Una corriente constante de descubrimientos relacionados con ecuaciones fluidas
Un sorprendente descubrimiento experimental relacionado con el comportamiento de los fluidos desencadenó una ola de evidencia matemática.
Los complejos flujos de líquido en una taza de té inspiraron a los científicos a obtener pruebas importantes: elprogreso científico no siempre se mueve en línea recta. Los investigadores comienzan a tratar algunos problemas y luego los abandonan. Los resultados ya no inspiran. Podría tomar décadas formar una teoría.Pero a veces la acumulación de conocimiento científico es directa y un descubrimiento da lugar a otro, como si cayeran fichas de dominó.Algo similar ha sucedido recientemente en el campo de las matemáticas que estudian la mecánica de fluidos. El sorprendente descubrimiento experimental de 2013 lanzó una serie de pruebas matemáticas que destruyeron ideas centenarias."Fue una historia muy dinámica y sorprendente", dijo Alexander Kiselev, matemático de la Universidad de Duke, coautor de una de las pruebas.Los descubrimientos se basan en las ecuaciones de Euler formuladas por Leonard Euler en 1757. Los matemáticos y físicos los usaron para simular el comportamiento de los fluidos a lo largo del tiempo. Si arrojas una piedra al estanque, ¿cómo se moverá el fluido en cinco segundos? Las ecuaciones de Euler ayudan a responder esta pregunta.Pero no literalmente. Las ecuaciones de Euler describen un mundo idealizado en el que un fluido tiene varias propiedades que no se encuentran en la realidad. Por ejemplo, las ecuaciones suponen la ausencia de viscosidad en los líquidos (los flujos internos no crean fricción), así como la incompresibilidad (no puede empujar un líquido a un volumen más pequeño de lo que ya se necesita).En este mundo idealizado, estas ecuaciones usan las leyes de movimiento de Newton para predecir el estado futuro de un fluido. Los matemáticos que estudian las ecuaciones de Euler finalmente necesitan entender si siempre funcionan. ¿Existen escenarios que causen que las ecuaciones se descompongan y eviten que describan el comportamiento del fluido en el futuro?En 2013, un par de matemáticos decidieron encontrar ese escenario. Thomas Howe, del Instituto de Tecnología de California, y Guo Luo, de la Universidad de la Ciudad de Hong Kong, practicaron simulaciones digitales en una computadora. Dieron una descripción numérica del estado inicial del fluido e instruyeron a la computadora para que aplicara las ecuaciones de Euler para determinar el movimiento de este fluido en el futuro.Howe y Luo se concentraron en un escenario específico, que puede repetirse casi exactamente incluso en casa. Antes de analizar las formas sorprendentemente complejas en que los líquidos pueden moverse, hagamos un experimento que todos puedan repetir.Imagine una taza cilíndrica con un fondo plano en el que se vierte el té. Algunas hojas de té descansan en el fondo. Revuelva el té en el sentido de las agujas del reloj. Primero, todo el líquido comenzará a rotar como un todo y llevará consigo las hojas de té.Sin embargo, algún tiempo después del inicio del movimiento, la fuerza centrífuga del fluido giratorio comenzará a interactuar con las paredes de la copa, creando, como dicen los físicos, un "flujo secundario", un movimiento más complejo que se produce en respuesta a la agitación inicial. Estas corrientes secundarias, que bajan a lo largo de las paredes del cilindro y suben en el centro, demuestran bien las hojas de té: se juntan en el centro en el fondo de la taza y permanecen prácticamente inmóviles, a pesar de que el té continúa girando a su alrededor.Este fenómeno, que se ha observado durante muchos siglos, se llama la " paradoja de la hoja de té ". En 1926, Albert Einstein dio la primera explicación matemática de este comportamiento.. , , . , . : . , . , , , , . , , , , . , , , . , .
- Albert Einstein (de un informe en una reunión de la Academia de Ciencias de Prusia el 7 de enero de 1926)
El guión revisado por Howe y Luo es un poco más complicado. Imagine el fluido en el cilindro nuevamente. Pero ahora el líquido en la parte superior del cilindro gira en sentido horario, como en una taza de té, y en la parte inferior, en sentido antihorario. Este movimiento crea varios flujos secundarios. Aparecen remolinos que se mueven hacia arriba y hacia abajo a lo largo de las paredes del cilindro."Desde arriba, el líquido gira en espiral hacia abajo, y desde abajo gira en la dirección opuesta", dijo Howe.Comenzando una simulación numérica, Howe y Luo vieron que algo inesperado sucedía en el medio de la copa, donde se encuentran corrientes conflictivas. Las ecuaciones de Euler indican que la vorticidad del líquido en este lugar aumenta extremadamente. Su simulación mostró que, según las ecuaciones de Euler, la vorticidad en este lugar crece tan rápido que se vuelve infinita en un tiempo finito.
Tales valores infinitos se llaman singularidades. Si las ecuaciones de Euler dan una singularidad, se rompen o, como dicen los matemáticos, "explotan", y ya no pueden describir el movimiento futuro del fluido. Las ecuaciones no se pueden calcular con valores infinitos.La apertura de Hou y Luo causó sensación. Durante más de 200 años, los matemáticos han buscado escenarios que rompan las ecuaciones de Euler. Muchos llevaron a cabo simulaciones numéricas que, en su opinión, deberían haber llevado a singularidades, pero ninguno de ellos pasó la prueba en computadoras rápidas. Hou y Luo parecen haber encontrado finalmente tal escenario."Muchos investigadores consideran que este escenario para obtener una singularidad es el más convincente de todos", dijo Vladimir Sverak, de la Universidad de Minnesota.Sin embargo, las simulaciones por computadora son solo evidencia. Esto no es una prueba."Las computadoras son limitadas en el sentido de que no pueden operar con cantidades infinitamente pequeñas", dijo Kiselev. "Los resultados pueden parecer convincentes, pero no podemos estar seguros de ellos". Quizás si tomas una mejor supercomputadora, puedes ver cómo todo se derrumba ".Por lo tanto, los matemáticos se apresuraron a verificar si es posible demostrar que el resultado de Hou y Luo es correcto desde un punto de vista matemático.
Thomas Howe, matemático del Instituto de Tecnología de CaliforniaKiselev y Sverak, se enteró de esta simulación en 2013 durante la presentación de Howe en la conferencia de verano.en Stanford Esto los llevó a comenzar a trabajar en uno de los problemas importantes sin resolver relacionados con la tasa de crecimiento de la vorticidad en los fluidos bidimensionales. Se las arreglaron para probar una hipótesis de larga data con respecto a las propiedades de la tasa de crecimiento al considerar el escenario que Howe y Luo usaron en su simulación."Es como si tuviéramos un objetivo por el que podríamos luchar", dijo Kiselev. - Una cosa es cuando cazas y no ves el objetivo. Y es completamente diferente cuando sabes dónde está ella.La evidencia posterior amplió la comprensión matemática de la formación de singularidades en las ecuaciones de Euler. En 2019, Tarek Elgindi de la Universidad de California en San Diego publicó dos pruebas.describiendo las condiciones bajo las cuales las ecuaciones de Euler dan singularidades. Y el trabajo anterior de Kiselev y Sverak fue uno de sus puntos de partida.Las pruebas de Elgindi usan condiciones especiales, y no dan una comprensión completa de la formación de singularidades en las ecuaciones de Euler que los matemáticos necesitan. Sin embargo, estos son algunos de los resultados más sólidos logrados en esta área.A medida que los remolinos en una corriente cambian sus propiedades, el trabajo de Elgindi llevó a los científicos a una nueva ola de descubrimientos matemáticos. En octubre de 2019, Hou y Jiajie Chen adaptaron algunos de los métodos de Elgindi para crear pruebas matemáticas rigurosas.Un escenario estrechamente relacionado con lo que se utilizó en el experimento de 2013. Probaron que en una versión ligeramente modificada del escenario, aparece la singularidad en las ecuaciones de Euler."Tomaron las ideas de Elgindi y las aplicaron al escenario de 2013", dijo Sverak. El circulo esta cerrado.Por supuesto, todavía hay mucho trabajo. Ciertas características técnicas de la nueva prueba de Howe no le permiten determinar la existencia de una singularidad exactamente en la situación que modeló en 2013. Pero después de un período de trabajo excepcional de seis años y con un nuevo apoyo, Howe cree que pronto podrá superar estas dificultades. "Me parece que ya estamos muy cerca", dijo.Source: https://habr.com/ru/post/undefined/
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