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Matemáticas en astronáutica: motor de detonación rotacional



Enviar a alguien o algo más allá de nuestro planeta hasta el día de hoy es un placer extremadamente difícil y costoso. Mientras que los viajeros espaciales de varias obras de ciencia ficción de cultura de masas usan repetidores ("Mass Effect"), motores de urdimbre ("Star Trek") o incluso Stargate ("Stargate"), en realidad todo es mucho más prosaico. Por el momento, no tenemos conocimiento de tecnologías tan poco realistas porque usamos combustible para cohetes. Naturalmente, para lanzar una lanzadera o un cohete de refuerzo, se necesita mucho. Un nuevo tipo de motor, la detonación rotacional, puede resolver este problema. Si bien el proceso de su desarrollo está lejos de ser completo, los científicos de la Universidad de Washington decidieron crear un modelo matemático de este dispositivo para comprender mejor el principio de su funcionamiento.Esto permitirá a los ingenieros realizar pruebas de prototipo precisas y comprender mejor qué mejoras deben implementarse. Entonces, ¿cómo se ve el motor de cohete a través de los ojos de un matemático, y qué aprendiste a través del modelado? Las respuestas a estas preguntas nos esperan en el informe del grupo de investigación. Vamos.


Es obvio que se requiere una gran cantidad de energía para sacar la nave espacial de la atmósfera de la Tierra. La cantidad de esta energía depende del combustible utilizado y del motor del aparato. Hay muchas opciones para el primero, pero están lejos de ser equivalentes de ciencia ficción en su efectividad. Porque se presta mucha atención al desarrollo de un nuevo tipo de motor.

Un motor de cohete clásico funciona a través de una reacción química exotérmica de combustible y oxidante. Cuando estos dos componentes del combustible reaccionan, se genera una gran cantidad de energía térmica y un fluido de trabajo gaseoso, que se expande. Esto lleva al hecho de que su energía interna se convierte en energía cinética de la corriente en chorro. En esencia, este proceso químico es la deflagración, es decir proceso de combustión subsónica.

La deflagración puede ser reemplazada por la detonación cuando una onda de choque se propaga a través de una sustancia, iniciando reacciones de combustión química. El tipo de motor que implementa dicho modelo se llama motor de detonación pulsada, pero todavía está en desarrollo.

En este estudio, estamos hablando de un motor de detonación rotacional (RDE, es decir, un motor de detonación giratoria ), un dispositivo que crea empuje en el que las ondas de choque autosostenibles causadas por la combustión (detonación) se propagan azimutalmente en una cámara de combustión anular.

El combustible y el agente oxidante se inyectan en el canal, generalmente a través de pequeñas aberturas o ranuras (espacios anulares). Debido al estrecho espacio anular, la densidad y los gradientes de presión causados ​​por la liberación de calor se auto amplifican, formando ondas de choque lo suficientemente fuertes como para autoinflamarse el combustible.

El funcionamiento estable de RDE, que es objeto de investigación, combina un equilibrio de varios aspectos: combustión, inyección y mezcla, liberación y liberación de energía. Si estas variables no están equilibradas, entonces hay una desestabilización del motor, que se manifiesta en forma de una transición a un número diferente de ondas o en forma de modulación de la velocidad de la onda.


Imagen # 1: esquema RDE.

El modelado hidrodinámico computacional de RDE permite un estudio detallado de la estructura de onda y el campo de flujo * motor.
El campo de flujo * es la distribución de la densidad y la velocidad de un líquido en el espacio y el tiempo.

Campo vectorial * : transformaciones del espacio, donde cada uno de sus puntos se muestra como un vector con un comienzo en este punto.
Sin embargo, anteriormente dicho procedimiento era muy costoso y complicado, como dicen los propios científicos. Además, los modelos creados previamente no podían aislar los factores que afectan la formación de la bifurcación * .
Bifurcación * : un cambio cualitativo en el comportamiento de un sistema dinámico con un cambio infinitamente pequeño en sus parámetros.
A pesar de las dificultades esperadas, se decidió llevar a cabo el modelado, pero utilizando nuevos datos experimentales sobre la dinámica no lineal de las ondas de detonación rotativas. Esto nos permitió crear un modelo que toma en cuenta los cambios más insignificantes, arreglando así las bifurcaciones observadas en la práctica durante los experimentos.

parte experimental


Para llevar a cabo un estudio completo y un modelado apropiado, se llevaron a cabo ciertos experimentos. Para esto, un RDE y una cámara de prueba se prepararon especialmente para estudiar la dinámica de una onda de detonación giratoria. El motor utilizado para este estudio es único porque sus componentes internos son modulares. Las piezas del motor pueden reemplazarse para obtener varios espacios libres anulares y la longitud de la cámara de combustión. También puede reemplazar el inyector, lo que le permite explorar diferentes opciones para conectar y mezclar combustible.


Imagen No. 2 La

cámara de prueba es ópticamente accesible, lo que permite grabar el historial cinemático completo de todas las ondas de detonación con alta resolución espacial-temporal ( 2a ).

Cada experimento representa una combustión de 0,5 segundos de gas metano y oxígeno con una proporción y velocidad de alimentación determinadas. En un experimento exitoso, una chispa enciende la mezcla y produce una llama acelerada, que se transforma en una serie de ondas de detonación que viajan.

La base de este estudio es la suposición de que la luminosidad observada en los experimentos se correlaciona con el progreso de la combustión. Por lo tanto, las regiones más brillantes exhiben una mayor generación de calor que las regiones más oscuras. Si esta suposición es cierta, puede considerar varios ejemplos de formas de onda extraídas de los datos de una cámara de alta velocidad.

La cinemática de la onda se puede obtener a partir de los datos de la cámara utilizando un algoritmo para integrar las intensidades de píxeles y se puede registrar en forma de diagrama ( 2b ).


Imagen No. 3

Los registros de la cámara también se pueden convertir en un sistema de informe de olas, en este caso la diferencia de fase entre las olas será claramente visible.

El gráfico 3a muestra datos de 2b en forma de un sistema de informe de olas, y 3c muestra la velocidad correspondiente de la ola que se está siguiendo.

Para estos datos, el tiempo se definió como τ = t ( onda D / L), donde L es la longitud de la región periódica y la onda D es la velocidad de la onda en el estado de modo bloqueado.

En 3aLa transición de una ola a dos es visible durante el proceso de lanzamiento. Con tal transición de modo, se forma una segunda onda de detonación después del punto crítico, que comienza a propagarse alrededor del anillo. Sin embargo, la distancia entre las dos ondas en el espacio anular es asimétrica, lo que provoca un desequilibrio en la cantidad de combustible consumida por cada una de las ondas. Existe una onda con coordenada θ 1 , que sigue a la onda anterior θ 2 , con una diferencia de fase Ψ = θ 2 - θ 1<π (). En este punto, si suponemos que la frecuencia de la renovación de combustible es aproximadamente constante, menos de la mitad del combustible disponible en la cámara para su consumo permanece en la onda de cola. Como el calor del combustible de cohete afecta directamente la velocidad de la detonación, la onda de retardo comienza a disminuir. Sin embargo, la ola anterior puede procesar el resto del combustible disponible y acelerar debido a este exceso. Por lo tanto, estas dos ondas se comportan de manera dispersa cuando tienden a un estado estable con una diferencia de fase máxima y simétrica.

Para longitud de onda única 3auna onda cuasiestacionaria tiene una velocidad de 20-30% más baja que la velocidad de Chapman-Jouguet para combustible de cohete. Esta métrica es la energía directa observable necesaria para mantener la onda de detonación, que está sujeta a la disipación y restauración de ganancia en la cámara de combustión. Cuando hay una transición a dos ondas y la dinámica se establece en un estado estable, la velocidad de la onda disminuye a aproximadamente el 90% de la velocidad de una sola onda.


Imagen No. 4

Si reduce la velocidad del suministro de combustible al final del experimento, se observa la situación opuesta. En 4a muestra una transición gradual de la onda 2 a la onda 1 durante aproximadamente 10 ms. Dos olas compiten por un combustible cada vez más escaso, a diferencia del caso de exceso de combustible que se muestra en 3a .

Debido a la perturbación inicial de la diferencia de fase, las ondas comienzan a intercambiar regularmente la fuerza (velocidad y amplitud), causando un aumento exponencial en la inestabilidad. A medida que aumentan las oscilaciones de la diferencia de fase, se produce una interacción catastrófica entre las ondas, cuando la onda retrasada supera a la anterior durante una de las oscilaciones con una gran amplitud. Después de la bifurcación, la velocidad de la onda restante es aproximadamente un 10% más alta que la de la onda antes de la inestabilidad.


Imagen no 5

También con bastante frecuencia se observaron inestabilidades de las olas que no condujeron a un cambio en el número de olas. La imagen n. ° 5 muestra la velocidad y la amplitud de las ondas periódicas observadas en un experimento con tres ondas giratorias. Esta es una inestabilidad de modulación clara, ya que las bandas laterales espectrales acompañan a la frecuencia portadora correspondiente a la velocidad promedio de la onda viajera en la cámara de combustión. Este modo de operación es estable en el sentido de que no conduce a una bifurcación del número de ondas si el estado del flujo no se ve alterado sustancialmente.

Si se aumentó el área del inyector con respecto al área de la cámara anular, se observó un modo de funcionamiento pulsado, que se caracteriza por un modo de funcionamiento "encendido / apagado" de los inyectores.


Imagen No. 6

La imagen de arriba muestra ondas planas vibracionales en modo pulsado.

Modelo matemático


Para comprender exactamente qué aspectos físicos dominan en el proceso de formación de ondas, se creó un modelo matemático en la sincronización de modo y las bifurcaciones de modo que refleja los matices de la combustión, la inyección de combustible y la disipación de energía, cuya estructura está determinada por las siguientes fórmulas:
∂η / ∂t + η (∂η / ∂x) = (1 - λ) ω (η) q 0 + ϵξ (η)
∂λ / ∂t = (1 - λ) ω (η) - β (η, η p , s) λ
η (x, t) - propiedades del fluido de trabajo;
λ - variable de combustión (λ = 0 - no hubo combustión, λ = 1 - combustión completa);
ω (η) es la función de liberación de calor;
q 0 - liberación de calor y proporcionalidad constante;
ϵξ (η) es la función de pérdida de energía;
ϵ es la pérdida constante;
β (η, η p , s) - modelo de inyección;
η p y s son parámetros de inyección.

Resultados del experimento


Una vez preparado el modelo matemático, los científicos realizaron una serie de simulaciones numéricas (es decir, simulaciones) con los siguientes parámetros:



en la primera etapa del modelado, se decidió considerar la existencia de soluciones planas para el sistema modelo, incluido el comportamiento del ciclo límite * .
El ciclo límite * es una de las posibles variantes del estado estacionario del sistema. El ciclo límite de un campo vectorial es una trayectoria cerrada (periódica) de un campo vectorial en la vecindad de la cual no hay otras trayectorias periódicas.
El problema de Cauchy * se resolvió utilizando las condiciones iniciales η (x, 0) = 1 y λ (x, 0) = 0.75.
El problema de Cauchy * es la búsqueda de una solución para una ecuación diferencial que satisfaga las condiciones iniciales (datos iniciales).
Una onda plana oscila cerca de un punto en el espacio de fase, donde el agotamiento de la ganancia de combustión y la recuperación de la ganancia de inyección coinciden [βλ = (1 - λ) ω (η)], siempre que la energía de entrada esté equilibrada, la energía se desvíe y la energía se disipe [ξ = (1 - λ )) ω (η) q 0 ].

Las vibraciones de baja energía se humedecen en un frente plano de deflagración sin oscilaciones.

Los frentes pulsantes, similares a los observados en experimentos anteriores, se caracterizan por la "activación" y "desactivación" periódicas de los inyectores, que primero resuenan con la liberación de calor y luego se saturan con mecanismos de pérdida. Un ejemplo de un frente de onda de plano pulsante se presenta en 6d .

Las soluciones de onda plana pulsante del modelo completo son estables para condiciones iniciales planas, pero son inestables a las perturbaciones, ya que se convierten en ondas de detonación viajeras.

Las condiciones iniciales del problema de Cauchy para una onda viajera fueron: η (x, 0) = (3/2) sech 2 (x - x 0 ) y λ (x, 0) = 0 y λ (x, 0) = 0.

La velocidad de Chapman - Jouguet (CJ) se determinó para este sistema (una onda invisible invisible en la que toda la energía se transfirió a la onda en una reacción infinitamente delgada zona). Esta velocidad de onda constante se define como la velocidad mínima que satisface las condiciones de Rankin-Hugoniot * para una liberación de calor dada. En ausencia de pérdidas, esta velocidad mínima es igual a DCJ = (η 1 + q 0) + √ q 0 (q 0 + 2η 1 ). En el caso de η 1 = 0, la velocidad de la onda es igual a 2q 0 .
El adiabat * de Rankin-Hugoniot es una relación matemática que relaciona cantidades termodinámicas antes y después de una onda de choque.
Esta velocidad es la métrica por la cual se miden las ondas viajeras en el modelo considerado.


Imagen No. 8

La imagen de arriba muestra la evolución del modelado experimental estándar. Dado que el pulso de sech inicial es mucho más alto que ηc, el medio emite calor local y rápidamente. La ola se vuelve "más aguda" y forma una detonación. Este impulso inicial se propaga a una velocidad CJ hasta que alcanza su cola, y en este momento la onda comienza a disiparse y a reducirse rápidamente: una cantidad limitada de combustión no puede continuar apoyando la onda en DCJ = 2q 0 . Además, la rápida liberación de calor (en comparación con la escala de tiempo de dispersión de energía) de la onda inicial CJ ​​conduce a un aumento en el valor promedio de η en la región que excede significativamente el valor de η 0valor de ignición ambiental y η c .

Por lo tanto, la energía de activación efectiva del medio activo disminuye, y la deflagración parasitaria o la generación lenta de calor no relacionada con las ondas viajeras aumenta en toda la región. Dado que el tiempo de propagación de la onda de desplazamiento inicial se incrementó debido a la dispersión, la deflagración parasitaria tiene tiempo suficiente para completar el proceso de deflagración-detonación (DDT, es decir, deflagración-a-detonación ) y la formación de muchas ondas de detonación con una amplitud menor.

Para inducir un proceso de transición de modo cuando hay un estado de modo estable, se utilizó un cambio de paso en s , lo que provocó la bifurcación. Un ejemplo de tal transición se muestra en 4b., donde las dos ondas de detonación giratorias iniciales con bloqueo de modo se vuelven inestables y se dividen destructivamente.

Las diferencias de fase de baja amplitud aumentan exponencialmente, lo que también se observó durante los experimentos ( 4a ). Durante el período de oscilación, dos ondas intercambian fuerza (amplitud) y velocidad. Para una determinada función de inyección β y pérdidas, la tasa de crecimiento de inestabilidad y el período de oscilación se parametrizan por el grado del paso aplicado al cambiar los parámetros sy η p .

Cuando se genera una nueva onda o se destruye la existente, el conjunto de ondas en la cámara de prueba actúa de forma dispersa, formando finalmente un estado con sincronización de modo.


Imagen No. 9

Arriba están los diagramas de bifurcación que muestran la dependencia del número de ondas, la velocidad y la amplitud de la onda en sy el valor de la pérdida. Con el aumento de s desde cero, se forman frentes de deflagración planos estables para valores pequeños. Tan pronto como el valor de s puede contribuir a la formación de una onda viajera, las olas comienzan a mostrar escaleras, donde su velocidad aumenta gradualmente hasta que se produce otra bifurcación. Estas ondas resultan de la deflagración parasitaria durante el proceso de DDT. Con cada bifurcación, con un número creciente de ondas, la velocidad de la onda disminuye. Cuando el valor de s se vuelve suficientemente grande, el número de ondas aumenta hasta que los frentes de onda se vuelven pequeños en amplitud y se funden en un frente de deflagración plano.

Para un conocimiento más detallado de los matices del estudio, le recomiendo que consulte el informe de los científicos .

Epílogo


Las naves espaciales son mecanismos increíblemente complejos que combinan el conocimiento de muchos campos científicos, física, química, matemática, mecánica, etc. Por el momento, los motores de cohetes utilizados utilizan una serie completa de mecanismos de control y control de la reacción de combustión, de modo que puede proporcionar con éxito el movimiento de un coloso de varias toneladas que intenta despegar del suelo. En el caso de un motor rotativo, la onda de choque asume la mayoría de las responsabilidades sobre este tema. Esto reduce en gran medida la cantidad de combustible consumido (dado que una estimación aproximada de la eficiencia de la detonación es ~ 25% mayor que la de la deflagración clásica), sin embargo, hay una serie de problemas. El principal es la inestabilidad de tales olas. Como dicen los propios científicos, cualquier detonación es un proceso incontrolado que se lleva a cabo a su antojo.

Para comprender este proceso caótico, a primera vista, los científicos crearon un modelo matemático. El modelo se basó en experimentos prácticos con el motor, cuya duración fue de solo medio segundo, pero esto fue suficiente para obtener los datos necesarios para la formación del modelo.

Los investigadores dicen que su modelo es el primero de su tipo. Permite comprender si este tipo de motor funcionará de manera estable o no, así como evaluar el funcionamiento de un motor particular utilizado durante la parte práctica de los experimentos.

En otras palabras, el modelo revela mapas de los procesos físicos que ocurren durante la operación del sistema. En el futuro, los científicos tienen la intención de mejorar su creación para que pueda usarse ya para determinar ciertos aspectos que requieren atención especial para implementar un motor rotativo estable y que funcione.

Gracias por su atención, sigan curiosos y tengan una buena semana laboral, muchachos. :)

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