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Der Doktorand hat vor einem halben Jahrhundert ein topologisches Problem gelöst

Lisa Picchirillo brauchte weniger als eine Woche, um eine Antwort auf die alte Frage nach einem seltsamen Knoten zu finden, die der legendäre Mathematiker John Conway vor mehr als fünfzig Jahren entdeckt hatte.




Im Sommer 2018 hörte Lisa Picchirillo auf einer Konferenz über niedrigdimensionale Topologie und Geometrie von einem kleinen mathematischen Problem. Sie schien ein gutes Testfeld für einige der Techniken zu sein, die Lisa als Doktorandin an der University of Texas in Austin entwickelt hatte. „Ich habe mir tagsüber nicht erlaubt, daran zu arbeiten“, sagte sie, „weil ich diese Aufgabe nicht als echte Mathematik angesehen habe. Ich habe sie eher als Hausaufgabe wahrgenommen. “ Die Frage war: Ist der Conway-Knoten - ein komplexes Seilgewebe, das vor mehr als fünfzig Jahren vom legendären Mathematiker John Horton Conway entdeckt wurde - ein Stück eines höherdimensionalen Knotens. "Sliceness" ist eine der ersten natürlichen Fragen, auf die sich Spezialisten spezialisiert haben



Knotentheorien fragen nach Knoten aus hochauflösenden Räumen, und Mathematiker konnten sie für viele tausend Knoten mit nicht mehr als 12 Schnittpunkten beantworten - alle bis auf einen. Der Conway-Knoten, der 11 Kreuzungen hat, reizt Mathematiker seit vielen Jahrzehnten.

Vor Ende der Woche war Picchirillo bereit zu antworten: Der Conway-Knoten ist nicht der erwähnte Abschnitt. Einige Tage später, als sie sich mit Cameron Gordon, einem Professor an der Universität von Texas, traf, erwähnte sie beiläufig ihre Entscheidung.

"Ich sagte, dass?? Ja, es sollte sofort in die Annalen gehen! “ - sagte Gordon und bezog sich auf eine der größten mathematischen Zeitschriften, Annals of Mathematics.

"Er fing an zu schreien: Warum bist du darüber nicht glücklich?" Sagte Pichchirillo, jetzt Postdoc an der Brandeis University. "Er ist wie verrückt."

"Ich glaube nicht, dass sie gemerkt hat, wie alt und berühmt diese Aufgabe war", sagte Gordon.

BeweisePiccirillo erschien im Februar in der Zeitschrift Annals of Mathematics. Diese Arbeit und ihre anderen Erfolge verschafften ihr einen Platz am Massachusetts Institute of Technology, wo sie am 1. Juli ihre Arbeit aufnehmen wird, nur 14 Monate nachdem sie ihre Promotion verteidigt hat.

Die Frage, ob der Conway-Knoten zum Cut-Off gehörte, war nicht nur deshalb berühmt, weil er so lange unbeantwortet blieb. Durch abgeschnittene Knoten können Mathematiker die seltsame Natur des vierdimensionalen Raums untersuchen, in dem es manchmal möglich ist, zweidimensionale Kugeln so zerknittert zu einem Knoten zu verbinden, dass sie nicht geglättet werden können. Nüchternheit ist "mit einigen der tiefsten Probleme der vierdimensionalen Topologie verbunden", sagte Charles Livingston , emeritierter Professor an der Indiana University.

"Das Problem der Conway-Knotenscherung war ein Kriterium für viele moderne Entwicklungen im Zusammenhang mit allgemeinen Aspekten der Knotentheorie", sagte Joshua Green vom Boston College, Diplom-Supervisor Piccirillo. "Es war sehr schön zu sehen, wie ein Mann, den ich schon seit einiger Zeit kenne, plötzlich dieses Schwert aus einem Stein zog."

Magische Kugeln


Die meisten von uns stellen sich den Knoten als ein Stück verschlungenes Seil mit zwei Enden vor. Mathematiker arbeiten jedoch mit Seilen, deren Enden miteinander verbunden sind, wodurch der Knoten nicht entwirrt werden kann. Im vergangenen Jahrhundert haben diese Knotenschleifen dazu beigetragen, Fragen aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft zu untersuchen, von der Quantenphysik über die Struktur der DNA bis hin zur Topologie dreidimensionaler Räume.


In diesem Video von 1990 erklärt John Conway, wie er in der High School gezeigt hat, dass sich zwei Knoten nicht gegenseitig aufheben.

Wenn wir jedoch die Zeit als Maß berücksichtigen, wird unsere Welt vierdimensional sein, daher ist es natürlich, nach der Existenz einer geeigneten Theorie von Knoten in zu fragen 4D. Und das bedeutet nicht, dass wir einfach alle dreidimensionalen Knoten nehmen und in den vierdimensionalen Raum schieben können: Wenn Sie vier Dimensionen haben, können Sie jede Schleife entwirren, wenn Sie beginnen, die Seilstücke in der vierten Dimension übereinander zu heben.

Um einen Knoten in 4D zu knüpfen, benötigen Sie eine zweidimensionale Kugel, keine eindimensionale Schleife. So wie die drei Dimensionen genügend Platz zum Binden von Schleifen bieten, aber nicht zum Lösen, bieten die vier Dimensionen einen Platz zum Binden von Kugeln, wie es Mathematiker erstmals in den 1920er Jahren getan haben.

Es ist schwierig, sich eine gebundene Kugel im vierdimensionalen Raum vorzustellen, aber dafür ist es nützlich, sich zunächst eine normale Kugel in 3D vorzustellen. Wenn Sie es schneiden, sehen Sie eine ungebundene Schleife. Wenn Sie jedoch die verbundene Kugel in 4D schneiden, sehen Sie eine verbundene Schleife (oder möglicherweise eine nicht verbundene Schleife oder mehrere miteinander verbundene Schleifen - dies hängt davon ab, wo geschnitten werden soll). Jeder Knoten, der durch Schneiden einer verbundenen Kugel erhalten werden kann, wird als abgeschnitten betrachtet. Einige Knoten sind nicht abgeschnitten - zum Beispiel ein Knoten mit drei Schnittpunkten, Trifolium.



Schnittknoten „überbrücken die dreidimensionalen und vierdimensionalen Geschichten der Knotentheorie“, sagte Green.

Es gibt jedoch ein Problem, das den Reichtum und die Spezifität der vierdimensionalen Geschichte aufzeigt: In der vierdimensionalen Topologie gibt es zwei verschiedene Optionen für die Scherfestigkeit. Mehrere revolutionäre Arbeiten in den frühen 1980er Jahren (für die Michael Friedman und Simon Donaldson den Fields Prize erhielten) zeigten, dass der vierdimensionale Raum nicht nur glatte Kugeln enthält, die wir uns intuitiv vorstellen. Es hat auch zerknitterte Kugeln, die nicht geglättet werden können. Und die Frage nach dem Knotenschnitt hängt davon ab, ob diese zerknitterten Kugeln berücksichtigt werden sollen.

"Dies sind sehr, sehr seltsame Objekte, fast magisch", sagte Shelley Harveyvon der Rice University (aus Harveys Bericht im Jahr 2018 erfuhr Piccirillo zum ersten Mal von Conways Knoten).

Diese seltsamen Sphären sind kein Fehler der vierdimensionalen Topologie, sondern ihre Besonderheit. Topologische Cut-Off-Knoten, aber keine „glatt geschnittenen“ Knoten - dh Knoten, die Scheiben zerknitterter Kugeln sind - ermöglichen es Mathematikern, sogenannte Knoten zu erstellen "Exotische" Varianten des üblichen vierdimensionalen Raumes. Aus topologischer Sicht sehen diese Kopien des vierdimensionalen Raums wie gewohnt aus, sind aber gleichzeitig unwiderruflich zerknittert. Die Existenz solcher exotischen Räume unterscheidet die vierte Dimension von allen anderen.

Das Cut-Off-Problem ist die „kleinste Sonde“ für diese exotischen vierdimensionalen Räume, sagte Green.

Im Laufe der Jahre der Forschung haben Mathematiker eine ganze Reihe von Knoten entdeckt, die topologisch, aber nicht reibungslos geschnitten wurden. Bei Knoten mit einer Anzahl von Schnittpunkten von bis zu 12 wurde dies jedoch anscheinend nicht beobachtet - mit der möglichen Ausnahme des Conway-Knotens. Mathematiker konnten den Grenzwert aller anderen Knoten mit einer Anzahl von Schnittpunkten von nicht mehr als 12 ermitteln, erhielten jedoch in keiner Weise den Conway-Knoten.

Conway, der letzten Monat an einem Coronavirus starb, war bekannt für seine wichtigen Beiträge zu einer Vielzahl von Bereichen der Mathematik. In den 1950er Jahren interessierte er sich zum ersten Mal für Knoten und entwickelte eine einfache Möglichkeit, fast alle Knoten mit einer Anzahl von Kreuzungen bis zu 11 aufzulisten (frühere vollständige Listen enthielten nur Knoten mit einer Anzahl von Kreuzungen bis zu 10).

Ein Knoten auf dieser Liste stand jedoch auseinander. "Ich denke, Conway hat erkannt, dass dieser Knoten etwas Besonderes ist", sagte Green.

Der Conway-Knoten, wie er später genannt wurde, ist ein topologischer Abschnitt - Mathematiker haben dies bereits in den 1980er Jahren als Teil einer Reihe revolutionärer Entdeckungen verstanden. Sie konnten jedoch nicht herausfinden, ob es sich um einen glatten Schnitt handelte. Sie vermuteten, dass dies nicht der Fall war, da er kein Merkmal wie das „Band“ hatte, das normalerweise in glatten Knoten beobachtet wird. Ein anderes Merkmal gab jedoch nicht allen Versuchen eine Chance zu zeigen, dass dieser Schnitt nicht glatt ist.

Der Conway-Knoten hat nämlich einen brüderlichen Knoten oder, wie sie in der Theorie der Knoten sagen, eine Mutation. Wenn Sie einen Conway-Knoten auf Papier zeichnen, einen bestimmten Teil davon ausschneiden, ein Fragment umdrehen und den Knoten wieder verbinden, erhalten Sie einen weiteren Knoten, den Kinoshita-Terasaki-Knoten .


Um zu beweisen, dass der Conway-Knoten kein glatter Schnitt ist, wurden Wissenschaftler durch seine Ähnlichkeit mit dem Kinoshita-Terasaki-Knoten verhindert. Lisa Picchirillo fand heraus, wie man einen neuen, komplexeren Begleiter an den Conway-Knoten bindet.

Das Problem ist, dass dieser neue Knoten ein glatter Schnitt ist. Und da der Conway-Knoten einem glatten Slice sehr ähnlich ist, werden die Auswirkungen aller Werkzeuge (Invarianten) vermieden, die von Mathematikern verwendet werden, um Knoten zu bestimmen, die keine Slices sind.

"Als eine neue Invariante erschien, haben wir versucht, sie auf dem Conway-Knoten zu testen", sagte Green. "Und dies ist ein so einzigartiges hartnäckiges Beispiel, das uns unabhängig von der Invariante nicht gesagt hat, ob es sich um eine Scheibe handelt oder nicht."

Conways Knoten "fällt in den Schnittpunkt blinder Flecken" dieser Instrumente, sagte Picchirillo.

Ein Mathematiker, Mark Hughes von der Brigham Young University, erstellte ein neuronales Netzwerk unter Verwendung von Knoteninvarianten und anderen Informationen, um Eigenschaften wie Scherung vorherzusagen. Für die meisten Knoten macht das Netzwerk klare Vorhersagen. Wissen Sie, was sie über das glatte Abschneiden des Conway-Knotens gesagt hat? 50 bis 50.

"Im Laufe der Zeit begann dieser Knoten unter anderem als uns nicht unterworfen hervorzuheben", sagte Livingston.

Tricky Turns


Picchirillo mag die visuelle Intuition, die mit der Knotentheorie verbunden ist, aber sie glaubt nicht, dass sie in erster Linie eine Theoretikerin auf diesem Gebiet ist. "Ich interessiere mich mehr für dreidimensionale und vierdimensionale Figuren, aber ihre Studie ist eng mit der Theorie der Knoten verknüpft, also mache ich es ein bisschen", schrieb sie in einer E-Mail.

Als sie anfing, Mathematik am College zu studieren, war sie kein "normales Wunderkind in Mathematik", sagte Elisenda Grisby , eine von Picchirillos Lehrern am Boston College. Grisby bemerkte zuerst die kreative Natur von Picchirillo. "Sie hat immer an die Richtigkeit ihres Standpunkts geglaubt."

Die Frage zu Conways Knoten kam zu Pichchirillo, als sie darüber nachdachte, ob die Knoten durch etwas anderes als Mutationen verbunden werden könnten. Jeder Knoten hat seinen sogenannten. Eine vierdimensionale Spur, die erhalten werden kann, wenn Sie den Knoten am Rand der vierdimensionalen Kugel platzieren und oben entlang des Knotens so etwas wie eine Kapuze nähen. Der Footprint des Knotens "codiert seinen Knoten ziemlich hart", sagte Gordon.



Verschiedene Knoten können dieselbe vierdimensionale Spur haben, und Mathematiker wussten bereits, dass solche Verwandten in den Spuren sozusagen immer den gleichen Schnittstatus haben - entweder sie sind geschnitten oder nicht. Piccirillo und Allison Miller , ein Postdoc der Rice University, zeigten dies jedochdass solche Spurenverwandten nicht unbedingt für alle Invarianten gleich aussehen, die zur Untersuchung der Scherung verwendet werden.

Dies zeigte Picchirillo den Weg zu der Strategie, die verwendet wurde, um zu beweisen, dass der Conway-Knoten nicht abgeschnitten ist: Wenn sie einen Trace-Verwandten für diesen Knoten erstellen könnte, wäre er möglicherweise eher bereit, mit einer der Schnittinvarianten zusammenzuarbeiten als mit dem Conway-Knoten selbst.

Der Bau solcher Verwandten ist eine schwierige Aufgabe, aber Picchirillo war ein Experte in diesem Bereich. "Ich mache das im Grunde", sagte sie. "Also bin ich einfach nach Hause gegangen und habe es getan."

Mit einer ausgeklügelten Kombination konnte Pichchirillo einen komplexen Knoten konstruieren, der dieselbe Spur wie der Conway-Knoten aufweist. Und für diesen Knoten wird ein Tool aufgerufen
Rasmussens „c-Invariante“ zeigt, dass es nicht reibungslos abgeschnitten wird - ebenso wie der Conway-Knoten.

"Sehr schöner Beweis", sagte Gordon. Ihm zufolge gab es keinen Grund zu der Annahme, dass der von Picchirillo geschaffene Knoten der Rasmussen-C-Invariante erliegen würde. "Der Ansatz hat jedoch funktioniert, was sogar überraschend ist."

Pichchirillos Beweise "gehen einher mit kurzen und unerwarteten Beweisen schwer fassbarer Ergebnisse, die Forscher auf diesem Gebiet schnell verdauen, bewundern und zu verallgemeinern versuchen können - ganz zu schweigen von der Frage, warum niemand so lange daran denken konnte". schrieb von Green in der E-Mail.

Fußabdrücke sind ein klassisches Werkzeug, das es seit mehreren Jahrzehnten gibt, aber Picchirillo hat es besser herausgefunden als andere, sagte Green. Ihm zufolge zeigte ihre Arbeit Topologen, dass die Spuren von Knoten unterschätzt werden. "Sie nahm einige leicht staubige Werkzeuge", sagte er. "Und jetzt folgen andere bereits ihrem Beispiel."

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