🧑🏼 👩🏾‍🍳 🏬 Fractales en la arena, o más de tres no se juntan 🥑 🐐 🎁

Hablaremos sobre el modelo de montón de arena. La arena (no real, modelo), que se vierte, crea estas imágenes:

se pueden agregar montones de arena (esto es fácil si está acostumbrado a doblar todo tipo de cosas) y restar (pero esto ya no es trivial).

También puedes usar esto como Hello world en lugar del juego Life.

Montones de arena

Toma un campo cuadrado a cuadros. Los granos de arena pueden estar en cada celda de este campo. Por ejemplo, puede verse así:

ahora agregue un grano de arena a esa celda donde hay tres de ellos:

Y ahora la atención es la regla más importante:

Si hay cuatro granos de arena en la celda, se distribuyen en cuatro celdas vecinas.

Como dicen, hay un colapso (derribo). Así:

una regla muy natural. Aunque no parece arena en absoluto, es más como la regla "no juntar más de tres": si cuatro personas en una jaula se las arreglan para reunirse, se dispersan en diferentes direcciones.

De esta manera, puede ocurrir una cascada de deslizamientos de tierra: cuando se acumula un montón de arena, los deslizamientos de tierra ocurren hasta que hay células inestables con 4 o más granos de arena, es decir, hasta que se obtiene un montón de arena estable :

Esto ya se parece al mecanismo de brotes de enfermedades en la pandemia. ", Aunque de forma remota.

Y si en varias celdas al mismo tiempo había 4 granos de arena o más, ¿entonces qué? ¿En qué orden hacer deslizamientos de tierra? Respuesta: no importa.

Evidencia

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}, \dots, x_{n}

$x_2,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

Si arrojas muchos, muchos granos de arena en una celda de un campo sin fin y dejas que se desmoronen, obtienes ese mandala:

Aquí, "muchos, muchos" son 30 millones, y las celdas con 0, 1 , 2 , 3 granos de arena están marcadas con píxeles de blanco, verde, púrpura. y color dorado. Hay un video en YouTube , puedes ver cómo se ve en la dinámica.

Agregar y restar

Debido al hecho de que la secuencia de deslizamientos de tierra no es importante, es posible determinar la operación de agregar pilas de arena estables: colocamos una encima de otra, apilando granos de arena de las celdas correspondientes, y dejamos que se desmorone. En un campo infinito, debe tener cuidado de introducir coordenadas coordinadas en ambos términos de montón. Se puede tratar y la arena se acumula en el campo a cuadros final: cuando los granos de arena se desmoronan sobre el borde, se pierden para siempre (dicen que el borde del campo ubicado se hunde kletki (sumidero), o un kletischa grande, no importa). A continuación se muestra un ejemplo de la adición de dos pilas de arena en un campo de 3 × 3. Como puede ver, dos secuencias de colapso diferentes conducen al mismo resultado.

También es posible en el toro, pero en él todavía debe hacer al menos una celda de drenaje para que haya un lugar donde se filtre la arena, de lo contrario, la secuencia de deslizamientos de tierra puede ser infinita.

Resulta que el conjunto de pilas de arena estables en un campo determinado (finito o infinito) tiene la estructura de un monoide conmutativo : se pueden apilar juntas (además, esta adición es conmutativa y asociativa), y el campo vacío sin un solo grano de arena desempeña el papel de cero. No puede restar montones de manera tan simple: puede obtener una cantidad negativa de granos de arena. Sin embargo, también construiremos un análogo de resta, pero no para todos los montones, sino solo para la élite.

Un poco de álgebra. Idealen un monoide conmutativo se llama un subconjunto de este que es invariable con respecto a la adición de cualquier elemento de este monoide, incluso no del ideal. Es decir, si perteneces a un ideal, entonces no saldrás de él, no importa lo que agregues a ti mismo. Por ejemplo, el conjunto de números naturales también es un monoide conmutativo, solo con respecto a la multiplicación, y lo ideal es, por ejemplo, el conjunto de números pares: para el cual un número par no se multiplica, siempre se obtiene un número par. El ideal mínimo es la intersección de todos los ideales (no vacíos); en sí mismo es también un ideal. En el ejemplo con números naturales, la intersección de todos los ideales no vacíos es un conjunto vacío. Sin embargo, en el caso de los monoides conmutativos finitos esto no es así. Existe un teorema sobre el ideal mínimo en un monoide conmutativo finito, según el cual espor un grupo (con respecto a la misma operación que se especifica en el monoide): hay un elemento neutro (análogo de cero), y cada elemento tiene un inverso, es decir, la resta se especifica junto con la suma. En el caso general, se demuestra que esto es aburrido, pero solo nos interesan los montones de arena.

Tome montones en el campo final para que el conjunto de montones estables sea finito. Tenga en cuenta que el montón de arena con el número máximo de granos de arena en cada celda (es decir, 3; llamémoslo simplemente "montón 3") pertenece a cualquier ideal en el monoide de montones de arena estable, ya que puede agregar otro montón estable especialmente seleccionado a cualquier montón estable un montón para obtener un montón de 3 (no es necesario hacer deslizamientos de tierra). Por lo tanto, se genera el ideal mínimomontón 3: para obtenerlo, debe tomar el montón 3 y agregar a su vez todo tipo de montones de arena estables. Esto dará como resultado un cierto subconjunto del conjunto de todos los montones estables; no contiene, por ejemplo, un campo vacío. La pila de arena de este subconjunto se llama recurrente (recurrente).

Entonces, el álgebra general nos dice que muchas pilas de arena de retorno son un grupo. Por lo tanto, tiene elementos inversos y neutros. Un elemento neutral ( elemento de identidad) es un montón de retorno que, cuando se agrega a cualquier otro montón de retorno, no lo cambia. Por cierto, la adición de un elemento neutral solo se muestra en la ilustración de la adición de montones.

Para obtener un elemento neutral, debe arrojar en cada celda el doble de la cantidad máxima de granos de arena (es decir, 6), dejar que se desmorone, luego restar la cantidad de granos de arena en cada celda de 6, dejar que el resultado se desmorone.

¿Por qué?

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

¿Cómo restar?

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

Así es como se ve el elemento neutral del grupo de pilas de arena (de retorno) en el campo de 1024 × 1024; Las celdas con 0, 1 , 2 , 3 granos de arena en la celda están coloreadas en negro, verde, morado y dorado.

En KDPV, lo mismo para el campo 1000 × 500, y la ilustración de la adición de montones 3 × 3 también muestra el elemento neutral local.

Es decir, lo entiendes. Los grupos son diferentes, pero los elementos neutros en ellos generalmente se ven completamente neutros. En el grupo de algunos números de suma, el elemento neutral es el número 0, en el grupo de números reales o complejos distintos de cero en la multiplicación - el número 1, en el grupo de vectores de suma - el vector cero, en el grupo de permutación - la permutación "todo está en su lugar", en el grupo movimientos - "no toques nada". Y aquí, ¡qué belleza! Que intento aún calcular.

Patrones

Tanto en el elemento neutral como en el montón que se desmoronó de muchos granos de arena en una celda, las afirmaciones de autosimilitud son visibles. Además, aunque los detalles cambian cuando se cambia el tamaño del campo, la imagen en su conjunto, como si fuera un mapa fractal de áreas llenas de patrones periódicos simples cosidos de las servilletas de Sierpinski, permanece sin cambios y solo detalles cuando el campo se amplía.

Moritz Lang, CC BY-SA 4.0

Parece que no hay evidencia de este hecho específicamente para un elemento neutral en una cuadrícula cuadrada. Pero para un montón que se derrumbó de muchas partículas en una celda, se prueba la existencia ( preimpresión , artículo ) y la fractalidad ( preimpresión , artículo )) de la figura resultante de la tendencia del número de granos de arena al infinito con el ajuste simultáneo de la escala.

Además, se ha demostrado la existencia y la fractalidad del montón de arena en un campo cuadrado finito (más precisamente, su límite para el número de celdas en el campo que tiende a ∞), que es un elemento neutral con 1 grano de arena agregado en cada celda (con desprendimiento posterior, como de costumbre).

Los autores de la prueba ( preimpresión , artículo ) amablemente proporcionaron un algoritmo que describe la figura correspondiente, que, con una implementación simplificada, proporciona dicha imagen: compárela con la imagen de arriba:

Código para Wolfram Mathematica

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

En los triángulos curvos que forman imágenes fractales, no solo se ven patrones periódicos más o menos homogéneos (especialmente en el KDPV), sino también "defectos" de ramificación unidimensionales. Estas parecen ser curvas tropicales . En cualquier caso, se sabe ( preimpresión , artículo ) que si se arrojan varios granos de arena separados en el campo final con 3 granos de arena en cada celda, se forma una imagen del gráfico como resultado del desprendimiento, que es una curva tropical que pasa a través de los granos de arena granulados.

Variaciones y generalizaciones.

Los sofisticados expertos en automatización celular ya lo han pensado: también podemos considerar a los vecinos de la célula y aquellos que solo tienen un ángulo común ("la vecindad de Moore"). El colapso en este caso debería ocurrir cuando se alcanzan 8 granos de arena en la jaula. Bueno, 5 millones de granos de arena en la celda central se convierten en una figura (colores: 0 - blanco, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ):

Por supuesto, puede considerar no solo las celdas cuadradas, sino también otras estructuras regulares . Las imágenes correspondientes se encuentran en la galería en la página de uno de los autores de los artículos anteriores.

Además, la arena se puede dispersar en general en cualquier gráfico, incluidos los orientados: los granos de arena se recogen en los vértices y se produce un colapso cuando el número de granos de arena en el vértice alcanza el grado saliente del vértice (el número de bordes que emanan de él). Pero si desea considerar un grupo de pilas de arena en este gráfico, debe ser finito, debe tener una parte superior del fregadero y debe ser posible alcanzarlo desde cualquier vértice. Sin embargo, si leyó este párrafo, probablemente ya lo haya descubierto.

El código

El juego "Vida" siempre ha sido una de mis tareas favoritas al aprender un nuevo lenguaje de programación. Pero ella ya estaba empezando a molestarse, así que cuando leí sobre montones de arena, decidí que era una buena tarea, adecuada para practicar en un buen idioma y aún poco conocida (como pensaba), tal vez seré el primero en saber quién es ¡Raste lo programará! Si, Schaz. Hay montones de arena incluso en Google Play: uno , dos . Entonces, en Rust, se encontraron un par de implementaciones en Github; Pero no son muy buenos. Mi implementación está en github.com/colt-browning/sandpile. Puede usarlo directamente en la línea de comando (aunque, me temo que el sistema con la escritura polaca de argumentos resultó ser complicado), puede usarlo como una biblioteca. La eliminación generalmente se realiza de una manera bastante sencilla, pero se proporcionan procedimientos optimizados para casos especiales importantes.

Pregunta respuesta

¿Por qué es todo esto necesario?

Respuesta común Es hora de mencionar el modelo Buck - Than - Wiesenfeld. A veces se mezcla con un modelo de montón de arena, pero será más exacto decir que este es un complemento sobre un marco de arena: tomamos un montón de arena en un campo cuadrado y arrojamos un grano de arena en celdas aleatorias, observando cada vez cómo se produce el desprendimiento y cuántas células afectará la avalancha deslizamientos de tierra ( video) Con cualquier configuración que comencemos, tarde o temprano llegaremos a devolver montones. Los experimentos numéricos muestran que la distribución del tamaño de las avalanchas es una ley de poder. En los sistemas naturales, la respuesta a las fluctuaciones generalmente decae exponencialmente en promedio, y se produce una distribución de la ley de potencia en estados llamados críticos, por ejemplo, cerca de una transición de fase. Sin embargo, para entrar en la transición de fase, generalmente es necesario "ajustar" los parámetros del sistema (temperatura y presión, por ejemplo, o hay probabilidades de un borde en el gráfico si estamos hablando del problema de percolación en la red o el modelo Erdos - Renyi).- También hay transiciones de fase allí). Y en el modelo BTV, aparece una ley de potencia, sin ajustes precisos. Esto se llama criticidad autoorganizada. BTV no solo ideó un modelo de montón de arena, sino que fue por su trabajo que la arena se estableció firmemente en la ciencia bajo la bandera de la crítica autoorganizada: dicen, si entendemos cómo surge la crítica autoorganizada en la arena, ayudará a entender de dónde puede venir en principio naturaleza (y en la naturaleza también se producen leyes de poder de origen no muy claro). Parece que la ley de potencia para el modelo BTV en una cuadrícula cuadrada aún no se ha establecido estrictamente, pero hay muchos resultados teóricos cercanos ( aquí hay resultados más recientes) y, por supuesto, experimentos numéricos e incluso a gran escala.

Respuesta honesta. Sí, solo miras las fotos, ¡qué belleza!

Describió todo esto de Wikipedia y descargó imágenes desde allí.

No cancelé y descargué desde, pero escribí y subí a.

¿Dónde más leer sobre arena?

Crecimiento laplaciano, pilas de arena y límites de escala : revisión de 2017.
Modelo de arena : notas del curso de la Escuela de verano "Matemáticas contemporáneas" del coautor del resultado sobre curvas tropicales.

Fractales en la arena, o más de tres no se juntan