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Los matemáticos han demostrado la ley universal de la turbulencia.

Utilizando procesos aleatorios, tres matemáticos han demostrado la ley elegante que subyace al movimiento caótico de los sistemas turbulentos.




Imagina un río tranquilo. Ahora imagine una corriente rápida de agua espumosa. ¿Cuál es la diferencia entre ellos? Para matemáticos y físicos, consiste en el hecho de que un río tranquilo fluye en una dirección, y una corriente tormentosa fluye en varias direcciones a la vez.

Los sistemas físicos con tal movimiento no sistemático se denominan turbulentos . Debido al hecho de que su movimiento tiene tantas características al mismo tiempo, es muy difícil estudiarlas matemáticamente. Más de una generación de matemáticos cambiará hasta que los investigadores aprendan a describir un río turbulento con expresiones matemáticas exactas.

Sin embargo nueva evidenciadice que aunque algunos sistemas turbulentos parecen rebeldes, de hecho obedecen una ley universal. Este artículo proporciona una de las descripciones más rigurosas de turbulencia que las matemáticas hayan dado. Y parece que gracias a un nuevo conjunto de métodos que por sí mismos cambian el proceso de los investigadores que estudian este fenómeno hasta ahora desobediente.

"Quizás este es el enfoque más prometedor para la turbulencia", dijo Vladimir Sverak , matemático de la Universidad de Minnesota, experto en turbulencia.

El nuevo trabajo proporciona una manera de describir los patrones que surgen en el movimiento de fluidos. Se pueden ver claramente en el ejemplo de fluctuaciones bruscas de temperatura en los puntos vecinos de los océanos o pinturas fascinantes obtenidas mediante la mezcla de colores blanco y negro. En 1959, el matemático australiano George Batchelor predijo que estos patrones tienen un comportamiento preciso y regulado. Nueva evidencia confirma la verdad de la "Ley de Batchelor", como se llamaba esta predicción.

"La ley de Batchelor se puede ver en todas partes", dijo Jacob Bedrossian, matemático de la Universidad de Maryland en College Park, coautor de la prueba con Alex Blumenthal y Samuel Panshon Smith . "Al probar esta ley, pudimos comprender mejor su universalidad".

Turbulencia de arriba a abajo


Y aunque la nueva evidencia no describe exactamente los mismos procesos que ocurren en el curso turbulento del río, están estrechamente relacionados con ellos y nos son bastante familiares. Por lo tanto, imaginemos primero antes de pasar al tipo especial de turbulencia que los matemáticos han analizado.

Imagina un fregadero de cocina lleno de agua. El agua comienza a girar en el fregadero casi como una sola masa. Si aumentamos el líquido y medimos su velocidad en una escala más pequeña, veremos lo mismo: cada parte microscópica del líquido se mueve de acuerdo con las demás.

"El movimiento está principalmente vinculado a la escala de toda la caracola", dijo Blumenthal, un postdoctorado de la Universidad de Maryland en College Park.


Alex Blumenthal, un postdoctorado de Maryland University College Park

Ahora imagine que en lugar de simplemente dejar que el agua se drene al sacar el corcho, agregó chorros de agua al fregadero y lo hizo girar como en un jacuzzi. A simple vista, puedes atrapar muchos remolinos que aparecen en el agua. Elija uno de ellos y aumente su escala. Si usted fuera un matemático que intentara analizar los flujos turbulentos de la concha, podría esperar que cada partícula de agua en el remolino seleccionado se mueva en la misma dirección. Esto facilitaría enormemente el trabajo de modelado de fluidos.

Pero, por desgracia, encontrará que el remolino en sí consiste en muchos remolinos pequeños, cada uno de los cuales se mueve de una manera especial. Amplíe su imagen, y nuevamente verá que, a su vez, consiste en varios remolinos, y así sucesivamente, hasta la escala más pequeña, hasta que los efectos de la fricción interna (o viscosidad) del líquido absorben y suavizan los flujos.

Este es un claro signo de sistemas turbulentos: diferentes comportamientos de subsistemas integrados entre sí a diferentes escalas. Para describir completamente el movimiento de un sistema turbulento, es necesario describir lo que sucede en todas estas escalas en un momento dado. Ninguno de ellos puede ser ignorado.

Este es un requisito serio: es similar a modelar las trayectorias del movimiento de las bolas de billar, teniendo en cuenta absolutamente todo, desde el movimiento de la Tierra a través de la Galaxia, hasta la interacción de las moléculas de gas con las bolas.

"Tuve que tenerlo todo en cuenta de una vez, lo que hace que esta tarea sea increíblemente difícil de modelar", dijo Jean-Luc Tiffo, de la Universidad de Wisconsin, que estudia turbulencias.

Como resultado, los matemáticos han intentado durante décadas crear una descripción de la turbulencia que describa con precisión lo que está sucediendo en cada punto del sistema turbulento en un momento dado. Y no tuvo éxito.

"La turbulencia es demasiado compleja para atacarla en la frente", dijo Tiffo. Esto es cierto para ríos turbulentos y sumideros con fugas de líquido. Esto también es cierto para la versión especial de turbulencia utilizada en la nueva prueba.

Emocionante


Concha y río son ejemplos de turbulencia hidrodinámica. Son turbulentos en el sentido de que los vectores de velocidad del fluido (las direcciones y velocidades de las partículas) varían mucho de un punto a otro. El nuevo trabajo describe otras propiedades del líquido, excepto los vectores de velocidad que se pueden medir en cada uno de sus puntos. Para entender lo que esto significa, imagine una mezcla de colores.

Comencemos con una lata de pintura blanca. Agregaremos una gota negra por segundo, removiendo la pintura. La primera gota caerá en pintura blanca y se destacará como una isla. Pero pronto comenzará a disolverse en pintura blanca, extendiéndose en líneas cada vez más delgadas. Las siguientes gotas de pintura negra se realizarán en diferentes etapas de la misma transformación: estirar, alargar, verter en la pintura, que gradualmente se vuelve gris.

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A medida que los vectores de velocidad cambian de un punto a otro en el fregadero donde se mezcla el agua, la concentración de pintura negra en blanco cambiará de un punto a otro con la mezcla: en lugares su concentración será mayor (líneas más gruesas), en algunos menos.

Esta opción es un ejemplo de "turbulencia escalar pasiva". Ocurre cuando se inyecta un líquido, se inyecta un "escalar pasivo" y se agrega leche al otro en café, pintura negra en blanco.

La turbulencia escalar pasiva también describe muchos fenómenos naturales: cambios repentinos de temperatura entre puntos cercanos del océano. En ese entorno, las corrientes oceánicas "mezclan" las temperaturas de la misma manera que los colores blanco y negro.

La ley de Batchelor predice la proporción del número de fenómenos a gran escala (remolinos gruesos de pintura o corrientes de agua oceánica de la misma temperatura) al número de fenómenos en escalas más pequeñas (líneas finas de pintura) al mezclar líquidos. Se llama ley porque los físicos han estado observando este fenómeno en experimentos durante muchos años.

"Desde el punto de vista de la física, esto es suficiente para llamarlo ley", dijo Panshon Smith, matemático de la Universidad de Brown. Sin embargo, antes de este trabajo no había pruebas matemáticas de su rendimiento indispensable.


La ley de Batchelor predice la proporción del número de fenómenos a gran escala (remolinos gruesos de pintura o corrientes de agua oceánica de la misma temperatura) al número de fenómenos en escalas más pequeñas (líneas finas de pintura) al mezclar líquidos. Esta proporción permanece sin cambios cuando se aleja, ya que las pequeñas muñecas de anidación mantienen las proporciones grandes.

Para darse cuenta de la idea de Batchelor, volvamos a la pintura. Imagine que continúa este experimento por un tiempo, agregando gotas de pintura negra y removiendo. Ahora pare el tiempo. Verá gruesas tiras de pintura negra (se amasó menos), tiras más delgadas (se amasaron más tiempo) e incluso más delgadas (se amasaron aún más).

La ley de Batchelor predice que el número de tiras gruesas, delgadas y muy delgadas obedece a la proporción exacta, algo así como las muñecas obedecen a las mismas proporciones.

"Las tiras de diferentes escalas son visibles en un fragmento de líquido dado, porque parte de las gotas recién han comenzado a mezclarse, y algunas se han mezclado durante algún tiempo", dijo Blumenthal. "La ley de Batchelor describe la distribución del tamaño de las tiras de pintura negra". Es difícil describir la proporción exacta en pocas palabras, pero se obtienen más tiras delgadas que las gruesas, y un cierto número de veces.

La ley predice que la proporción se mantiene incluso si observa el fragmento de líquido con el aumento. Las tiras de varios grosores, tanto en un área pequeña de líquido como en todo el banco, tendrán exactamente la misma proporción en cantidad; y alejándonos, veremos la misma proporción. El patrón es el mismo en todas las escalas, como en la turbulencia hidrodinámica, donde en cada remolino hay pequeños remolinos.

Una predicción bastante audaz, que, además, es difícil de modelar matemáticamente. La compleja anidación de fenómenos a diferentes escalas hace que sea imposible describir con precisión la aparición de la ley de Batchelor en un solo flujo de fluido.

Pero los autores del trabajo descubrieron cómo sortear esta complejidad y demostrarlo.

Enfoque aleatorio


Bedrossian, Blumenthal y Punchon Smith han adoptado un enfoque que considera el comportamiento promedio de los fluidos en todos los sistemas turbulentos. Los matemáticos han probado esta estrategia antes, pero nadie la ha implementado con éxito.

Este enfoque funciona porque la aleatoriedad a veces permite predicciones precisas del comportamiento del sistema. Imagine una tabla vertical tachonada de clavos. Deje caer una moneda desde arriba y rebotará en las uñas hasta que golpee una de las ranuras de abajo. Es difícil predecir dónde caerá una moneda en particular: demasiados factores afectan dónde rebotará después de cada colisión.


Samuel Punchon Smith

En cambio, puede considerar el sistema como aleatorio, y que por cada clavo existe la posibilidad de que la moneda rebote de derecha a izquierda. Si las probabilidades se calculan correctamente, será posible hacer predicciones precisas sobre el comportamiento del sistema en su conjunto. Por ejemplo, es posible que las monedas tengan más probabilidades de caer en ranuras específicas.

"Lo que es bueno con la aleatoriedad es la capacidad de hacer promedios", dijo Tiffo. "El promedio es una idea muy confiable, en el sentido de que muchos pequeños detalles no lo tocan".

¿Qué significa esto para la turbulencia y la mezcla de colores? Dado que las declaraciones exactas y deterministas están más allá del alcance de las matemáticas, sería más útil imaginar que ciertas fuerzas aleatorias actúan sobre la pintura, a veces interfiriendo con ella aquí, a veces allí, sin ninguna regularidad. Este enfoque se llama aleatorio o estocástico. Permite a los matemáticos usar cálculos estadísticos de alto nivel y estudiar lo que está sucediendo en los sistemas en su conjunto, sin enterrarse en los detalles de cada detalle.

"Un poco de coincidencia nos permite superar las dificultades", dijo Punchon Smith.

Esto, finalmente, permitió que tres matemáticos probaran la ley de Batchelor.

Mezcla de comprensión


Una forma de probar una ley física es imaginar las condiciones que la invalidarían. Si se puede demostrar que tales condiciones no surgen, demostrará que la ley siempre funciona. El equipo se dio cuenta de que para evitar las leyes predichas por la ley de Batchelor, el amasado debe tener características muy específicas.

La prueba de la ley se divide en cuatro trabajos publicados en línea entre septiembre de 2018 y noviembre de 2019. Los primeros tres se centraron en comprender ciertos movimientos de la pintura mixta que no permitirían que la ley de Batchelor funcionara y excluir tales movimientos. Probaron que incluso si tomas un líquido especialmente formulado para vencer la ley de Batchelor, el patrón aún aparecerá en él.

"Lo principal que debes entender es que el líquido no puede concebir nada en tu contra", dijo Bedrossian.


Jacob Bedrossian

Por ejemplo, la ley de Batchelor no funcionaría si el proceso de mezcla resultara en remolinos persistentes, o embudos, en la pintura. Tales embudos mantendrían algunas gotas de pintura negra en un lugar, como escombros en el borde de la corriente, y la pintura no se mezclaría.

“En un remolino así, los caminos de las partículas no serán caóticos; no se separan rápidamente, sino que giran todos juntos ”, dijo Bedrossian. "Si su sistema no mezcla pintura a la velocidad correcta, la ley de Batchelor no se manifestará".

En el primer trabajo, los matemáticos se centraron en lo que sucede durante el proceso de mezcla con dos puntos de tinta negra que originalmente estaban uno al lado del otro. Probaron que los puntos siguen caminos aleatorios y divergen en diferentes direcciones. En otras palabras, los puntos muy cercanos no pueden quedar atrapados en un remolino que los mantendría juntos todo el tiempo.

"Inicialmente, las partículas se mueven juntas", dijo Blumenthal, "pero al final se separan y divergen en direcciones completamente diferentes".

En el segundo y tercer trabajo, se vieron más amplios en el proceso de mezcla. Probaron que en un líquido caótico, en el caso general, la pintura en blanco y negro se mezcla lo más rápido posible. Luego determinaron que las imperfecciones locales (remolinos) no se formarían en el fluido turbulento, lo que podría interferir con la aparición de una imagen global elegante descrita por la ley de Batchelor.

En los primeros tres trabajos, los autores realizaron los complejos cálculos matemáticos necesarios para demostrar que la pintura se mezcla a fondo y al azar. En el cuarto, mostraron que en un fluido con tales propiedades de mezcla, la ley de Batchelor surge como una consecuencia necesaria.

Esta es una de las declaraciones matemáticamente rigurosas más fuertes con respecto a los sistemas turbulentos. Más importante aún, nos brinda oportunidades para una nueva corriente de ideas matemáticas. La turbulencia es un fenómeno caótico, casi aleatorio en su movimiento. Tres matemáticos descubrieron cómo lidiar con la aleatoriedad utilizando la aleatoriedad. Otros especialistas en este campo seguramente los seguirán.

"Su mayor contribución es proporcionarnos una plataforma sobre la cual construir evidencia", dijo Tiffo. "Creo que el azar es una de las pocas formas de construir un modelo de turbulencia que podamos entender matemáticamente".

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