Continúo con el tema de errores y garabatos, que comenzó en el artículo "Errores de libros de texto y curiosidades de estudio" . Recuerdo las definiciones:

Blooper es un error descarado o velado, que no es, sin embargo, de naturaleza fundamental, por lo que después del sufrimiento puede solucionarlo.
Zagogulina es una frase, un tema establecido de tal manera que, para entenderlo, uno necesita aplastarse la cabeza (ordinario, no genio ni talento).

1. ¿Cuál es la simplicidad de la fórmula?

Tome el libro "Teoría de la probabilidad. Conceptos básicos. Teoremas del límite. Procesos aleatorios ", Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov," Ciencia ", 1967.
Cito el texto en la página 14:
" Fórmula de Stirling. En todas las fórmulas anteriores, la expresión

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . El cálculo directo de un producto de este tipo para grandes n es muy laborioso. Hay una fórmula relativamente simple que da un valor aproximado para n!, Llamada fórmula de Stirling: para n grande

n! ∽ \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}

$n! \backsim \sqrt{2πn}n^n e^{-n}$

Una frase similar se encuentra en otros libros y en Internet.

No entiendo algo más que la fórmula de Stirling es más simple que la fórmula de definición

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . ¿En qué sentido es más fácil? ¿Cómo organizar las fórmulas por simplicidad? Dado que la frase clave era "El cálculo directo de un producto de este tipo para n grande es muy laborioso", es natural asumir una mayor simplicidad en el sentido de menos cálculos. Bien, vamos de este lado. Compare las fórmulas desde la posición del número de operaciones elementales (desde el punto de vista de una computadora) en una y las otras fórmulas. En la formula

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ Hay n multiplicaciones. En la fórmula de Stirling, tenemos las operaciones:

$\sqrt{2πn}$ - dos multiplicaciones y una extracción de raíz. Extraer la raíz no es una operación elemental, pero su implementación requiere un ciclo computacional y cuanto más larga, mayor será la precisión requerida de los cálculos.
$n^n$ - n multiplicaciones. $n^n=nnn…n$ . Después de todo, no vamos a disimular, que esta es una operación. En este caso, podemos decir que n! Una operación. Al menos en ninguna computadora, ni el grado ni la función exponencial son operaciones elementales.
$e^{-n}$ - esta tampoco es una operación elemental, pero su implementación requiere un ciclo computacional y cuanto más larga, mayor será la precisión requerida de los cálculos.

Lo más gracioso es que

n^{n} = n n \dots n

$n^n=nn…n$ declarado más fácil

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . Desde cualquier punto de vista sobre la simplicidad, después de esto ya no se puede razonar más.
Por lo tanto, está claro que desde el punto de vista de la complejidad computacional, la fórmula de Stirling no es en modo más simple que la fórmula definitoria.
Entonces, ¿por qué necesitamos la fórmula de Stirling? No hay una respuesta universal. Y no se reduce a la simplicidad de los cálculos. Todo depende de la situación. Por ejemplo, es poco probable que simplifique la expresión

N! / (N - 1)!

$N!/(N-1)!$ necesitas aplicar la fórmula de Stirling. La fórmula que define da inmediatamente

N! / (N - 1)! = N

$N!/(N-1)!=N$ .
En general, si tenemos una identidad como fórmula1 ≡ fórmula2, a veces es beneficioso reemplazar fórmula1 con fórmula2 y, a veces, viceversa.
En algunas situaciones, la aplicación de la fórmula de Stirling conduce a una reducción obvia en los términos de la fórmula donde ingresa, lo cual es difícil de ver si se aplica la fórmula de definición. Al menos en física estadística es así. Allí, todas las cantidades fundamentales se expresan en términos de peso estadístico, cuyas fórmulas se alternan con factoriales. Pero la entropía, por ejemplo, se expresa a través del logaritmo natural del número de estados. Aquí es donde el papel de la forma comienza a jugar, en este caso, la representación del factorial a través del grado:

l n (n!) ∽ n l n (n / e)

$ln⁡(n!) \backsim nln(n/e)$

Y aquí hay un ejemplo de la aplicación de la fórmula Stirling, tomada de Fichtenholtz (v.2):

2. La trampa de la notación

Tomemos el libro de texto "Física de partículas elementales", autor N.F. Nelipa, Moscú, "Escuela superior", 1977. En la página 19, se registra la relación entre el momento y las representaciones de coordenadas:

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ (p) (1)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}φ(p) \ \ \ \ (1)$

Vemos que la fórmula contiene tanto φ a la derecha como φ a la izquierda. Si se trata de una identidad, entonces mirando esta fórmula, una persona no muy sofisticada puede sacar estas conclusiones.
Tomamos φ (x) = 1
Luego de (1) tenemos

1 = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} 1

$1=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}1$

Consiguió una descomposición "maravillosa" de la unidad o, de manera similar,

s i n (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} s i n (p)

$sin(x) =(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}sin(p)$

Todo esto es claramente una tontería. Entonces, ¿cuál es el trato?
O tal vez la relación (1) debería interpretarse como una ecuación del tipo

x^{2} = b x

$x^2=bx$ ?
Nos fijamos en otros libros. Aquí hay otra "Física de partículas elementales", autor Gaziorovich, Moscú, "Ciencia", 1969. En la página 20 tenemos la fórmula

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ ̃ (p) (2)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx} φ ̃(p) \ \ \ \ (2)$

Respiro un suspiro de alivio. Esto es solo una conexión entre las representaciones de coordenadas y de momento y se da desde el punto de vista de las matemáticas por la expansión de Fourier. Aquí φ y φ ̃ son funciones diferentes. Pero ¿qué pasa con la fórmula (1) Nelips? Desde el punto de vista de las matemáticas, es incorrecto. Si φ es una función, entonces φ (x) y φ (p) son una sola función. Estuve atormentado durante mucho tiempo ("El autor no puede evitar notar esto. Eso significa que el caso es más complicado") y luego encontré una excusa desde el punto de vista de la física. Aquí está:
φ (x) y φ (p) no son las mismas funciones, son el mismo campo φ tomado en diferentes representaciones. El campo es uno, pero su presentación es diferente. El tipo de vista se especifica mediante una letra entre paréntesis. Nos centramos en el hecho de que el campo no cambia. La vista está cambiando. Entonces me tranquilicé.Pero, caballeros, los autores, están escribiendo un libro de texto. explicar a los simples mortales qué es qué. Y luego el lector tiene que encontrar excusas para el autor .

Además, me dirijo a los clásicos cuánticos soviéticos "Introducción a la teoría de los campos cuantizados" por NN Bogolyubov y DV Shirkov, Nauka, Moscú, 1973. Página 28.

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} φ ̃ (k) (3)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx}φ ̃ (k) \ \ \ \ (3)$

Multa. Y el mencionado Gaziorovich es similar. Pero, mira más allá. Cito:
"... encontramos que la función φ ̃ (k) satisface la ecuación

(k^{2} - m^{2}) φ ̃ (k) = 0

$(k^2-m^2 ) φ ̃ (k)=0$

Y, por lo tanto, se puede representar como

φ ̃ (k) = δ (k^{2} - m^{2}) φ (k)

$φ ̃ (k)=δ(k^2-m^2 )φ(k)$

Y, además, se dice que con esto en mente, la descomposición (3) tomará la forma

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} δ (k^{2} - m^{2}) φ (k) (4)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx} δ(k^2-m^2 )φ(k) \ \ \ \ (4)$

Nuevamente volvimos a la representación de φ a través de φ. De comprensible Gaziorovich llegó a la incomprensible Nelipe. Qué significa eso? ¿Es esta una ecuación? Creo que aquí también es necesario dar una interpretación similar al caso de Nelipa dado anteriormente.
Esto es realmente un garabato. Por alguna razón, este garabato me encontró solo en los libros de autores soviéticos.
Y volveré al autor de Nelip. Tomamos su libro "Física de partículas elementales. Gauge Fields ". El libro se recomienda como guía de estudio. Esto obliga al libro de texto a hacer todo tipo de valores predeterminados lo menos posible. No es necesario obligar al alumno a pensar mucho en resolver los valores predeterminados. Ya es difícil para él. Sin embargo, tomamos la fórmula (1.2.14) y el texto anterior:
Matrices

λ_{k}

$λ_k$ Satisfacer las siguientes relaciones de conmutación (álgebra de mentiras):

[λ_{k}, λ_{j}]_{-} = 2 i f_{k j n} λ_{n}, S p λ_{i} λ j_{k} = 2 δ_{i j} (1.2.14)

$[λ_k,λ_j ]_-=2if_{kjn} λ_n, Spλ_i λj_k=2δ_{ij} \ \ \ \ (1.2.14)$

Y ni una palabra se dice que sumando se entiende por n. Esto no está ni en el prefacio ni en el texto principal. Y hay muchas de esas fórmulas en el libro.
Además, la introducción dice:
"El producto escalar de dos vectores de cuatro dimensiones se escribe como

Bloopers y garabatos. 2

1. ¿Cuál es la simplicidad de la fórmula?

2. La trampa de la notación

3. Mediciones de garabatos grandes

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