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Leyes naturales y matemáticas elegantes: problemas y soluciones.

Si las matemáticas nos pueden dar una explicación elegante de muchos fenómenos físicos, a veces en situaciones reales es necesario atravesar la espesura de datos numéricos




Desde la época de Pitágoras, la gente cree en la habilidad especial de las bellas matemáticas para revelarnos todos los secretos del mundo. Utilizamos el famoso artículo de Eugene Wigner " Eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales " para discutir este tema con los lectores y resolver varios problemas asociados con él. Las tareas consistían en demostrar que, aunque las matemáticas son realmente muy útiles para crear modelos idealizados y explicaciones elegantes de muchos fenómenos físicos, en situaciones reales a veces es necesario atravesar matorrales de datos numéricos.

Escenario 1: simplicidad y uniformidad


A) El objeto se desliza sobre una superficie homogénea, con una velocidad inicial de 1. Para cada unidad de distancia, su velocidad disminuye en 1/10 del valor que tenía antes de comenzar a pasar este segmento en particular. ¿Hasta dónde puede viajar un objeto antes de detenerse por completo? ¿Cuál es la fórmula general para calcularlo?

Esta tarea tiene una trampa. A primera vista, recuerda la paradoja Zenón de Aquiles y la tortuga, que produce una progresión geométrica infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... tanto para el tiempo como para la distancia. Aunque esta secuencia es infinita, converge y, por lo tanto, es posible calcular su cantidad total (en este caso, 2). Por lo tanto, en este caso, la distancia finita se cubre en un tiempo finito [se puede argumentar: aquí no estamos hablando de un modelo matemático, sino de un movimiento real, y por lo tanto no tiene sentido limitar el análisis de la paradoja a las matemáticas, porque Zenon solo cuestiona la aplicabilidad de lo idealizado al movimiento real. conceptos matemáticos / aprox. traducción].

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B) La máquina puede moverse hacia adelante y hacia los lados, con la misma facilidad. Su velocidad de crucero normal en cualquier dirección es de 1 unidad en una superficie lisa. La figura muestra que necesita superar 10 franjas de terreno, cada una de las cuales tiene una longitud de 10 unidades y un ancho de 1 unidad. La longitud de las tiras es perpendicular a la dirección en la que la máquina necesita moverse. La máquina está ubicada en el medio de la primera tira, que es lisa (las rayas lisas se indican en gris). Después de eso, se alternan rayas irregulares (moradas) y lisas.



Sin embargo, las irregularidades en rayas desiguales no son lo mismo. Cada franja consta de 10 secciones cuadradas, que podemos imaginar en forma de irregularidades de carreteras artificiales. Las asperezas están una al lado de la otra, el tamaño de cada una de ellas es 1x1. Sus propiedades varían. Las irregularidades pueden reducir la velocidad de crucero de la máquina en un valor del 50% al 95%, y este valor se cambia en pasos del 5%. Cada una de las franjas desiguales está formada por irregularidades de los 10 tipos, en orden aleatorio (la primera franja púrpura muestra una de las posibles opciones para la distribución de irregularidades). La máquina puede leer la rugosidad del área ubicada directamente frente a ella (pero solo una), y puede moverse hacia los lados con su velocidad de crucero igual a 1, de modo que, si lo desea, mueve otra rugosidad que no la ralentizará tanto. A esto, por supuesto,pasará el tiempo, y si ella se mueve de lado unos cuantos cuadrados, pasará más tiempo. Después de superar cada franja magenta, la velocidad de crucero aumenta de nuevo a 1. ¿Qué estrategia debe adoptar el automóvil de la manera más rápida en todo el territorio? ¿Cuánto tiempo tardará?

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2:


Considere un objeto sólido hipotético en forma de triángulo rectangular, con toda su masa concentrada en los vértices. Para simplificar, imagine que este objeto es bidimensional: no tiene grosor. Cada vértice es un punto con una masa de 1 unidad, y la masa total del objeto es de 3 unidades. La base del triángulo tiene 4 unidades de largo, la pata vertical tiene 3 unidades y la hipotenusa tiene 5 unidades. Imagine que el mismo triángulo se encuentra cerca, orientado exactamente de la misma manera, y las medianas de ambos triángulos (el segmento que conecta el centro de la hipotenusa con el vértice opuesto) se encuentran en una línea recta, y los vértices de los ángulos rectos están separados por 4 unidades. ¿Cuál será la atracción actuando sobre ellos? ¿La ley de atracción gravitacional funciona si se aplica a dos triángulos como objetos separados? Qué,si los triángulos estuvieran ubicados a una distancia de 8 unidades de longitud entre sí y orientados de la misma manera? En tal situación, ¿la fórmula para la atracción gravitacional funciona mejor?

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Entonces, ¿la ley de la naturaleza requiere una matemática elegante? ¿Y qué hace que las matemáticas elegantes sean tan capaces y aplicables en una amplia gama de problemas? Entre las ventajas de las matemáticas,

un lector enumeró la abstracción, las comprobaciones integradas de consistencia, continuidad, trabajo con infinitos, retroalimentación de la física y simetría. Otro citó la siguiente historia de la vida:

Hace unas semanas hablé con Don Lincoln, un físico de Fermilab. Le pregunté: "¿Por qué las matemáticas son tan buenas para describir el universo?" Él respondió que los sistemas matemáticos pueden formularse de infinitas maneras, por lo que para cualquier universo que tenga relaciones causales, siempre puede encontrar una plataforma matemática que describa su física.

Otros lectores han descrito observaciones similares. Me parece que las matemáticas en sí mismas son un gran conjunto de leyes y técnicas que, debido a su abstracción, pueden encontrar aplicación en muchas áreas no relacionadas que tienen una estructura y dinámica similares, o interacción mutua de un tipo diferente. También tenemos la suerte de vivir en un universo en el que las matemáticas elegantes son útiles. Como señaló un lector: "Las matemáticas y las leyes de Newton serían poco prácticas si viviéramos en un universo con una entropía cercana al máximo".

Pero, ¿qué tan completamente pueden las matemáticas elegantes describir la naturaleza? Citaré un comentario de uno de los lectores en su totalidad:

No es necesario profundizar en la biología para descubrir que muchas representaciones matemáticas se están volviendo insuficientemente completas: química, ciencia de los materiales, física de la materia condensada. Por ejemplo, una molécula de agua no puede describirse analíticamente usando las herramientas de la mecánica cuántica por la misma razón que el problema de los tres cuerpos no está disponible para nosotros en la mecánica celeste. Áreas enteras de la ciencia, como la termodinámica y la mecánica estadística, existen porque algunos sistemas físicos, como un cubo de hielo en agua, son demasiado complejos para describir matemáticamente cada molécula de agua en hielo y en capacidad, sin mencionar los condensados ​​de Bose. -Einstein o superfluidez. La ley de Ohm es la versión electromagnética de la suma estadística bruta, y la ley de Hooke y los tensores de tensión son la versión elástica de la suma estadística bruta,y ambos se niegan a trabajar en un momento determinado o después de un cierto límite debido a la dependencia de la corriente eléctrica de la temperatura y el material, y los efectos de la deformación irreversible en cuerpos físicos bajo carga pesada.

La razón de la simplicidad de la mayoría de las matemáticas utilizadas en física es que es una suma estadística cruda o una simplificación seria de los fenómenos físicos.

¿Por qué nos gustan tanto las matemáticas elegantes?


Uno de los lectores tituló su comentario "la elegancia es el menor gasto de energía del cerebro" y escribió:

El sentimiento de "eureka!", La reducción de la alta complejidad al simple principio de organizar las neuronas, o la "ley matemática" en muchos problemas es un ejemplo de simplificación que da ese sentimiento de euforia. el ahorro de energía. Este principio puede estar relacionado con el principio KISS (Keep It Simple, Stupid), así como con la declaración de Einstein: "Todo debe reducirse a la forma más simple posible, pero no vale la pena simplificarlo más".

La comprensión por parte de nuestro cerebro de que hay muchos fenómenos conectados entre sí en la naturaleza da lugar a tal simetría que la autoorganización de nuestras neuronas percibe como una forma de almacenar información con un consumo mínimo de energía.

Como escribí en mi artículo sobre este tema, la navaja y la agradable sensación de Occam en el momento de "Eureka!" están firmemente registrados en nuestro cerebro y son manifestaciones de una conexión cognitivo-emocional única que nos hace racionales. Supongo que cada vez que en nuestra cabeza disminuye la cantidad que llamo "entropía psíquica", obtenemos una recompensa. Esta entropía psíquica no es solo la compacidad, sino también la organización de conexiones invisibles hasta este punto, y la sensación de que todo se combina en un solo todo. La evolución nos ha hecho inteligentes, proporcionando pequeñas recompensas internas después de resolver cada acertijo, una estrategia muy efectiva.

Entonces, ¿tiene razón Wigner?


Si y no. Tenía razón en que en las descripciones matemáticas de algunos problemas físicos hay patrones abstractos y simetrías, y luego las matemáticas muestran todo su poder. Sin embargo, existen tales áreas, tanto en física como en otras ciencias complejas, cuando esto no funciona. Quizás Wigner era un poco místico, o un "patriota de las matemáticas", y exageró un poco el problema en su ensayo.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

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