es comprensible y puede evaluar la probabilidad de una reunión si determina cómo se organiza la caminata, cuánto dura y cuántas calles toca.


Lanzaste una moneda y, sin mirar, la cubriste con la mano. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda se convierta en águila?

Me gustaría decir que en este caso la probabilidad es 1/2. Sin embargo, estrictamente hablando, ya no hay ningún proceso aleatorio. La moneda ya ha caído a un lado. El hecho de que no sepas algo no significa que sea algo aleatorio. Por ejemplo, si no conoce la solución a la ecuación, esto no significa que cualquier número pueda ser su solución con la misma probabilidad. Por lo tanto, en este caso, el espacio de probabilidad no se puede describir. Puede reformular la pregunta, por ejemplo, de esta manera: "¿Cuál es la probabilidad de que adivine el lado de la moneda, si al azar igualmente es probable que elija un águila o una cola?". En esta formulación, ya está claro qué es un proceso aleatorio (elegir un águila o colas), cómo determinar el espacio de probabilidad y obtener la respuesta 1/2. Además, en una redacción así, no tiene importancia si la moneda era "honesta" o no.

Comentario. Nuestra confianza en algo también se puede describir en términos de teoría de la probabilidad: esto se hace en el marco de la interpretación bayesiana de la teoría de la probabilidad. Esta interpretación nos permite utilizar el aparato de la teoría de la probabilidad para evaluar nuestra confianza en la verdad de ciertas afirmaciones (no necesariamente al azar) en función de la información que conocemos. Sin embargo, vale la pena señalar que en este caso el concepto de probabilidad se vuelve subjetivo: el mismo evento desde el punto de vista de diferentes observadores puede tener diferentes probabilidades. Por ejemplo, en el póker puedes considerar la probabilidad de que las espadas caigan como positivas (ya que no la ves en la mesa y en tu mano), y tu oponente, que ya tiene una espada en tu mano, evaluará la probabilidad de que caiga como cero. En este caso, también se puede llegar a una opción en la que ambas estimaciones resultan ser diferentes de la probabilidad "real", objetiva. No hay contradicción, porque estos son tres tamaños diferentes (los jugadores tienen información diferente,y la probabilidad objetiva en este caso corresponde a la información completa).

Te levantaste por la mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que hoy sea domingo?

Creo que ya entendió que la respuesta 1/7 es incorrecta, o más bien, la pregunta es incorrecta. No está claro qué es un proceso aleatorio. Para obtener 1/7, debe aclarar la pregunta, por ejemplo, así: se queda dormido el domingo por la noche y se despierta al azar cualquier mañana de la próxima semana, ¿cuál es la probabilidad de que se despierte el domingo? Pero incluso con esta aclaración, si pregunta sobre el día de la semana después de despertarse (después de que se hizo una elección aleatoria), dicha pregunta seguirá siendo incorrecta; de lo contrario, debe suponer que está en una superposición de todos los días de la semana anterior hasta que mires el calendario.


Escribí un número (específico) en la pizarra y afirmo que lo he probado con éxito su simplicidad dos veces con un algoritmo probabilístico, que se confunde con una probabilidad de menos del 1%. ¿Qué tan probable es que este número sea primo?

Me gustaría decir que este número es primo con una probabilidad de más del 99,99%. Sin embargo, desde un punto de vista matemático, un número puede ser simple o no. Por lo tanto, es incorrecto decirlo. Después de que el algoritmo ha completado el trabajo, ya no hay nada al azar en esta formulación del problema, por lo tanto, tampoco hay probabilidad. Sería correcto decir que está 99.99% seguro de que este número es primo, pero solo puede decirlo si confía en mí al 100% :)

Paradojas

En esta sección, trataremos de analizar varias "paradojas" bien conocidas de la teoría de la probabilidad y comprender que no tienen contradicciones o que las preguntas se plantean incorrectamente.

La paradoja de Monty Hall

Esta es una paradoja muy famosa . Muchas copias se rompieron sobre él, incluso matemáticos eminentes dieron la respuesta incorrecta.

Imagine que se convirtió en un participante en un juego en el que debe elegir una de las tres puertas. Hay un automóvil detrás de una de las puertas, cabras detrás de otras dos puertas. Selecciona una de las puertas, por ejemplo, el número 1, después de lo cual el anfitrión, que sabe dónde está el automóvil y dónde están las cabras, abre una de las puertas restantes, por ejemplo, el número 3, detrás del cual se encuentra la cabra. Después de eso, él le pregunta si desea cambiar su elección y elegir la puerta número 2. ¿Aumentarán sus posibilidades de ganar un automóvil si acepta la oferta del anfitrión y cambia su elección?

Como sugiere Wikipedia , para que la tarea se defina correctamente, debemos aclarar que el participante en el juego conoce de antemano las siguientes reglas:

1. Es igualmente probable que el automóvil se coloque detrás de cualquiera de las tres puertas;
2. el presentador sabe dónde está el auto;
3. en cualquier caso, el líder debe abrir la puerta con la cabra (pero no la elegida por el jugador) e invitar al jugador a cambiar la elección;
4. Si el presentador tiene la opción de elegir cuál de las dos puertas abrir, elige cualquiera de ellas con la misma probabilidad.

Si no está familiarizado con esta paradoja, le sugiero que piense durante unos minutos sobre cuál será la respuesta correcta.


Para responder a la pregunta formulada, descubramos qué es un proceso aleatorio aquí. La aclaración muestra que el proceso aleatorio se menciona solo en los párrafos 1 y 4: "es probable que el automóvil esté ubicado detrás de cualquiera de las tres puertas" y "si el presentador tiene la opción de elegir cuál de las dos puertas abrir, elige cualquiera de ellas con la misma probabilidad". La pregunta que debemos aprender a responder es: "¿Aumentarán sus posibilidades de ganar un automóvil si acepta la oferta del anfitrión y cambia su elección?" Aquellos. Se nos pregunta cuál de las dos estrategias ofrece una mayor probabilidad de ganar. Observo que la condición número 4 no afecta el hecho de ganar al jugador, por lo que no tiene sentido incluirlo en el espacio de probabilidad. Por lo tanto, se propone elegir un espacio de probabilidad con muchos resultados elementales.$$$\Omega = \{1,2,3\}$correspondiente al número de puerta detrás del cual se encuentra el automóvil y las probabilidades $$$p_1=p_2=p_3 = 1/3$. Ahora considere dos estrategias del jugador: "salir de la puerta seleccionada", denotamos$$$S_1$y "cambiar la puerta", denotamos $$$S_2$.

No sabemos cómo el jugador elige la primera puerta, pero no necesitamos saberlo. Es suficiente verificar cómo funciona la estrategia en todas las elecciones de primera puerta. Denotamos por$$$d$ la puerta que el jugador eligió inicialmente, y a través de $$$x$- la puerta detrás de la cual se oculta el automóvil. Entonces para cualquier$$$d \in \{1,2,3\}$ evento "jugador ganado usando estrategia $$$S_1$"Corresponde al hecho de que adivinó la puerta correcta en el primer intento. Hablando formalmente, estamos interesados ​​en el evento.$$$E_1 = \{d\}$es decir $$$x = d$y su probabilidad $$$1/3$. Evento "el jugador ganó usando la estrategia$$$S_2$»Corresponde al evento contrario $$$E_2 = \Omega\setminus \{d\}$es decir $$$x \neq d$y su probabilidad $$$2/3$. Cabe señalar una vez más que si este análisis es verdadero para cualquier opción$$$d$Por lo tanto, es cierto con cualquier estrategia para elegir la primera puerta. Además, notamos que no usamos la condición 4. De ninguna manera,

como puede ver, no hay ambigüedades aquí, esta tarea se llama una paradoja solo porque la respuesta puede no corresponder a la intuición. Pero esto sucede con bastante frecuencia en las matemáticas.

La paradoja de un niño y una niña.

Cito Wikipedia .

El problema se formuló por primera vez en 1959 cuando Martin Gardner publicó una de las primeras versiones de esta paradoja en Scientific American, titulada "The Two Children Problem", donde citó la siguiente declaración:

• El señor Jones tiene dos hijos. El hijo mayor es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?
• El señor Smith tiene dos hijos. Al menos un niño es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?

El mismo Gardner respondió inicialmente $$$1/2$ y $$$1/3$respectivamente, pero posteriormente se dio cuenta de que la situación en el segundo caso es ambigua. La respuesta a la segunda pregunta puede ser$$$1/2$ dependiendo de cómo se descubrió que uno de los niños es un niño.

Espacio probabilístico dado $$$\Omega = \{\text{},\text{},\text{},\text{}\}$ y todas las probabilidades son iguales $$$1/4$. En el primer caso, sabemos que el evento se ha completado.$$$E = \{\text{},\text{}\}$. Por lo tanto, sujeto a$$$E$La probabilidad de dos niñas es 1/2.

En el segundo caso, todo es más complicado, porque No está claro cómo supimos que el Sr. Smith tiene uno de los niños de los niños. Se pueden sugerir dos opciones:

1. Se selecciona una persona aleatoria con dos hijos y se le pregunta si hay un niño entre sus hijos. Entonces la probabilidad de dos niños es 1/3, porque esto corresponde a la probabilidad de MM sujeto al evento$$$E = \{\text{},\text{},\text{}\}$.
2. Se selecciona una persona aleatoria con dos hijos, se selecciona a su hijo aleatorio (mayor o menor) y se le pregunta a su género. Este experimento corresponde a otro espacio probabilístico en el que todavía se debe tener en cuenta la elección del niño sobre el que se le pregunta. Tendrá 8 resultados elementales, y cuatro de ellos serán adecuados para nosotros (se le preguntó a MM sobre el mayor, se le preguntó a MM sobre el más joven, se le preguntó a MD sobre el mayor, a DM se le preguntó sobre el más joven). Dos resultados nos convienen, por lo que la respuesta es 1/2.

La paradoja de la bella durmiente

La discusión de esta paradoja está motivada por esta publicación sobre el Habré , que causó una discusión generalizada, pero hay una descripción de esta paradoja en Wikipedia .

El sujeto de prueba (La bella durmiente) recibe una inyección de pastillas para dormir. Se lanza una moneda simétrica. En el caso de la pérdida de un águila, se despierta y el experimento termina allí. En el caso de las colas, la despiertan, le hacen una segunda inyección (después de lo cual se olvida del despertar) y se despiertan al día siguiente sin arrojar monedas (en este caso, el experimento dura dos días seguidos). Beauty conoce todo el procedimiento, pero no tiene información sobre el día en que la despertaron.

Imagínese en el lugar de la Bella Durmiente. Te despertaste. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda se haya ido?

Se propone considerar dos soluciones alternativas con resultados diferentes.

Solución 1

No tiene ninguna información sobre el resultado de una pérdida de monedas y despertares anteriores. Como se sabe que la moneda es justa, se puede suponer que la probabilidad de colas$$$1/2$.

Decisión 2

Hagamos el experimento 1000 veces. La Bella Durmiente se despierta en promedio 500 veces con un águila y 1000 veces con una cola (porque cuando la cola cae, se le pregunta a la Bella Durmiente 2 veces). Por lo tanto, la probabilidad de colas$$$2/3$.

Parece que ambas decisiones pueden afirmar que son correctas. Sin embargo, en un intento por determinar el espacio de probabilidad, nos esperan serias dificultades. ¿Qué es un proceso aleatorio? El hecho es que cuando la Bella Durmiente se despierta, ya no hay ningún proceso aleatorio. La elección ya ha sido hecha. Ella no sabe el resultado de esta elección, pero ya no hay nada accidental. Esto nos lleva de vuelta al ejemplo de los dinosaurios. Si no sabe si hay un dinosaurio a la vuelta de la esquina, esto no significa que esté allí con una probabilidad de 1/2. Por lo tanto, la "Decisión 1" no responde la pregunta sobre la probabilidad, sino la pregunta sobre el grado de confianza de la Bella Durmiente. Y la "Solución 2" sugiere considerar un experimento completamente diferente, en el que se hace una pregunta completamente diferente, que se propone que un observador externo responda antes de que comience el experimento.

Para darle a esta pregunta un significado matemático y obtener la respuesta deseada 2/3, debe usar algún dispositivo filosófico, como “compartir almas”. Por ejemplo, así: entras en el aparato de reubicación del alma, después de lo cual se lanza una moneda para la Bella Durmiente, que crea dos universos paralelos: uno donde la moneda cayó por un águila y el otro donde cae por las colas. En total, en el espacio-tiempo de estos dos universos alternativos, hay tres despertares diferentes de la Bella Durmiente. El Aparato de reubicación del alma con una probabilidad de 1/3 inyecta tu alma en el cuerpo de la Bella Durmiente poco antes de uno de estos despertares. ¿Cuál es la probabilidad de que te despiertes en un universo paralelo donde se cayeron las colas?

Como puede ver, para darle un significado matemático a esta pregunta, uno tiene que fantasear bien, pero esto no lo hacen los matemáticos, sino los filósofos (más en esta publicación ). Decir que "ambas soluciones son correctas" es incorrecto desde un punto de vista matemático.

Desafío de autoevaluación

Explique por qué en el problema sobre los hijos de un marinero, con el que comienza esta publicación , la pregunta se plantea incorrectamente (es decir, ni 1/2 ni 1/3 son la respuesta correcta).

Caso sin fin

Cuando pasamos al caso infinito, es decir Si consideramos los experimentos con un número infinito de resultados elementales, entonces todo se vuelve mucho más complicado. No entraré en detalles y ni siquiera determinaré el espacio de probabilidad para un caso infinito, porque Esto requiere matemáticas más complejas. Sin embargo, para ilustrar, observo que en el caso infinito puede haber tales (malos) conjuntos de resultados elementales que no tienen probabilidad (conjuntos inconmensurables). Además, para todos los eventos buenos (medibles), la probabilidad se determina de manera única. Por lo tanto, esas "paradojas" que surgen en el caso infinito también surgen debido a la ambigüedad de la elección del espacio de probabilidad. Un buen ejemplo es la paradoja de Bertrand., mostrando cómo espacios probabilísticos aparentemente equivalentes (de hecho no) conducen a resultados diferentes.

En lugar de una conclusión

Incluso si no va a ir a ningún lado o será entrevistado para puestos técnicos en una empresa de TI, es posible que desee actualizar sus conocimientos de matemáticas, que pueden ser útiles en la programación. Puedo aconsejar el curso en línea del centro de CS sobre teoría de la probabilidad , que es leído por A.I. Los valientes.

PRIMA

Invito a todos a escuchar una conferencia de Alexander Shen "Generadores de" números aleatorios: teoría y práctica " este domingo 26 de abril a las 14:00 en el Computer Science Club . La conferencia se dará en zoom, para participar debe inscribirse en un curso o suscribirse al boletín.