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Sobre matemáticas y pandemias

Descargo de responsabilidad 1

Soy matemático, NO DOCTOR, y no soy epidemiólogo especialista, y escribí mi último trabajo científico sobre el tema del modelado epidemiológico hace 20 años. Para todas las cuestiones de salud, coronavirus y el significado de la vida, consulte a su médico, no sean personas estúpidas.
Descargo de responsabilidad 2

A continuación encontrará una serie de gráficos. Antes de construirlos, calibré y simplifiqué deliberadamente el modelo, desintonizando los parámetros de COVID-19. Estos gráficos demuestran el desarrollo de una epidemia de un virus condicional en una población condicional en un tiempo condicional. No haga predicciones sobre el curso de la pandemia actual, confiando en mis fotos, no sean personas estúpidas.
Bueno, ahora vámonos! Por razones obvias, ahora el interés en cualquier pandemia ha aumentado bastante, y todo tipo de modelos matemáticos y no muy matemáticos deambulan por las redes sociales en paquetes. El número de epidemiólogos y especialistas en sistemas de ecuaciones diferenciales superó por completo todos los límites imaginables. Sin embargo, en toda esta información, los disturbios, la filtración, la imitación estocástica, los modelos son extrañamente ignorados. Corregiremos de inmediato esta deficiencia. Por cierto, por primera vez sobre tales modelos (y mucho más) leí en un libro maravilloso de Gould y Tobochnik "Modelado por computadora en física".

Minuto de atención ovni


La pandemia COVID-19, una infección respiratoria aguda potencialmente grave causada por el coronavirus SARS-CoV-2 (2019-nCoV), se ha anunciado oficialmente en el mundo. Hay mucha información sobre Habré sobre este tema; recuerde siempre que puede ser confiable / útil, y viceversa.

Le instamos a que sea crítico con cualquier información publicada.


Fuentes oficiales

, .

Lávese las manos, cuide a sus seres queridos, quédese en casa siempre que sea posible y trabaje de forma remota.

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El modelo de percolación es engañosamente simple. Para empezar, creamos un modelo informático común de un individuo que participa en una epidemia. Algo no demasiado complicado: sano, enfermo, recuperado, muerto, y las condiciones para la transición entre condiciones. Sobre la base de datos estadísticos sobre la población estudiada, cada instancia específica está dotada aleatoriamente de ciertas características, como la edad, el sexo (si es importante), la inmunidad, etc. Después de haber hecho un puñado de instancias de este tipo, las colocamos en la parte superior de un determinado gráfico que imita las conexiones sociales. Después de esto, queda por establecer las condiciones para la transmisión de la infección entre individuos, infectar a los primeros afortunados y comenzar la epidemia.

La gran ventaja de este enfoque es la facilidad de modificación y la libertad de numerosas suposiciones a priori que le permiten ejecutar rápidamente el modelo para una variedad de escenarios, incluso exóticos. Veremos ejemplos a continuación. La otra cara de este método es que una descripción matemática rigurosa y un análisis de los efectos que surgen en dicho sistema a menudo es muy complicado (por decirlo suavemente). Sin embargo, esto no nos hace daño experimentar.

Basta de hablar al punto! Tome 16 millones de patsaks y colóquelos de manera uniforme en la hiperesfera. Conecte a los vecinos en el gráfico con algún patrón regular. Esta es una simplificación justa para el gráfico social, pero, gracias a Dios, no somos el Ministerio de Salud. Difundiremos la infección todos los días de dos maneras. En primer lugar, en cada paso, el patsak puede infectarse con cierta probabilidad de vecinos enfermos. En segundo lugar, con alguna otra probabilidad, puede infectarse a cada paso de un patsaka accidental que no forma parte de su entorno (el efecto del "transporte público"). Y finalmente, la enfermedad misma. Tomamos un período de transporte asintomático de 10 pasos de largo, después de lo cual el patsak muestra síntomas y ya no está involucrado en la propagación. Los siguientes 10 pasos, él está enfermo, teniendo en cada paso alguna posibilidad de acumularse. Después de eso, se recupera (si sobrevive,por supuesto) y adquiere inmunidad persistente. La siembra inicial tomará 100 patsaks.

En estas condiciones, obtenemos la siguiente imagen:



Violeta muestra el porcentaje de patsaks no infectados, amarillo - enfermo, verde - recuperado, negro - usted entiende.

Echemos un vistazo más de cerca a los pacientes:



aquí, en cada paso, el porcentaje de patsaks enfermos, pero aún asintomáticos, se muestra en rojo y en azul, mostrando síntomas.

Ahora volvamos al primer cronograma y eche un vistazo más de cerca a la fase inicial de la epidemia (la leyenda es la misma):



Sí Sí. Este es el expositor que los medios de comunicación ya han comido. Si está en los dedos, el origen de este mismo exponente es el siguiente: en condiciones en que el número de portadores es pequeño y la vida social proporciona al portador nuevos patsaks no infectados al azar, el número de nuevas infecciones es directamente proporcional al número de portadores. Matemáticamente, esto se escribe como una ecuación diferencial



cuya solución es, no lo creerás, un expositor. Tal cosa se encuentra en muchos lugares de la naturaleza, en particular, uno de los ejemplos más brillantes, en todos los sentidos, es una reacción en cadena incontrolada. Luego, con un aumento en el número de portadores, el hibriol para el agente infeccioso termina, pero en el marco de la pandemia actual, por ejemplo, esta fase aún no se ha superado. Si la ecuación anterior es ligeramente complicada y retorcida, para tener en cuenta la agotabilidad de los recursos para la reproducción, obtenemos la ecuación clásica de Verhulst (también conocida como ecuación logística):



La piedra angular de la dinámica de la población. Si alguna vez has oído hablar de las estrategias r y las estrategias K de reproducción, esto lleva el nombre de los coeficientes de la ecuación anterior. Las soluciones de la ecuación logística a simple vista son completamente indistinguibles de los gráficos de la primera figura (lo cual no es demasiado sorprendente), por lo que no las daré por separado. Desafortunadamente, la ecuación de Verhulst para nuestros problemas es una simplificación excesiva, por lo que le decimos adiós y seguimos adelante.

Tomemos medidas ahora, digamos, enviaremos patsaks durante el fin de semana y cerraremos el transporte público y los eventos hasta el final de la epidemia. En el marco del modelo, esto significará que la infección ahora se propaga solo a lo largo de los bordes del gráfico social, de pariente a pariente, de amigo a amigo. Bueno, sí, obviamente, Chatlane no se puso al día inmediatamente, así que tomaremos medidas cuando 1000 patsaks se enfermen.

En la misma escala de tiempo:



Y



note, en el último experimento, la epidemia logró salir sin "medidas restrictivas", y aquí incluso llega a su punto máximo.

Echemos un vistazo a toda la epidemia:



como puede ver, el tiempo de la epidemia se ha extendido muchas veces.

El cronograma paso a paso es especialmente importante: las



medidas tomadas son de un orden de magnitudreducido el número de enfermos al mismo tiempo. Por qué esto es importante se verá a continuación.

Quizás las gráficas no son tan notables, pero el efecto principal es que después de tomar medidas, el aumento exponencial en el número de casos cambia casi instantáneamente a una ley de poder. Aproximadamente en los dedos, esto se puede explicar de la siguiente manera: cada nuevo paciente se convierte en una fuente de infección y comienza a infectar a todos los que lo rodean (una especie de principio infeccioso de Huygens). Pero esta "vuelta" está limitada solo por unos pocos vecinos no infectados que, cuando se infectan, transmiten aún más la infección. Por lo tanto, alrededor del brote, se forma un "frente de onda", que se extiende a una velocidad constante en todas las direcciones (quien dijo que "eikonal" está bien hecho), y el número de personas infectadas es el volumen de "espacio" marcado por el frente de onda, que (geometría pura) proporcional a cierto grado de distancia recorrida por el frente.

Bueno, el último experimento de hoy. Seremos generosos con el sistema de salud, pero al mismo tiempo agregaremos realismo. Deje que el umbral de saturación sea el 10% de la población al mismo tiempo (obviamente, esto es mucho más frío que la realidad) y deje que la probabilidad de pegar aletas para un patsaka que no consiguió una cama aumente 10 veces. Finalmente, deje que Chatlan no se encargue de las vacaciones para los patsaks (no tiene sentido calcular tal escenario para las vacaciones, el Ministerio de Salud tendrá un triple margen de seguridad en el momento pico). Luego obtenemos:



El punto de saturación se alcanza en el paso 75, justo por encima de la letra i. Para que no piense repentinamente que "el Ministerio de Salud no es necesario", aquí hay algunos horarios más para el caso en que el medicamento no era suficiente para estar sobresaturado, pero no fue originalmente (bienvenido a la Edad Media):



Así que va. ¡No te enfermes!

Continuará.

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