🍏 ⛸️ 🍚 Ecuaciones diferenciales no lineales, discreción de espacio-tiempo y producto épsilon. 🤦🏼 👐🏽 🖲️

Todo el contenido de este artículo es una consecuencia de resolver el problema del primer año del curso de instituto en análisis matemático.

Aquí presentamos un nuevo producto para funciones reticulares (lo llamaremos multiplicación épsilon), que nos brinda la oportunidad de ver una conexión interesante entre las ecuaciones diferenciales integrales (incluidas las no lineales) y las relaciones de recurrencia. Esto le permite ver algunos métodos para resolverlos desde un ángulo inusual.

Pero, lo que me pareció particularmente interesante, es que el nuevo trabajo también nos permite "razonar" sobre cosas tan fundamentales como la continuidad del espacio-tiempo. Este razonamiento, por supuesto, debe considerarse, más bien, como un ejercicio intelectual.

Me pareció que este acertijo matemático o, si lo desea, un pequeño viaje matemático al nivel del conocimiento del primer o segundo año de una universidad técnica puede interesar a los lectores de Habr interesados en las matemáticas.

Comentario

no verá ningún enlace y, en general, todo esto es el resultado de los pensamientos de una sola persona
tal vez (e incluso lo más probable), todo esto no es nuevo, y tal vez algunos de los términos que utilizo no se corresponden con la tradición matemática, pero como no se trata de una publicación científica, no hay pretensión de novedad y todo esto es bastante simple, entonces esto la diferencia terminológica, en mi opinión, no es algo realmente importante

Resumen

En este artículo, hablaremos sobre dos tipos de funciones (definidas en el campo de los números reales): analítica y reticular.

1

, $F(x), G(x), ...$ , ( $N_0$ ), $f_n, g_n, ...$ . $A^\epsilon$ .

2

, . , . ( ),

Estableceremos una correspondencia uno a uno entre las funciones de estas dos clases. También presentaremos nuevas operaciones para funciones de red. Estas operaciones serán similares a las operaciones "normales" en las funciones "normales". Distinguiremos estas nuevas operaciones agregando el prefijo "epsilon". Por lo tanto, la derivada "ordinaria" corresponderá a la derivada de épsilon , el producto ordinario al producto de épsilon , la integración habitual a la integración de épsilon , etc. Además, si la operación permanece sin cambios (como en el caso de suma y resta), el nombre no cambiará.

Uno de los principales objetivos de la introducción de estas operaciones es simple: preservar las propiedades del producto derivado de las funciones:

$(F(x)G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$

Lo que en el caso de las funciones de red (

$\in A^\epsilon$ ) se verá así

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$

donde

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ - operador derivado épsilon izquierdo

$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ - epsilon-multiplication

Esto nos permitirá (por analogía, por ejemplo, con la transformada de Laplace) introducir una nueva transformación, que llamaremosepsilon-transform. Esto nos dará la oportunidad de transformar en el caso general ecuaciones diferenciales integrales no lineales en expresiones recurrentes y resolverlas (numérica o analíticamente), respectivamente, por métodos recurrentes.

Observación

: lo contrario también es cierto: tenemos la oportunidad de resolver las relaciones de recurrencia mediante los métodos de ecuaciones diferenciales integrales

Un hecho importante en este caso es que cuando el paso de la función reticular tiende a cero (

$\epsilon \to 0$ ), todas nuestras funciones épsilon, operaciones épsilon y ecuaciones de recurrencia tienden a funciones "ordinarias" (analíticas a la derecha de cero), operaciones ordinarias entre ellas y ecuaciones diferenciales integrales ordinarias.

Pero entonces, esto lleva a una pregunta fundamental: ¿no es la multiplicación épsilon la multiplicación "verdadera" en nuestro mundo físico (al menos donde están involucrados el espacio y el tiempo)?

Entonces, por ejemplo, hablando del tiempo, con un paso suficientemente pequeño (por ejemplo, del orden del tiempo de Planck)

$t_p \sim 10^{-43}$ seg) epsilon-Schrödinger ecuación c

$\epsilon\sim t_p$ para procesos de tiempo con tiempo característico

$t \gg t_p$ (o en el dominio de frecuencia con frecuencias

$\omega \ll 1/\epsilon$ ) dará el mismo resultado que la ecuación de Schrödinger habitual, pero al mismo tiempo, la cuantificación del tiempo se introduce naturalmente.

En principio, un argumento similar es posible para el espacio.

Designaciones utilizadas en el artículo.

$f_n, g_n, p_n ...$ — ,

$\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ ,

$\epsilon \in R$ ,

$\epsilon>0$ .

$f_n$ ( , ,

$g_n,p_n$ )

$n\epsilon$

$A^\epsilon$ —

$f_n$

$f$ — ,

$f_n$

$f$

$F(x), G(x), ..$ — «» . ( )

$\epsilon$ — :

$f_k = f(k\epsilon)$ .

$f_n$

$n\epsilon$

$\nabla$ — , :

$\nabla F(x) = F ^{'}(x)$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ — , - :

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = f_n^\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\nabla_F$ — , , ,

$F(x)$ (

$F(x)$ ) , ,

$\nabla_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla F(x) = G(x) F^{'}(x)$

$\nabla^2_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla^2 F(x) = G(x) F^{''}(x)$

$\overset{\wedge}{I}$ — :

$\overset{\wedge}{I} f_n = f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ — - :

$f_k^\overset{\displaystyle\epsilon}{'} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f$ — , , - ,

$f$ ( -

$f$ ) () , ,

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ —

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle i}}$ —

$i$ - -

$f$ . , ,

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ 2}} = f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{f}$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle (i)}}$ —

$i$ - -

$f$ . , ,

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ (2)}} = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'})\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\overset{\epsilon}{\rightarrow}$ — - ()

$F(x) \overset{\epsilon}{\rightarrow} f_n$ ,

$F(x)$

$f_n$ -,

$f_n$ -

$F(x)$

$F(x)$ — -

$f_n$

$\overset{\epsilon}{\leftarrow}$ — -

Breve lógica del artículo.

. - .

$f_n, g_n,p_n$ ,…, $\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ , $\epsilon \in R$ , $\epsilon>0$ .

$\epsilon$ . , , $\epsilon \to 0$ , $\epsilon = 1$
:
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = (f_{n+1} - f_n)/\epsilon$ , $\epsilon$ —
, - fnϵ∗gn.

-:
pk=(fϵ∗g)k=(ϵ(ϵ∇f+ϵ∇g)+∧I)k(fg)|0

pk=(fϵ∗g)k=k∑j=0Cjkj∑i=0Cijfϵ(i)|0gϵ(j−i)|0

pk=(fϵ∗g)k=∑j+i+l=kCj,ikfigj(−1)l

Cj,ik — : Cj,ik=k!j!i!l!, (l+j+i=k)
:
- , , , , () ()
- - , () :
  
  $\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$
- $\epsilon \rightarrow 0$ ( ) - $F(x)G(x)$ , $F(x)$ $G(x)$ , $f_n$ $g_n$ $\epsilon \rightarrow 0$ , :
  
  $F(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} f_k$
  $G(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} g_k$
  
  $F(x)$ $f_n$ , $G(x)$ $g_n$ -
- . , , -, - -:

$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$
- -, (, - ). , - ( ) - () . - $\epsilon$ . , , - :

$\epsilon exp(k\epsilon)=1+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!} +\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}$
. (, , ) - -. . , , - . ,

$\epsilon cos^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ , ,

$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ $\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ $\epsilon cos^{\overset{\displaystyle \epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$

- -. - - . - -. (, - ) -.
, - — () -. , $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ .
, - () ( ) ().

:

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ $\rightarrow$ $f_n$ ( ) $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ $F(x)$ ( )

, - , C, -, . , , , . , , , .
, . :

C $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ $\rightarrow$ $F(x)$ ( ) $\overset{\displaystyle\epsilon}{ \rightarrow}$ $f_n$ ( C)
, , , - -
- ()
- ( )
$\epsilon \rightarrow 0$ ( ) - - . , , $\epsilon \rightarrow 0$ , - — ,… - — , - … , - $\epsilon \rightarrow 0$ . - ( ) , $\epsilon \rightarrow 0$ .
, - «» ( ) ? , , :

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x,t )\Psi(x,t)$

$\Delta x$ $\Delta t$ ( , ), , .

- ( -, -, — -, ...). $\epsilon$ , . -, .
, , «» , -? ?

Funciones de celosía y derivada de épsilon

Función de celosía y conjunto

$A^\epsilon$

Las funciones de celosía son funciones definidas en un conjunto discreto de números reales con un paso constante. Solo consideraremos las funciones definidas en el conjunto

$\{0,\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,\ldots\}$ dónde

$\epsilon \in R$ ,

$\epsilon>0$ . Entonces, por ejemplo, tal función sería

$cos(0.1k\pi)$ dónde

$k$ Es un entero no negativo. Donde

$\epsilon = 0.1\pi$ . Denotamos el conjunto de tales funciones por

$A^\epsilon$ . Todas las funciones de red que consideraremos a continuación pertenecerán a este conjunto

$A^\epsilon$ .

Ejemplo de función de celosía $\in A^\epsilon$

Función

$cos(0.1k\pi)$ dónde

$k \in N_0$ :

Derivada de Epsilon

Llamaremos a la función derivada de Epsilon

$f \in A^\epsilon$ a

$k$ siguiente valor:

$f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}_k = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_k} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

En consecuencia, una función cuyo valor en

$k$ para cualquiera

$k$ es igual a la función derivada épsilon

$f_n$ a

$k$ llamaremos a la función derivada épsilon

$f_n$ y denotar como

$f_n\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ (o simplemente

$f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ )

Obviamente, la función

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\in$

$A^\epsilon$ y por lo tanto, la diferenciación de épsilon puede aplicarse nuevamente, etc. Denotaremos por

$^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}$

$n$ -Yu

$\epsilon$ -función derivativa. Se demuestra fácilmente por inducción que

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}_k=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^n}\sum\limits_{j=0}^{n}C_{n}^{j}f_{k+j}(-1)^{n-j}$

Integración con Epsilon

El procedimiento opuesto a la diferenciación con Epsilon se llama integración con Epsilon, respectivamente. Función

$g_n\in A^\epsilon$ cuyo valor en

$k$ para cualquiera

$k$

$g_k=\epsilon\sum\limits^{k-1}_{i=0}f_i+C$

llamará a funciones primitivas epsilon

$f$ .

Derivado de épsilon de un producto

Desafortunadamente, un derivado de épsilon no tiene las propiedades de un derivado regular. Entonces, por ejemplo, es obvio que en el caso general

$(f_n g_n)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} = f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n +\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\neq f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n$

Parte

$\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}$ distingue esta "derivada" de la derivada ordinaria del producto de funciones diferenciables. En el caso de resolver ecuaciones diferenciales no lineales por métodos numéricos, esto da un error adicional en los cálculos.

Observación:

Este término adicional también conduce, en particular, al hecho de que no podemos aplicar la fórmula habitual de Taylor para expandir la función reticular en una serie

Ahora imaginemos que no tendríamos este miembro adicional. ¿Para que esto nos pueda dar?

Al menos, podríamos aplicar algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales para resolver ecuaciones recurrentes (ecuaciones con funciones del conjunto

$A^\epsilon$ ) Por ejemplo, nos habríamos expandido a una serie de Taylor, podríamos usar la integración (integración épsilon) en partes, aplicar transformaciones (transformación épsilon) de Laplace. Pero en realidad, todo es aún más interesante, y este artículo está dedicado a esto.

Pero, ¿cómo deshacerse de este elemento adicional? Podemos crear, por ejemplo, otra multiplicación (epsilon-multiplication).

El problema básico

Este es precisamente el problema, cuya solución es el artículo completo.

Queremos encontrar una fórmula para el producto epsilon

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k$ para satisfacer los siguientes requisitos:

se cumplirían las propiedades de la multiplicación ordinaria, como la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad, la existencia de una unidad (simple) y un elemento cero (único)
para la derivada épsilon del producto épsilon de funciones reticulares, debemos tener la misma fórmula que para la derivada del producto de funciones diferenciables (ordinarias), es decir

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$
mientras se esfuerza $\epsilon \rightarrow 0$ (paso de la función de red) el producto epsilon debe tender al producto habitual $F(x)G(x)$ dónde $F(x)$ y $G(x)$ respectivamente funciones a las que tienden las funciones de red $f_n$ y $g_n$ a $\epsilon \rightarrow 0$ es decir:

$F(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} f_k$
$G(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} g_k$

Multiplicación de épsilon

La función satisface todas estas propiedades.

$p_k$ definido como (las tres fórmulas son equivalentes):

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=(\epsilon({{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{f}}+{{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{g}})+{\overset{\wedge}{I}})^k (f g)|_0$

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$ ,
donde

$C_{k}^{j,i}$ - coeficiente binomial de Newton:

$C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , (

$l+j+i=k$ )

Nota

Para no sobrecargar el artículo, no daremos pruebas, pero las dos primeras propiedades se prueban fácilmente, la última no es tan obvia

Para sentirse un poco cómodo con el nuevo trabajo, considere algunos ejemplos.

Ejemplo 1. (multiplicación por un número)

$f_n\in A^{\epsilon}$

$f_k = \lambda$ ,

$\lambda$ — ,

$g_k \in A^{\epsilon}$ -

$p =f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}g$

$p_k = \lambda g_k$ .

-.

, -

$f_n \in A^\epsilon$ 1, — 0.

Ejemplo 2. (grado épsilon)

- -

$f_k = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$ , - ( -)

$F(x) = x^i$ :

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}=i!C_k^i\epsilon^i$

, - ( -)

$x^i=(k\epsilon)^i$

$i!C_k^i\epsilon^i$

, ,

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}=k(k-1)\epsilon^2$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}=k(k-1)(k-2)\epsilon^3$

,

$(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$

$i>k$

- - , ,

$(k^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}})^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}=ik^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i-1}}$

$\epsilon$ , , .. $\epsilon$ ( $\epsilon >0$ , $\epsilon \in R$ ), 1. , $\epsilon$ , , , $\epsilon \to 0$

Epsilon Taylor Series

Ahora tenemos un análogo completo de la expansión Taylor:

$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$

Llamaremos a esta serie la serie epsilon de Taylor, y la propia descomposición se llamará la serie epsilon en la serie de Taylor.

Conversión Epsilon

Definición (Transformación de Epsilon)

Let

$\exists x_0 >0$ tal que en el set

$[0,x_0)$ Serie de funciones de Taylor

$F(x)$ en la vecindad derecha de cero converge a la función misma. Entonces la función

$F(x)$ llamaremos a la función analítica a cero a la derecha. Entonces las funciones

$F$ y

$f\in A^\epsilon$ se llamará épsilon-conjugado si para cualquier número entero o cero

$i$

$i$ derivada correcta

$F$ a cero es igual

$i$ función derivada épsilon

$f$ a cero

$F^{(i)}|_{+0}=f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}_0, \forall i \in N_0$

Función

$f$ entonces llamaremos a la imagen epsilon

$F$ o en caso de que esta función tenga un nombre (por ejemplo, cos), simplemente llamamos a epsilon "el nombre de la función" (por ejemplo, epsilon-coseno) y lo denotamos como

$\epsilon$ `` designación de función '' (

$\epsilon$ cos). Función

$F$ llamamos a la imagen inversa épsilon de la función

$f$ .

Ejemplo 1. (expositor de Epsilon)

$\epsilon{\exp}$ .

$\sigma$ . -

$\exp(\sigma x)$

$\epsilon exp(\sigma x)_k=1+C_k^1\sigma \epsilon+C_k^2(\sigma \epsilon)^2+\ldots+C_k^k(\sigma\epsilon)^k=(1+\sigma \epsilon)^k$

,

$(1+ \sigma x/k)^k\overset{k\to\infty}{\to}\exp(\sigma x)$

,

$\epsilon = x/k \to 0$ , ( ):

$\epsilon exp(\sigma x) \overset{\epsilon\to\ 0}{\to} \exp(\sigma x)$

-.

Ejemplo 2. (Epsilon-coseno, Epsilon-seno)

- -.

$\lambda$ — . T

$\epsilon{\cos(\lambda x)}_k=\frac{1}{2}((1+i\lambda\epsilon)^k+(1-i\lambda\epsilon)^k)$

$\epsilon{\cos(\lambda x)}\overset{\epsilon\to0}{\to}\cos{(\lambda x)}$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}_k=\frac{1}{2i}((1+i\lambda \epsilon)^k-(1-i\lambda \epsilon)^k)$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}\overset{\epsilon\to0}{\to}\sin{(\lambda x)}$

Ejemplo 3. (Multiplicación de Epsilon por X en el grado épsilon)

$f_n \overset{\displaystyle \epsilon}{*} x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}}$

$\lambda$ —

$x^\lambda F(x)$

$(x^\lambda F(x))^{(n)}|_{x = 0} = \sum\limits_{j=0}^{\infty}C^j_n (x^\lambda)^{(j)}F^{(n-j)}(x) |_{x = 0} = C_n^\lambda \lambda! F^{(n-\lambda)}(x) |_{x = 0}$

- -

$f_n \overset{\displaystyle \epsilon}{*} x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} = f_{n - \lambda } x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}}$

,

$\lambda$ , ,

$\lambda$

Operaciones de transformación de Epsilon

En esta tabla y en la siguiente función

$F(x)$ y

$f_n$ y

$G(x)$ y

$g_n$ - conjugado épsilon emparejado, es decir

$F(x) \overset{\epsilon}\to f_n$

$G(x) \overset{\epsilon}\to g_n$

Luego, las operaciones se convierten (como resultado de la conversión de epsilon) de la siguiente manera:

$F(x) \equiv G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \equiv g_n$

$F(x) + G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n + g_n$

$F(x) G(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \displaystyle\overset\epsilon{*} g_n$

$F'(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f \displaystyle\overset\epsilon{'}_n$

$\int F(x)dx$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon\sum\limits^{k-1}_{i=0}f_i$ (epsilon primitivo)

transformación épsilon de algunas funciones analíticas

$F(x) \equiv \lambda$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$f_n \equiv \lambda$

$\lambda F(x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\lambda f_n$

$x^i$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}=i!C_k^i\epsilon^i$

$\exp(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon exp(\lambda x)_k=(1+\lambda \epsilon)^k$

$\cos(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon{\cos(\lambda x)}_k=\frac{1}{2}((1+i\lambda\epsilon)^k+(1-i\lambda\epsilon)^k)$

$\sin(\lambda x)$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$\epsilon{\sin(\lambda x)}_k=\frac{1}{2i}((1+i\lambda \epsilon)^k-(1-i\lambda \epsilon)^k)$

$(1 + \lambda x)^{-1}$

$\overset{\epsilon} {\to}$

$(1+\lambda x)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{-1}}=1-\lambda x +\lambda^2 x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}-\lambda^3x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}+...$ (para

$|\lambda x| < 1$ A)

expansión de Taylor épsilon

$f_k = (1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^k f|_{k=0}=f_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(\epsilon k)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$

Esta fórmula se vuelve obvia si notamos que el operador

$(1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^i$ es un operador de desplazamiento en

$i$ pasos:

$(1 + \epsilon \overset{\epsilon}{\nabla})^i f_k = f_{k+i}$

Transformada de Epsilon Laplace

También podemos introducir la transformación de Epsilon Laplace y usarla, así como la transformación de Laplace habitual con respecto a las funciones de red

$\in A^\epsilon$ pero esto está más allá del alcance de este artículo.

Transformaciones de Epsilon para fórmulas trigonométricas

En vista de lo anterior, podemos escribir, por ejemplo, análogos de fórmulas trigonométricas

${\epsilon{\cos(x)}}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}+{\displaystyle\epsilon{\sin(x)}}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}\equiv 1$

${\epsilon{\cos(x)}}{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\equiv-\epsilon{\sin(x)}$

${\epsilon{\sin(x)}}{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\equiv\epsilon{\cos(x)}$

${\epsilon{\cos(\alpha+\beta)}}\equiv{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}-{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\cos(\alpha-\beta)}}\equiv{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}+{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\sin(\alpha+\beta)}}\equiv{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}+{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

${\epsilon{\sin(\alpha-\beta)}}\equiv{\epsilon{\sin(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\cos(\beta)}}-{\epsilon{\cos(\alpha)}}\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{\epsilon{\sin(\beta)}}$

Pero, sin embargo, el épsilon-coseno y el épsilon-seno no tienen, a diferencia del coseno y el seno habituales, una característica importante: no son periódicos. De Verdad,

$\epsilon{\cos(\omega t)}_k=\frac{1}{2}((1+i\omega \epsilon)^k+(1-i\omega \epsilon)^k)=\left({\sqrt{1+(\omega \epsilon)^2}}\right)^k \cos{(k(arctg(\omega \epsilon)))}$

$\epsilon{\cos(\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\cos{(t \displaystyle \frac{arct(\omega \epsilon)}{ \epsilon})}$

también

$\epsilon{sin(\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\sin{(t \displaystyle \frac{arctg(\omega \epsilon)}{ \epsilon})}$

al mismo tiempo funciona

$sin( t(arctg(\omega \epsilon)/\epsilon))$ y

$\cos(t(arctg(\omega\epsilon/)\epsilon))$ - funciones periódicas con un punto

$2\pi\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ . Por lo tanto, funciones

$\epsilon{\cos(x)}$ y

$\epsilon{\sin(x)}$ - funciones no periódicas, con ceros en los puntos

$(\pi/2+\pi n)\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ y

$\pi n\epsilon/arctg(\omega \epsilon)$ en consecuencia, en este caso, el `` rango '' entre los mínimos y máximos cuando se llevan

$t$ aumenta a medida que

$({1+\omega^2\epsilon^2})^{\frac{t}{2\epsilon}}$ .

Observación En

consecuencia, para el exponente épsilon tenemos

$\epsilon{exp(i\omega t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\exp{(i \displaystyle \frac{arctg(\omega \epsilon)}{ \epsilon}t)}$

Ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales por el método de mapeo épsilon

Ejemplo 1. Oscilaciones armónicas

$F^{''}(t) + \omega^2 F(t) = 0$

.

1. ( )

$\epsilon^2 f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)} + \epsilon^2\omega^2 f = f_{k+2} - 2f_{k+1} + (1+ \epsilon^2\omega^2)f_{k} = f_{k+2} - 2f_{k+1} + \lambda f_{k}\equiv 0$

$\lambda = 1+\epsilon^2 \omega^2$ .

.

, , , .

, , .

2. . (- )

$n$ - - - .

$(f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+ \omega^2 f)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} = f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n+2)}} + \omega^2 f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} \equiv 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n+2)}}|_0 + \omega^2 f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}|_0 = 0$

3. . ( )

,

$f_0 = F(0)$ ,

$(f_1 - f_0)/\epsilon = F'(t)|_{t=0}$ .

,

$F(0) = 0$ ,

$F'(0) = 1$ . :

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2k)}}|_0 = 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2k+1)}}|_0 = (-1)^k\omega^{2k}$

4. . ( )

$F(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k\displaystyle{\frac{\omega^{2k}t^{2k+1}}{(2k+1)!}} = \displaystyle\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)$

( ),

2. . ( $f_k$ )

$\epsilon$ $\lambda$ , $\lambda$ , $\epsilon$ $\in R$ , , $\epsilon = 1$

$k$ , 0. , , , , .

, , ,

$F(0) = 0$ , 1. :

$f_0 = 0$

$f_1 = \epsilon$

$f_2 = 2f_1 - \lambda f_0 = 2\epsilon$

$f_3 = 2f_2 - \lambda f_1 = \epsilon(4 -\lambda)$

$f_4 = 2f_3 - \lambda f_2 = 2\epsilon(4 -\lambda) -2 \epsilon\lambda = \epsilon(8 - 4\lambda)$

$f_5 = 2f_4 - \lambda f_3 = \epsilon(2(8 -4\lambda) -\lambda (4- \lambda)) = \epsilon(\lambda^2 - 12\lambda +16)$

…

3. . (- )

$f_0 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{'}|_0 = (f_1 -f_0)/\epsilon = 1$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}|_0 = f_2 - 2f_1 +f_0 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}|_0 =\epsilon(f_3 -3f_2 + 3f_1 - f_0)/\epsilon^3 = (4 - \lambda - 6 + 3 - 0)/\epsilon^2 = (1 - \lambda)/\epsilon^2 = - \omega^2$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(4)}|_0 =(f_4 - 4f_3 +6f_2 - 4f_1 + f_0)/\epsilon^4 = (8 - 4\lambda - 4(4-\lambda) + 12 - 4)/\epsilon^3 = 0$

$f^\overset{\displaystyle\epsilon}{(5)}|_0 = ... = \omega^4$

…

4. . ( )

( , ) , - , :

$F(x) = f_0 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}|_0}{1!}x + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}|_0}{2!}x^2 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}|_0}{3!}x^3 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(4)}}|_0}{4!}x^4 + \displaystyle\frac{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(5)}}|_0}{5!}x^5 + ...$

$F(x) = t - \displaystyle\frac{\omega^2}{3!}t^3 + \displaystyle\frac{\omega^4}{5!}t^5 + ...$

.

, , -, , ,

Ejemplo 2. La ecuación de Bessel

- . , , .

$x^2F''+xF'+(x^2-\mu^2)F\equiv 0$

1. ( )

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+x\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}+(x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}-\mu^2)\overset{\displaystyle\epsilon}{*}f\equiv0$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}f_{n-2}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}+xf_{n-1}^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}+x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}f_{n-2}- \mu^2 f\equiv0$

2. . (- )

$\epsilon =1$

$n$ - - .

$2\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}+nf_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}+2\frac{n(n-1)}{2!}f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}-\mu^2f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}} =0$

$(n^2-\mu^2)f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}=-n(n-1)f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}$

3. . ( )

-

$f$ :

$\mu^2f_0 = 0$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(1)}}= f_0\displaystyle\frac{\mu^2}{1 - \mu^2}$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}= - f_0\displaystyle\frac{2}{(4-\mu^2)}$

…

$f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}=- f_0^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n-2)}}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n^2-\mu^2}$

$b_n$ —

$n$ - - .

$b_n =- \displaystyle\frac{b_{n-2}}{n^2-\mu^2}$

,

$\mu$ 0, T 0.

$\mu$ , ,

$\mu$ - - T .

$n = 2k+\mu$ - 0,

$n = 2k -1 +\mu$ (

$k$ — ) — 0.

$2k+\mu$ — - .

$2k + \mu$

$n$

$b_{2k+\mu} =- \displaystyle\frac{b_{2(k-1) +\mu}}{4k(k+\mu)}$

,

$2k+\mu$ - - T

$b_{2k+\mu}=C\displaystyle{\frac{(-1)^k}{k!(k+\mu)!2^{2k+\mu}}}$

$\mu$ - , C- ,

4. . ( )

$\mu$ ,

$C = 1$

$F(x)=\sum_\limits{k=0}^{\infty}{\displaystyle{\frac{(-1)^k}{k!(k+\mu)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\mu}}}$

,

$\mu$ .

— T .

Ejemplo 3. Números de Fibonacci

, -.

, :

$f_{k+2}=f_k+f_{k+1}$ ,
,

$f_0=0$ ,

$f_1=1$ , ,

$f_0\overset{\displaystyle\epsilon}{'}=1/\epsilon$

$f_k+2\epsilon f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}+\epsilon^2f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=f_k+f_k+\epsilon f_k^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}$

$f-\epsilon f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}-\epsilon^2f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=0$

,

$\epsilon=1$ . T

$f-f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(1)}}-f^{\overset{\displaystyle{\epsilon}}{(2)}}=0$ ,

$f_0=0$

$f_0\overset{\displaystyle\epsilon}{'}=1$

1. ( -)

-

$F-F'-F''=0$

$F(+0)=0$ ,

$F'(+0)=1$

2. ( )

. .

$p^2L(p)-0-1+p L(p)+0-L(p)=0$

$L(p)=\displaystyle{\frac{1}{(p^2+p-1)}}=\displaystyle{\frac{1}{(p_1-p_2)} \left[\frac{1}{p-p_1}-\frac{1}{p-p_2}\right]}$ ,

$p_1$ ,

$p_2$ —

$p^2+p-1=0$ :

$p_1=(-1+\sqrt{5})/2$

$p_2=(-1-\sqrt{5})/2$ .

$F(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}}(\exp{(p_1x)}-\exp{(p_2x)})$ .

3. ( -)

, -

$F$ .

$f_k=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}}(\epsilon{\exp{(p_1x)}}-\epsilon{\exp{(p_2x)}})=\displaystyle{{\frac{\left((1+\epsilon\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^k-\left(-1+\epsilon\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right)}{\sqrt{5}}}}$

,

$\epsilon=1$

$f_k=\displaystyle{{\frac{\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right)}{\sqrt{5}}}}$

Propiedades de mapeo de Epsilon como ε → 0

La conversión inversa de épsilon se puede hacer simplemente dirigiendo

$\epsilon \to 0$

Esto se puede formular más estrictamente en forma de un teorema, que daré sin prueba.

Teorema

Dejar funciones

$F$ y

$f$ - épsilon-conjugado para cualquier

$\epsilon$ . Entonces, mientras se esfuerza

$\epsilon \to 0$ , siempre que

$k\epsilon=const=a\in(0,x_0)$ (Dónde

$x_0$ tiene el mismo significado que en la definición de mapeo epsilon), el valor

$f_k$ En el set

$(0,x_0)$ comprometido con

$F(a)$ es decir

$\lim\limits_{\epsilon \to0, k\epsilon=a}f(k\epsilon)=F(a)$

Funciones no analíticas.

división por x en grado épsilon

( ) .

«» ?

, -

$\displaystyle\frac{1}{x^\lambda}$ ,

$\lambda$ — . 0. -

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda}$ .

$g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} f_n$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} g_n = f_n$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda}g_{n-\lambda}$

$g_{n-\lambda} = f_n/x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda} =\displaystyle\frac {f_n}{n(n-1)..(n-\lambda + 1)}$

$g_n = x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} \overset{\displaystyle\epsilon}{*} f_n =\displaystyle\frac {n!f_{n + \lambda}}{(n+\lambda)!}$

$f_n = \overset{\wedge}{I}$ , ,

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{-\lambda} = \displaystyle\frac {n!}{(n+\lambda)!}$ , ,

$x^\overset{\displaystyle\epsilon}{\lambda} = \displaystyle\frac {n!}{(n-\lambda)!}$

$\lambda$ (

$\lambda \in N_0$ )

Epsilon-producto y discreción del espacio-tiempo

Todo lo anterior lleva a una pregunta fundamental: ¿no es la multiplicación "verdadera" de la multiplicación épsilon en nuestro mundo físico (al menos en lo que se refiere al espacio o al tiempo)?

Considere, por ejemplo, la ecuación unidimensional de Schrödinger:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x,t)\Psi(x,t)$

Esta ecuación supone la continuidad del espacio-tiempo y la posibilidad de un valor infinitesimal.

$\Delta x$ y

$\Delta t$ (esto se acepta implícitamente si usamos la diferenciación). Si hablamos de tiempo, esto implica energía infinita, lo que contradice las ideas modernas sobre el universo.

Para no complicar el argumento, consideremos el caso cuando

$U$ independiente de

$t$ . En este caso

$\Psi(x,t)$ Se puede escribir como:

$\Psi(x,t) = \psi(x)\exp(-iEt/\hbar)$

Pero

$\exp(-iEt/\hbar)$ Es una función analítica, por lo que podemos aplicar nuestro enfoque, es decir, podemos hacer la transformación épsilon (en relación con el tiempo) de nuestra ecuación de Schrödinger original y obtenemos

$i\hbar\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) + U(x)\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t)$

$\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) = \psi(x)\epsilon exp(-iEt/\hbar)$

Donde

$\overset{\displaystyle\epsilon}\Psi(x,t) \overset{\epsilon \to 0}{\to}\Psi(x,t)$

Es decir, con un paso de tiempo muy pequeño (tiempo cuántico)

$\epsilon$ que no es esencial para nuestros cálculos, no veremos la diferencia entre la solución de la ecuación de Schrödinger (ordinaria) y la solución de la ecuación de épsilon-Schrödinger.

Pero esto significa que realmente no podemos decir qué trabajo es "verdadero" ("usado" por naturaleza): nuestro producto ordinario o épsilon (con una cuantización de tiempo bastante pequeña).

Además, en el caso del producto épsilon (y, en consecuencia, la ecuación de épsilon de Schrödinger y su solución de onda épsilon), tenemos una obvia cuantificación del tiempo positivo que se vuelve natural y no encontramos el requisito de energía infinita. De hecho, tenemos la misma ecuación con las mismas soluciones, pero al mismo tiempo eliminamos naturalmente la necesidad de asumir la continuidad del tiempo.

- , , , , . , . , , $\Delta x \ll \delta_x$ / $\Delta t \ll \delta_t$ . , , . « » , $\Delta x \gg \delta_x$ / $\Delta t \gg \delta_t$ . , . -, , $\epsilon$ — $\Delta x$ / $\Delta t$ cuando todavía tiene sentido hablar sobre el tiempo y / o el espacio (en términos generales, este es el tamaño promedio del "punto").

¿Como revisar?

Entonces, si el tiempo es discreto con un "paso"

$\epsilon$ , y la multiplicación "verdadera" es la multiplicación épsilon con un paso de discreción temporal, entonces, ¿cómo se puede manifestar esto? ¿Es posible establecer un pensamiento o un experimento real y comprender qué trabajo es "verdadero" y qué paso (cuántico) se utiliza?

Se pueden dar algunas estimaciones para comprender cuánto cambiarían nuestras ideas sobre el mundo si "verdadero" fuera exactamente "multiplicación épsilon" (y no una multiplicación ordinaria).

Recordar que

$\epsilon{exp(i\omega_0 t)}_{\frac{t}{\epsilon}}=\left({{1+\omega_0^2 \epsilon^2}}\right)^{\frac{t}{2\epsilon}}\exp{(i \displaystyle \frac{arctg(\omega_0 \epsilon)}{ \epsilon}t)}$

Entonces para

$\omega_0\epsilon \ll 1$ tenemos:

la frecuencia será diferente de la frecuencia de la onda sinusoidal $\omega_0$ y será igual

$\omega = \displaystyle \frac{arctg(\omega_0 \epsilon)}{ \epsilon} \approx \omega_0(1 - \displaystyle\frac{\omega_0^2\epsilon^2}{3})$
la amplitud aumentará a medida que

$(1+(\omega_0\epsilon)^2))^{\frac{t}{2\epsilon}} \approx 1 + \displaystyle\frac{t\omega^2_0\epsilon}{2}$

Vamos a evaluar aproximadamente si podemos notar esta diferencia?

Ejemplo 1. Cambios durante la vida del universo

Suponga que nuestra discreción temporal es comparable al tiempo de Planck:

$t_p \approx 10^{−43 }$ segundo

Vida del universo:

$t_{u} \approx 10^{17}$ segundo

Encuentra para qué frecuencias

$\omega_0$ Durante la vida del universo, la amplitud de las oscilaciones podría cambiar, por ejemplo, en un 0,5%.

$t_u t_p\omega^2_0 = 10^{-2}$

$\omega_0 = \displaystyle\frac{10^{-1}}{\sqrt{t_ut_p}} = 10^{-1}10^{13} = 10^{12}$ rad / s

Esto significa que para frecuencias del orden de 1 THz (o para partículas con energía

$10^6$ eV) durante la vida útil del universo, la amplitud (función de onda) cambiaría en aproximadamente un uno por ciento (orden). Es decir, está claro que al menos en la vida ordinaria no podemos verlo en absoluto.

Ejemplo 2. Cambios por segundo

Vamos a estimar cuántas veces cambia la amplitud de la función de onda de una partícula de ultra alta energía.

$10^{18}$ eV en un segundo.

$10^{18}$ ev corresponde en orden

$10^{24}$ Hz

$(1+(\omega_0 t_p)^2))^{\frac{1}{2t_p}} \approx 10^{48}10^{-43} = 10 ^5$

Es decir, en un segundo la amplitud de la función de onda de dicha partícula aumentará en 100 mil veces (orden).

Se ve sustancial. ¿Pero cómo detectarlo? El hecho es que el significado físico no tiene la función de onda en sí, sino

$\Psi\Psi^*$ , y en el caso de epsilon-image será

$\overset{\epsilon}\Psi \displaystyle\overset{\displaystyle \epsilon}{*}\overset{\epsilon}\Psi$ . Pero

$\epsilon exp(-iEt/\hbar) \overset{\displaystyle\epsilon}{*} \epsilon exp(iEt/\hbar) = 1$

Esto sugiere que solo una cantidad que tenga un significado físico no cambiará, y este enfoque no nos permitirá responder a la pregunta planteada.

Respuestas a preguntas de comentarios

¿Cómo se obtuvo el producto épsilon?

( 0).
:

$f(x)g(x) = exp(\nabla_f + \nabla_g) f(x)g(x)|_{x=0}$

$exp(\nabla_f + \nabla_g)$ —

$1 + (\nabla_f + \nabla_g) + (\nabla_f + \nabla_g)^2/2! + (\nabla_f + \nabla_g)^3/3! + ...$

,

$exp(ax) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0,k\epsilon = x}(1+a\epsilon)^k$

-,

$exp (ax)$

$(1+a\epsilon)^k$ ( , -) ,

$f(x), g(x)$ (

$A^ \epsilon$ )

$f_n, g_n$ .

, , :

$\overset{\wedge}{I}$ — :

$\overset{\wedge}{I} f_n = f_n$

,

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=f_0g_0+C_k^1\epsilon({f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0g_0+{g\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0f_0)+C_k^2\epsilon^2({f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}|_0g_0+2{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0{g\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}|_0+{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}|_0f_0)+\ldots$

:

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\epsilon^j\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$

:

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$

$C_{k}^{j,i}$ — :

$C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , (

$l+j+i=k$ )

Ecuaciones diferenciales no lineales, discreción de espacio-tiempo y producto épsilon.

Resumen

Funciones de celosía y derivada de épsilon

Multiplicación de épsilon

Conversión Epsilon

Transformaciones de Epsilon para fórmulas trigonométricas

Ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales por el método de mapeo épsilon

Propiedades de mapeo de Epsilon como ε → 0

Funciones no analíticas.

Epsilon-producto y discreción del espacio-tiempo

¿Como revisar?

Respuestas a preguntas de comentarios

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