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Un modelo de una serie natural de números y sus elementos. Múltiples celdas de fila




En otro trabajo de una serie de artículos sobre la serie natural de números (NRF), se utilizan los conceptos y la notación G 2 ± : el modelo NRF en forma de un plano infinito discreto (de celdas con coordenadas (x1, xo)) ( ver aquí ), en el que el compuesto es par o el número natural impar (VLF) en cada celda del modelo se describe mediante la relación N = x1 2 ± xo 2 . Consideramos otra propiedad importante de la Serie Natural de Números, la multiplicidad de celdas modelo, para el módulo de cifrado RSA, que es importante para resolver el problema de factorización de grandes números (ZFBCH).

Acerca de los anillos algebraicos y el cifrado RSA


El cifrado RSA y similares se basa básicamente en una construcción matemática estricta: un módulo de anillo de residuo numérico finito (KCHKV) un número compuesto N = dmdb, donde dm es un divisor primo más pequeño, db es un divisor más grande.

El requisito para la clave (en particular, para el módulo N) del cifrado es que ambos divisores deben ser números primos de muy alta capacidad (hasta 300 dígitos decimales). ver aquí

Otro requisito importante para una clave de cifrado es el requisito de la diferencia de los divisores
| db - dm | = Δ. Debe tener la misma alta capacidad que los divisores mismos. Un ejemplo simple del KPKV es el fragmento inicial de una serie natural de números con la adición de un elemento cero. Todos los números en una fila forman un anillo de 0 a N - 1. Se pueden encontrar más detalles sobre los anillos en los libros de texto sobre álgebra superior.

La resistencia del cifrado RSA a la divulgación clave se estima muy alta y todos los esfuerzos de los criptoanalistas en el mundo para descifrar el cifrado desde su publicación (1978) no han tenido éxito hasta ahora. Hay varias razones para esta situación.

Los algoritmos publicados para implementar ataques al cifrado se basan en el concepto de un tamiz numérico propuesto por Eratóstenes antes de la nueva era. Con cada nueva publicación, vemos una versión ligeramente mejorada del algoritmo, pero, aparentemente, estas mejoras no son suficientes para tener éxito. La idea del tamiz de Eratóstenes [1] fue progresiva en su tiempo, pero ahora no funciona.

En Internet hay una lista de números RSA que la empresa está invitada a factorizar. La lista se publicó en 1991 y está lejos de ser completa. Está disponible un análisis de los resultados de la descomposición multiplicativa de los números de la lista, ya que los números mismos están abiertos a todos.

Del análisis se deduce que cuanto más dígitos hay en la descripción del número, más tiempo se requiere para su descomposición. La conclusión es que la descomposición del módulo N usa algoritmos que son muy sensibles a la capacidad de los números, es decir, los algoritmos usan las propiedades de los números, que dependen en gran medida de su capacidad. Me refiero a propiedades como los "signos de divisibilidad" de los números. Prácticamente no dependen de la profundidad de bits del número factorizable ( ver aquí ).

Los trabajos publicados se limitan, por regla general, al procesamiento del número en sí mismo, ignorando su entorno, las propiedades de los vecinos cercanos y distantes dentro de un sistema de números específico. Se asignan grandes esperanzas a los autores y expectativas a los nuevos dispositivos informáticos: cuánticos, fotónicos, moleculares y similares.

Autores de publicaciones y propietarios de la empresa, es decir. Los algoritmos de encriptación no niegan otros enfoques nuevos y no excluyen la posibilidad de crear nuevos algoritmos basados ​​en nuevas ideas, para lo cual la tarea de factorización de grandes números no se mantendrá y su solución será exitosa. Yo, como autor de esta publicación, me atraen los nuevos desarrollos originales en el campo de la resolución de la WFCH.

La mayoría de mis publicaciones están dedicadas solo a nuevos enfoques, comenzando con la síntesis de modelos de series naturales de números, estudiando sus propiedades y utilizando dichas propiedades en el desarrollo de nuevos algoritmos originales para resolver el ZFBCH. Moviéndose en esta dirección se estableció el número N de divisores de ley de distribución (abiertos) en NRCH RDA .

Verticales (columnas) G 2 ± - Modelos NRF


Un ejemplo de este nuevo enfoque es el uso de sumas de pares de números al cuadrado. Estos números se toman del NRF y deben cumplir los requisitos: dos números son adyacentes y su suma es igual al número compuesto N que queremos factorizar, dos números más son cuadrados que satisfacen la ecuación N + x1 2 = xo 2 .

Otro requisito: la suma de los cuadrados de los números adyacentes de la descomposición aditiva con los dos cuadrados encontrados debe tener valores iguales (coincidentes) ( ver aquí ). Si es posible cumplir con los requisitos anteriores, se garantiza la factorización de N. El ejemplo 1 a continuación ilustra esta posibilidad.

El esquema considerado es original, difiere del propuesto por L. Euler y otros matemáticos en una comprensión más simple y transparente.

Ejemplo 1 . ( Suma de cuadrados ). Se da el número compuesto N = dmdb = 209723. Se requiere encontrar su descomposición multiplicativa, es decir, los valores de los factores dm y db.
Solución . Utilizamos las propiedades de las sumas de cuadrados en 2+ : el modelo hiperbólico-circular.

Tomamos la raíz cuadrada de N, √209723 = 457.955 = 458 y redondeamos a un entero más grande.
A continuación, encontramos las diferencias de los siguientes cuadrados y el número N al verificar la igualdad de esta diferencia con el cuadrado completo: 458 2 - 209723 = 41 ≠ ▢, 459 2- 209723 = 958 ≠ ▢, 460 2 - N ≠ ▢,
461 2 - N ≠ ▢,

462 2 - 209723 = 3721 = 61 2 = ▢. En el quinto paso, la diferencia deseada es igual al cuadrado completo. Encontramos la descomposición aditiva de N = 209723 = sm + sb = 104861 + 104862 en términos adyacentes. Verifique la igualdad de la suma de cuadrados en las celdas del modelo
N (x11, xo) = N (x11, sm), N (x12, xo2) = N (x12, sb),
donde sm, sb son los números de columna, y x11 y x12 son los números de fila , modelos. Estos números se determinan a partir de las relaciones de igualdad de las sumas de cuadrados.

sm 2 + 462 2 = 104861 2 + 213444 = 10995829321 + 213444 = 10996042765;
sb 2 + 61 2 = 104862 2 + 3721 = 10996039044 + 3721 = 10996042765. Las cantidades en las celdas, como se esperaba, resultaron ser iguales entre sí.

Para tales sumas, escribimos la igualdad sm 2 + 462 2 = sb 2 + 61 2 y la transformamos en la igualdad de la diferencia de cuadrados 462 2 - 61 2 = sb 2 - sm 2 . A la derecha, la diferencia de los cuadrados siempre es N, y la diferencia de la izquierda se convierte en el producto
462 2 -61 2 = (462 - 61) (462 + 61) = 401 · 523 = 209723 = N.

Ambos factores son números primos, es decir La factorización del número N se completa con éxito. La desventaja de este enfoque es la necesidad de encontrar la suma de cuadrados con valores coincidentes en columnas adyacentes del modelo. Con grandes números, esta es una operación que consume bastante tiempo. En esencia, esta tarea se reduce a la selección de dicho cuadrado, que, cuando se suma con el número N, da un cuadrado más grande.

Horizontal (filas) G 2- - modelos de baja frecuencia


Trabajar con números, resolver problemas urgentes como HFBCH o el logaritmo discreto sugiere que el investigador de alguna manera ordenó y clasificó los números ( aquí ) y no funciona a ciegas, no al azar, sino que predice el resultado esperado, basado en las hipótesis sobre el resultado.

Una de las propiedades de las filas (horizontales) del modelo G 2- - NRF es una dependencia lineal de los valores de cada celda de la siguiente fila del modelo de los valores en las celdas de la anterior, que se expresa mediante la simple suma de los valores de las celdas de la parte superior de dos filas adyacentes con un valor constante de la última celda de la fila inferior, luego es
N (x1, xo) = N (H1-1 ho) + N (x1, x1 - 1), se ejecuta ho mientras que toda la línea de fondo (véase la Tabla 1) Clickable



Figura 1-Valores que son múltiplos de los números impares compuestos en los primeros 100 (resaltados por un relleno)
La figura muestra celdas rellenas con un relleno con números iguales al producto de los números de las diagonales.

La peculiaridad de estos números es que los números de las diagonales en el módulo N del CCCH, considerados como elementos del anillo, cuando se muestran (cuadratura) y el resultado es el módulo, los anillos permanecen ellos mismos (elementos fijos).

El primer número como módulo es N = 15. Para ello, la celda múltiple contiene el producto de los números de las diagonales 10 · 6 = 60 = 15 · 4 múltiplo del módulo con el coeficiente k = 4. Para los números de las diagonales: 6 2 ≡ 6 (mod15); 10 2 ≡ 10 (mod15).

Tome el segundo número como el módulo N = 35. Para ello, la celda múltiple contiene el producto de los números de las diagonales 21 · 15 = 315 = 35 · 9 múltiplo del módulo con un coeficiente k = 9. Para los números de las diagonales: 15 2 ≡ 15 (mod35);
21 2 ≡ 21 (mod35). Así será para todos los números N que pertenecen a la diagonal larga D1, en la línea de la cual la celda N múltiple se indica mediante relleno.

Ejemplo 2. ( Cálculo de una celda múltiple ). El módulo compuesto KChKV N = 77 está configurado. de acuerdo con las propiedades 1,2, el valor en la celda N (x1 = 39, xo = 17) se calcula como la suma de los valores en la celda sobre el dado y en la última celda de la fila x1 = 39 igual al módulo CCFV.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39 - 1) => 1232 = 1155 +77.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39 –1) = 38 2 - 17 2 + 39 2 - 38 2 => 1232 = 1155 +77.

Por otro lado, el valor en cada celda de una fila arbitraria se calcula como la diferencia de los cuadrados de las coordenadas de la celda o como el producto de la diferencia de las coordenadas de la celda por su suma
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = 39 2 - 17 2 = ( 39-17) (39 + 17) = 22.56 = 1232 = 16.77.

Hay otras formas menos obvias de calcular el valor en la celda.

El ejemplo considerado es notable porque establece una conexión formalizada del modelo bajo consideración con un anillo numérico finito de residuos por el módulo compuesto.

Se sabe que la primera diagonal larga 2 ± es el modelo NRF. contiene en sus celdas todos los siguientes números, impares en una fila, que pueden considerarse como módulos para reducir las estructuras algebraicas. Las estructuras mismas están formadas por elementos: números naturales. Aquí no profundizaremos en los conceptos de álgebra superior, pero indicaremos solo hechos que son interesantes desde el punto de vista de su representación en el modelo G 2 - de NRF.

Entre todos los elementos de la estructura QPCW módulo N, hay un conjunto I = {x}, que se denominan idempotentes, y cuyos cuadrados, después de la reducción (reducción del módulo), conservan sus valoresx 2 ≡ x (mod N). Dichos elementos se denominan inmóviles en la teoría de los mapeos. Además, denotaremos idempotentes por los símbolos I1, II, ...

Otra clase de elementos, el conjunto H = {x} del QCF, llamado involuciones, tiene la siguiente propiedad x 2 ≡ 1 (mod N). Además, denotaremos las involuciones con los símbolos 1, 2, ...

El papel de tales elementos de anillo es muy bueno para resolver problemas aplicados, y aquí consideraremos algunos hechos interesantes y útiles para resolver el HFBC. El hecho es que la teoría de los anillos no responde a la pregunta cuáles de los elementos del anillo son idempotentes, cuáles son involuciones. Cómo establecer estos elementos, cómo determinar sus valores, para un módulo dado N del anillo.

Resulta que los idempotentes son, además, elementos que son múltiplos de diferentes divisores del módulo N. Su módulo de producto es cero, ya que es un múltiplo de N, pero la suma de dos idempotentes es igual a N + 1. Teniendo el valor idempotente, podemos resolver el problema de encontrar el mayor factor común (común tanto para el módulo como para idempotente).

Y desde aquí no está lejos resolver el problema de la factorización del módulo de anillo, lo que garantizará que se encuentre la clave privada del cifrado asimétrico y que el ataque a dicho cifrado sea exitoso.

El ejemplo considerado con una celda que tiene un valor que es un múltiplo del valor en la celda más a la derecha de la fila (un múltiplo de la celda) tiene la peculiaridad de que el producto de las diagonales en el múltiplo de la celda es el producto de los idempotentes del anillo.

Factorización de N usando idempotentes de un anillo de número finito


Esquemas de factorización VLF N. Uso de idempotentes KPKV.
Todas las celdas ( 1 , ) 2 - - los modelos son únicos y combinados en líneas: horizontales con números 1 (contienen celdas número 1), verticales con números 1, diagonales: cortas (K) con números x1 + xo y long (D) con números x1 - xo.

En cada celda (x1, xo) del modelo, las líneas de los tipos nombrados se cruzan, cuyos números están determinados por las coordenadas de la celda. Las celdas del modelo pueden contener no ningún número, sino solo diferencias representables de los cuadrados de otros números (coordenadas).

La horizontal del modelo se puede establecer por su número x1, y la vertical por el número xo, respectivamente. Cada celda contiene el número N (x1, xo) = x1 2 - xo 2. Las últimas celdas horizontales forman una diagonal larga D1 y contienen los valores

N (x1, x1 - 1) = x1 2 - x1 2 + 2x1–1 = 2x1 - 1,

dependiendo del número horizontal. Las celdas de esta diagonal contienen todos los siguientes números impares seguidos. Para el rango de números [d1min, d1max], d1min, d1max ∊ D1, la suma de sus valores define la forma aditiva de N.

Ejemplo 3 ( Cálculo del valor kN de una celda múltiple como la suma de los elementos de un fragmento de la diagonal D1 )

= 77 + 75 + 73+ ... + 37+ 35 = 1232 = 16 · 77 = 22 · 56 ,
donde i = 1 (1) 22 . Esto último significa que el número de términos (22) en total es igual a un divisor más pequeño


N (x1, xo), y el término promedio (56) es el divisor más grande de N (x1, xo).

Si las celdas del modelo principal A diagonal G 2 ± - con la ecuación x1 = xo se incluyen en el modelo G 2 - , entonces el valor en ellas será cero. Luego, al generar valores en las celdas de la fila con el número x1 en su última celda, obtenemos el valor 2x1–1, ya que se resume con el valor de la celda de la fila con el número x1–1 ubicado encima y este valor es 0. Propiedades importantes de G 2 - - El modelo y sus celdas son los siguientes.

Propiedad 1. Todos los números en las celdas de la horizontal x1 actual se pueden obtener de los números en las celdas correspondientes de la horizontal anterior (superior) con el número x1 - 1 sumando sus valores con un valor constante de 2x1 - 1.

Tabla 1 - Fragmento G 2 - - modelos de 2 líneas 38 y 39, N = 77



De hecho, N (x1, xo) = N (x1 –1, xo) + 2x1 - 1 = x1 2 - 2x1 + 1+ 2x1 - 1– xo 2 = x1 2 - ho 2 .

Propiedad 2. La segunda propiedad se sigue de la primera. Cualquier número N (x1, xo) en la celda horizontal con el número x1 se puede obtener como la suma de los valores en las celdas del fragmento de la diagonal larga D1, de los cuales el d1max más grande es el número en la última celda horizontal x1, y el d1min más pequeño es el número en la celda que se cruza con la diagonal D1 con vertical ho.

Propiedad 3 . Para un VLF N cuadrado colocado en la celda extrema derecha de la horizontal x1, en esta horizontal habrá una celda en la que se colocará un múltiplo de N, es decir, el número kN, k> 1. La búsqueda de dicha celda es un problema no trivial que es difícil de resolver.

Una ilustración de esta propiedad son los datos de la Tabla 2. Para los números de los primeros cien que son cuadrados y compuestos N, colocados en las celdas d1∊ D1 con un valor de 2x1 - 1, otra celda (x1, xo) que contiene el valor N (x1, xo) = kd1 es un múltiplo d1.

Tabla 2.


K · D es el producto de las diagonales que se cruzan en la celda con el valor de kN.

Propiedad 4 . Todos los números N (x1, xo) en las celdas de la horizontal x1 actual se pueden obtener como el producto de los números de las diagonales a = x1 + xo corto y b = x1 - xo largo, intersectando en estas celdas.

Es conveniente ilustrar las propiedades con un ejemplo numérico
Ejemplo 4 . Consideraremos 2 -- modelo. Establecemos N = pq = 7 · 11 = 77 para la factorización del ELF. Este es un número impar y para ello hay una celda en la diagonal larga D1 que se encuentra horizontalmente con el número x1 = ½ (N + 1) = 39.

El número 77 se coloca en el último celda de esta horizontal, que contiene, como todas las demás celdas, la diferencia de los cuadrados de las coordenadas x1 2 - xo 2 .

La primera celda de esta horizontal en la vertical xo = 0 está ocupada por el número
x1 2 = 39 2 = 1521. El valor del número en cualquier celda intermedia de la horizontal x1 es, por un lado, el producto de los números b = x1 - xo largo y corto a = x1 + xo diagonales, la intersección ab = (x1 + xo) (x1 - xo) en ella.

Por otro lado, es igual a la diferencia entre los cuadrados de los números horizontales (para todas las celdas horizontales este cuadrado x1 2 es el mismo) y el vertical xo 2 , que también se cruzan en esta celda intermedia, es decir.
N (x1, xo) = x1 2 - xo 2 .

Además, todos los valores en las celdas horizontales x1 (por la propiedad 1) son iguales a la suma de los valores N (x1, xo) = N (x1 - 1, xo) + 77 de las celdas horizontales correspondientes con el número x1 - 1, es decir desde el superior por encima y una constante igual a N = 77.

Suponga que los valores de la diagonal corta son x1 + xo = I1 = 56 y para el largo el valor x1 es xo = I2 = 22, es decir valores de idempotentes no triviales del anillo de residuo módulo N.

Cuando multiplicamos idempotentes no triviales como diagonales del modelo G 2 - , obtenemos en alguna celda horizontal (con el número x1 = 39) como su producto el número múltiplo del módulo de anillo de residuo (77), que se encuentra en la última celda de esta horizontal, es decir. I1 · I2 = 56 · 22 = kN = 16 · 77 = 1232.

También se sabe por la teoría de los anillos que la suma de idempotentes no triviales es igual a 1 + 2 = N + 1. Por lo tanto, con respecto a los idempotentes desconocidos, obtenemos un sistema algebraico de ecuaciones que, además de dos idempotentes desconocidos, también contiene un tercer coeficiente de multiplicidad desconocido k> 1.



Afortunadamente, el coeficiente k puede determinarse fuera del sistema de ecuaciones algebraicas. Supongamos que el coeficiente k ya está determinado por nosotros k = 16. Luego resolvemos el sistema de ecuaciones.



El último término en la ecuación cuadrática debe ser el cuadrado de 39. Para hacer esto, suma el número 289 = 17 2 a los lados izquierdo y derecho de la ecuación . Luego obtenemos
(I2 - 39) 2 = 17 2 o I2 - 39 = ± 17 y finalmente, I2 = 17 + 39 = 56 o I2 = 39 - 17 = 22.
Respuesta: Los idempotentes son iguales a I2 = 22; I1 = 56 o viceversa: I2 = 56 e I1 = 22.

Ahora volvemos a la cuestión de determinar el valor del coeficiente de multiplicidad k.
Considere el siguiente algoritmo para determinar el coeficiente de multiplicidad del módulo N.

Algoritmo

1. Se da un número compuesto N = 77: el módulo del anillo de residuos;

2. Determine por N el valor del número horizontal x1 = ½ (77+ 1) = 39, en la primera celda
que ponemos un cuadrado 39 2 = 1521, y en su última celda ponemos N = 77;

3. El producto de idempotentes aparece en la celda horizontal intermedia x1 = 39; Para esta celda, se cumple la condición de que el número en ella es igual a kN, y es representable por la diferencia de los cuadrados de los números naturales.

4. Por lo tanto, restando repetidamente del cuadrado del número de la primera celda horizontal 39 2 = 1521 los valores x0 = 1,2,3, ..., determinamos el valor de k cada vez, y ¿es un número entero? Tan pronto como la diferencia se convierte en un múltiplo de N, se resuelve el problema: se encuentra kN.

Consideremos también otro algoritmo para determinar el coeficiente de multiplicidad del módulo N.

1. Se da un número compuesto N = 77: el módulo del anillo de residuos;

2. Determine por N el valor del número horizontal x1 = ½ (77+ 1) = 39, en la primera celda de la
cual ponemos el cuadrado 39 2 = 1521, y en su última celda ponemos N = 77;

3. El producto de idempotentes aparece en la celda intermedia de la horizontal x1; Para esta celda, se cumple la condición de que el número en ella es igual a kN, y es representable por la diferencia de los cuadrados de los números naturales.

Usando la propiedad 2, el número kN se puede encontrar por la ruta indicada allí, es decir, sumando números impares monótonamente decrecientes de un fragmento de la diagonal D1, comenzando con d1max = 77, y terminando con d1min, cuyo valor es a priori desconocido, d1min, d1max ∊ D1.

4. Para establecer el último término después de cada paso de suma, la divisibilidad de la suma obtenida se verifica por N = 77. La solución es la suma divisible por completo por 77.

Tabla 3 - N números son múltiplos de 3 en la línea central (el pronóstico se resalta al completar)



En esta tabla hay números compuestos (múltiplos tres) siga con espacios alternos de 6 y 12. De hecho, en la línea N tenemos 21 - 15 = 6, y 33 - 21 = 12 y más en el mismo orden. Presumiblemente, las brechas entre los valores tabulares de N se deben al hecho de que en los seis números adyacentes hay primos gemelos, por ejemplo, 16, 17, 18, 19, 20.

El siguiente múltiplo de tres 21 es solo el sexto consecutivo después de 15. Ya sea en 12 números consecutivos, son posibles pares de primos gemelos, por ejemplo, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, o los cuadrados 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 se mezclan con gemelos simples.En general, la elección se realiza con la garantía de no encontrarse con un número no compuesto en una posición correspondiente a un múltiplo de tres.

Es decir, tal condición asegura la confiabilidad del pronóstico muy por delante. Los números que faltan resultan ser múltiplos de no solo tres, sino también números primos grandes, lo que les permite ser considerados desde otras posiciones.

Lista de publicaciones

1.Stechkin B.S., Matiyasevich Yu.V. Tamiz de Eratóstenes // Actas de la escuela internacional de S.B. Stechkina sobre la teoría de las funciones. - Ekaterimburgo, 1999. - p. 148

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