Aproximadamente un indicador aplicable para la evaluación visual de las funciones de rápido crecimiento.

Para muchos modelos epidémicos: SIR, SEIR y similares (para detalles de la descripción matemática, ver, por ejemplo, www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html ) la siguiente afirmación es cierta: en la etapa inicial de la epidemia, cuando el número de personas infectadas (I ) es mucho más pequeño que el tamaño de la población, la tasa de crecimiento del número de casos es proporcional al número de casos:

$$$∂I/∂t=βI$donde β es el coeficiente que caracteriza la tasa de infección.

La solución a esta ecuación es una función exponencial. Para la función exponencial$$$f(t)=a^t$ Se cumple la siguiente ecuación funcional:

$$

$$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$$

A. número$$$log_a⁡2$ es el período de duplicación para una función $$$f(t)=a^t$. Por definición, si el período de duplicación para una función suave no decreciente es constante, entonces la función es exponencial.

Como muchos otros en este momento interesante, sigo las tasas de crecimiento de la tasa de incidencia publicada, por ejemplo, en el sitio .

Desde hace bastante tiempo, los gráficos comenzaron a parecerse a algo similar a un boomerang o un palo de hockey:


Figura 1

Los mismos gráficos en una escala logarítmica brindan un poco más de información:


Figura 2

Se puede ver que las tasas de crecimiento tienden a disminuir, ya que la pendiente del logaritmo de la función correspondiente disminuye, pero todo pero hay descontento por la falta de comprensión de cuán efectivas son las medidas tomadas para contener la epidemia.

Dinámica real del número de infectados incluso en condiciones de aplicabilidad de la aproximación. $$$∂I/∂t=βI$difiere de exponencial, que se debe principalmente a las medidas para contener la epidemia, lo que lleva al hecho de que $$$β$deja de ser una constante y se convierte en una función del tiempo decreciente (si son medidas efectivas, por supuesto ).

En relación con lo anterior, se propone utilizar un período de duplicación como indicador aplicable para la evaluación visual de funciones similares a la indicativa. En el caso general, para una función monotónicamente creciente$$$f(t)$ período de duplicación $$$D(t)$se puede determinar a partir de la siguiente ecuación funcional:

$$

$$f(t+D(t))=2f(t)$$

Diferencia $$$D(t)$de constante indica la diferencia $$$f(t)$del expositor. En relación a la dinámica de las tasas de incidencia, crecimiento$$$D(t)$(idealmente, hasta el infinito) indica la efectividad de las medidas tomadas para contener la epidemia.

En el caso de funciones definidas en forma tabular en un conjunto discreto, por ejemplo, en forma de una tabla de la dependencia del número de casos en la fecha, existe una arbitrariedad en la definición$$$D(t)$. Como la forma más fácil de determinar$$$D(t)$podemos proponer lo siguiente:

Sea t∈ {0; 1; ...; N} un tiempo discreto, I (t) es el número de casos que dependen del tiempo t. Entonces también es



posible determinar el período de duplicación



"pesimista" El "pesimismo" en este caso se debe al hecho de que la comparación de I (t) siempre se realiza con I (o), es decir con una base "baja" por definición. ¿Pero suponemos que la situación debería mejorar con el tiempo? Para los optimistas, existe una definición: de



acuerdo con las definiciones anteriores



Los siguientes son ejemplos del uso del indicador anterior:


Figura 3


Figura 4

Datos sobre España, descritos en la prensa como un ejemplo de dolor de cabeza


Figura 5

A pesar del mareo obvio en la etapa inicial, España todavía parece desesperada.

Y, en conclusión, los penates nativos.


Figura 6 Es

reconfortante que en Rospotrebnadzor la tasa de crecimiento de la incidencia de COVID-19 en la Federación de Rusia se considerara lenta .

El archivo con los datos de origen, fórmulas y gráficos se puede tomar aquí.

Tarea:

1. Decidir sobre$$$D(t)$ la ecuacion $$$f(t+D(t))=2f(t)$para las siguientes funciones

$$$f(t)=t^t$
$$$f(t)=Γ(t)$dónde $$$Γ(t)$- función gamma
$$$f(t)=t^n$
$$$f(t)=ln⁡(t)$
También por $$$f(t)=ln⁡(t)$resuelve la ecuación $$$f(t+D(t))=mf(t)$

2. Responda la pregunta: ¿cómo se relacionan el período definido de duplicación de la función y la derivada logarítmica de la función?

Pido a los lectores que no publiquen decisiones en los comentarios dentro de una semana.