Get best of the week

Der Doktorand löste das Problem des „Conway Node“, um das sie jahrzehntelang kämpften

Bild

Lisa Piccirillo brauchte weniger als eine Woche, um eine langjährige Frage zu einem seltsamen Ort zu beantworten, den der legendäre John Conway vor mehr als einem halben Jahrhundert entdeckt hatte.

Im Sommer 2018 hörte Lisa Picchirillo auf einer Konferenz über niedrigdimensionale Topologie und Geometrie von einem niedlichen kleinen mathematischen Problem. Es sah nach einem guten Testfeld für einige der Methoden aus, die sie als Doktorandin an der University of Texas in Austin entwickelt hatte.

„Ich habe mir nicht erlaubt, an diesem Tag zu arbeiten“, sagte sie, „weil ich dies nicht als echte Mathematik betrachtete. Ich dachte, es wären meine Hausaufgaben. “

Die Frage ist, ob der Conway-Knoten - ein Hebel, der vor mehr als einem halben Jahrhundert vom legendären Mathematiker John Horton Conway geöffnet wurde - ein Teil eines höherdimensionalen Knotens ist. „Sliceness“ ist eine der ersten natürlichen Fragen, die Knotentheoretiker zu Knoten in Räumen mit höheren Dimensionen stellen, und Mathematiker konnten sie für alle Tausenden von Knoten mit 12 oder weniger Schnittpunkten beantworten, mit Ausnahme von einem. Der Conway-Knoten mit 11 Kreuzungen reizt seit Jahrzehnten Mathematiker.

Bild

Die von Lisa Pichchirillo vorgeschlagene Lösung des Problems des Conway-Knotens half ihr, eine feste Stelle am Massachusetts Institute of Technology zu bekommen.


In weniger als einer Woche hatte Picchirillo bereits die Antwort: Der Conway-Knoten ist kein „Slice“. Einige Tage später traf sie sich mit Cameron Gordon, einem Professor an der Universität von Austin, und erwähnte nebenbei ihre Entscheidung.

"Was?! Es kommt gerade in die Annalen! " - Gordon sagte unter Bezugnahme auf die "Annals of Mathematics", eine der besten Zeitschriften in dieser Disziplin.

Er fing an zu schreien: "Warum springst du nicht vor Freude?" Sagt Picchirillo, jetzt ein Doktorand an der Brandeis University. "Er hat sogar ein bisschen Angst."

"Ich glaube nicht, dass sie verstanden hat, was für ein altes und berühmtes Problem es ist", sagte Gordon.

Piccirillo Beweiserschien im Februar in den Annals of Mathematics. Zusammen mit ihrer anderen Arbeit bot dieser Artikel ihr ein dauerhaftes Stellenangebot am Massachusetts Institute of Technology, das am 1. Juli beginnt, nur 14 Monate nach Abschluss ihrer Promotion.

Die Frage nach dem Abschneiden des Conway-Knotens war nicht nur bekannt, wie lange er ungelöst blieb. Knotenscheiben geben Mathematikern die Möglichkeit, die seltsame Natur des vierdimensionalen Raums zu erkunden, in dem zweidimensionale Kugeln zu einem Knoten verbunden werden können, manchmal so zerknittert, dass sie nicht geglättet werden können. Laut Charles Livingston, emeritierter Professor an der Indiana University, ist Sheerness "derzeit mit einigen der tiefsten Probleme in der vierdimensionalen Topologie verbunden".

"Diese Frage, ob Conways Knoten eine Scheibe ist, war eine Art Zusammenbruch für viele moderne Entwicklungen auf dem allgemeinen Gebiet der Knotentheorie", sagte Joshua Greene vom Boston College, der Picchirillos Abschlussarbeit während ihrer Studienzeit beaufsichtigte. "Ich war sehr erfreut zu sehen, wie jemand, den ich so lange gekannt hatte, plötzlich ein Schwert aus einem Stein zog."

magischer Ball


Während die meisten von uns denken, dass ein Knoten in einem Stück Schnur mit zwei Enden existiert, denken Mathematiker, dass diese beiden Enden miteinander verbunden sind, so dass der Knoten nicht entwirrt werden kann. Im letzten Jahrhundert haben diese Knotenzyklen dazu beigetragen, verschiedene Themen zu beleuchten - von der Quantenphysik über die Struktur der DNA bis hin zur Topologie des dreidimensionalen Raums.


John Conway erklärte 1990, wie er in der High School zeigte, warum zwei Knoten sich nicht ausgleichen können.

Aber unsere Welt ist vierdimensional, wenn wir die Zeit als Maß einbeziehen. Daher ist es natürlich zu fragen, ob es eine entsprechende Knotentheorie im 4D-Raum gibt. Es geht nicht nur darum, alle Knoten, die wir im dreidimensionalen Raum haben, in den 4D-Raum einzutauchen: Mit vier Dimensionen, die sich in einem Kreis bewegen, kann jede Knotenschleife gelöst werden, wenn sich die Fäden in der vierten Dimension übereinander bewegen .

Um ein knotiges Objekt im vierdimensionalen Raum zu erstellen, benötigen Sie eine zweidimensionale Kugel, keine eindimensionale Schleife. So wie die drei Dimensionen genug Platz bieten, um geknotete Schleifen zu bauen, aber nicht genug Platz, um sie zu entwirren, bieten die vier Dimensionen eine solche Umgebung für die verknoteten Kugeln, die Mathematiker erstmals in den 1920er Jahren gebaut haben.

Es ist schwierig, eine verknotete Kugel im 4D-Raum zu visualisieren, aber es hilft, zuerst über eine reguläre Kugel im 3D-Raum nachzudenken. Wenn Sie es durchschneiden, sehen Sie eine lose Schleife. Wenn Sie jedoch eine geknotete Kugel im 4D-Raum schneiden, sehen Sie eine geknotete Schleife (oder möglicherweise eine nicht erkennbare Schleife oder eine Verknüpfung mehrerer Schleifen, je nachdem, wo Sie schneiden). Jeder Knoten, den Sie durch Schneiden einer geknoteten Kugel erstellen können, wird als „Slice“ bezeichnet. Einige Knoten sind nicht geschnitten, z. B. ein Knoten mit drei Verbindungsstellen, der als Kleeblatt bezeichnet wird.

Schnittknoten "bieten eine Brücke zwischen dreidimensionalen und vierdimensionalen Geschichten der Knotentheorie", sagte Green.

Aber es gibt eine Falte, die den Reichtum und die Originalität einer vierdimensionalen Geschichte verleiht: In der 4D-Topologie gibt es zwei verschiedene Versionen dessen, was es bedeutet, geschnitten zu werden. In einer Reihe revolutionärer Entwicklungen in den frühen 1980er Jahren (die Michael Freedman und Simon Donaldson Fields Medaillen einbrachten) entdeckten Mathematiker, dass der 4D-Raum nicht nur glatte Kugeln enthält, die wir intuitiv visualisieren, sondern auch Kugeln, die so allgegenwärtig zerknittert sind Sie konnten niemals reibungslos gebügelt werden. Die Frage, welche Knoten ein Slice sind, hängt davon ab, ob Sie diese zerknitterten Kugeln einbeziehen.

"Dies sind sehr, sehr seltsame Objekte, die durch Magie zu existieren scheinen", sagte Shelly Harvey von der Rice University. (Bei Harveys Rede im Jahr 2018 erfuhr Picchirillo zum ersten Mal von dem Problem des Conway-Knotens.)

Diese seltsamen Kugeln sind kein Fehler der vierdimensionalen Topologie, sondern ein Merkmal. Knoten, die „topologisch geschnitten“, aber nicht „glatt geschnitten“ sind - das heißt, sie sind ein Schnitt einer zerknitterten Kugel, aber nicht glatt -, ermöglichen es Mathematikern, die sogenannten „exotischen“ Versionen des gewöhnlichen vierdimensionalen Raums zu konstruieren. Diese Kopien des vierdimensionalen Raums sehen aus topologischer Sicht genauso aus wie der normale Raum, sind jedoch unwiederbringlich zerknittert. Die Existenz dieser exotischen Räume unterscheidet die vierte Dimension von allen anderen Dimensionen.

Das Problem der Glätte ist der „niedrigste dimensionale Sensor“ dieser exotischen vierdimensionalen Räume, sagte Green.

Im Laufe der Jahre haben Mathematiker eine Reihe von Knoten entdeckt, die topologisch, aber nicht reibungslos geschnitten wurden. Unter den Knoten mit 12 oder weniger Kreuzungen schien es jedoch keine zu geben - mit der möglichen Ausnahme des Conway-Knotens. Mathematiker konnten den Grenzzustand aller anderen Knoten mit 12 oder weniger Schnittpunkten berechnen, aber der Conway-Knoten entging ihnen.

Conway, der letzten Monat an COVID-19 gestorben war, war dafür bekannt, einflussreiche Beiträge zu einem Bereich der Mathematik nach dem anderen zu leisten. Als Teenager interessierte er sich zum ersten Mal in den 1950er Jahren für Knoten und entwickelte eine einfache Möglichkeit, fast alle Knoten mit bis zu 11 Kreuzungen aufzulisten (frühere vollständige Listen erreichten nur 10 Kreuzungen).

Es gab einen Knoten auf der Liste, der auffiel. "Conway, glaube ich, hat verstanden, dass dies etwas ganz Besonderes ist", sagte Green.

Der Conway-Knoten, wie sie ihn zu nennen begannen, ist topologisch abgeschnitten - Mathematiker verstanden dies vor dem Hintergrund der revolutionären Entdeckungen der 1980er Jahre, konnten aber nicht verstehen, ob er reibungslos geschnitten wurde. Sie vermuteten, dass dies nicht der Fall war, da ihm eine Funktion namens "Rippen" zu fehlen schien, die normalerweise glatt geschnittene Knoten haben. Aber er hatte auch eine Eigenschaft, die ihn immun gegen jeden Versuch machte, zu zeigen, dass er nicht glatt geschnitten war.

Der Conway-Knoten hat nämlich eine Art Verwandten - die sogenannte Mutante. Wenn Sie einen Conway-Knoten auf Papier zeichnen, ein bestimmtes Stück Papier ausschneiden, ein Fragment umdrehen und dann seine freien Enden verbinden, erhalten Sie einen weiteren Knoten, den Kinoshita-Terasaka-Knoten .

Das Problem ist, dass sich herausstellte, dass diese neue Einheit reibungslos geschnitten wurde. Und da der Conway-Knoten so eng mit dem glatten Schnittknoten verbunden ist, kann er alle Werkzeuge (Invarianten genannt) täuschen, mit denen Mathematiker Knoten ohne Schnitt finden.

"Immer wenn eine neue Invariante erscheint, versuchen wir, sie auf dem Conway-Knoten zu überprüfen", sagte Green. ".

Conways Knoten "befindet sich am Schnittpunkt der toten Winkel" dieser verschiedenen Instrumente, sagte Piccirillo.

Ein Mathematiker, Mark Hughes von der Brigham Young University, schuf ein neuronales Netzwerk, das Knoteninvarianten und andere Informationen verwendet, um Eigenschaften wie Scherfähigkeit vorherzusagen. Für die meisten Knoten macht das Netzwerk klare Vorhersagen. Aber was ist seine Vermutung darüber, ob Conways Knoten glatt geschnitten ist? Fünfzig-Fünfzig.

"Im Laufe der Zeit wurde es zu einem Knoten, den wir nicht bewältigen konnten", sagte Livingston.

Intelligente Drehungen und Wendungen


Piccirillo genießt die visuelle Intuition, die die Knotentheorie mit sich bringt, aber sie sieht sich nicht primär als Knotentheoretikerin. "Das sind wirklich [dreidimensionale und vierdimensionale Formen], die mich aufregen, aber das Studium dieser Dinge ist tief mit der Theorie der Knoten verbunden, deshalb mache ich auch ein wenig davon", schrieb sie in einer E-Mail.

"Als sie anfing, Mathematik am College zu studieren, war sie kein" normales Wunderkind für goldene Kinder ", sagte Elisenda Grigsby, eine von Pichchirillos Professoren am Boston College. Höchstwahrscheinlich war es Kreativität, die Pichchirillo die Aufmerksamkeit von Grigsby auf sich zog. "Sie hat wirklich an ihren Standpunkt geglaubt, und das war schon immer so."

Piccirillo wurde mit der Frage nach dem Conway-Knoten konfrontiert, als sie über eine andere Art nachdachte, zwei Knoten neben einer Mutation zu verbinden. Jeder Knoten hat eine entsprechende vierdimensionale Form, die als Spur bezeichnet wird. Diese wird erstellt, indem der Knoten am Rand der 4D-Kugel platziert und eine Art Kappe entlang des Knotens darauf genäht wird. Die Knotenverfolgung "codiert diesen Knoten sehr stark", sagte Gordon.

Bild

Piccirillo, einer der ehemaligen Professoren, nannte Kreativität - eine seiner Hauptstärken als Mathematik.

Verschiedene Knoten können dieselbe vierdimensionale Spur haben, und Mathematiker wussten bereits, dass diese Zwillingsbrüder der Spur sozusagen immer den gleichen Slice-Status haben - entweder sind sie beide Slice oder beide sind keine Slice. Aber Piccirillo und Allison Miller, jetzt Rices Doktorandin, haben gezeigt, dass diese Spurengeschwister nicht unbedingt für alle Knoteninvarianten gleich aussehen, die zur Untersuchung der Glätte verwendet werden.

Dies deutete auf Picchirillos Strategie hin, zu beweisen, dass der Conway-Knoten kein Slice ist: Wenn er eine Trace-Affinität für den Conway-Knoten aufbauen könnte, würde er wahrscheinlich besser mit einer der Schnittinvarianten als mit dem Conway-Knoten funktionieren.

Es ist eine komplexe Angelegenheit, Spuren von Brüdern und Schwestern zu schaffen, aber Picchirillo war ein wahrer Experte. "Dies ist nur mein Beruf", sagte sie. "Also bin ich einfach nach Hause gegangen und habe es getan."

Dank einer Kombination genialer Kurven gelang es Piccirillo, einen komplexen Knoten zu erstellen, der den gleichen Platzbedarf wie der Conway-Knoten hat. Für diesen Knoten zeigt ein Werkzeug namens Rasmussen-S-Invariante, dass es sich nicht um einen glatten Schnitt handelt. Der Conway-Knoten kann also weder der eine noch der andere sein.

"Das ist wirklich ein guter Beweis", sagte Gordon. Ihm zufolge gab es keinen Grund zu der Annahme, dass der von Picchirillo konstruierte Knoten Rasmussens s-Invariante nachgeben würde. "Aber es hat funktioniert ... irgendwie überraschend."

Piccirillos Beweise "passen in die Form kurzer, erstaunlicher Beweise für schwer fassbare Ergebnisse, die Forscher in diesem Bereich schnell aufnehmen, bewundern und verallgemeinern können - ganz zu schweigen von der Frage, wie lange es gedauert hat", schrieb Green in einer E-Mail .

„Fußabdrücke sind ein klassisches Werkzeug, das es schon seit Jahrzehnten gibt, aber Picchirillo hat es besser verstanden als jeder andere“, bewundert Green. „Ihre Arbeit hat Topologen gezeigt, dass Fußabdrücke unterschätzt werden. Sie hob einige Werkzeuge auf, die vielleicht etwas staubig waren. Andere folgen jetzt seinem Beispiel. “


Bild
Erfahren Sie in SkillFactory-Onlinekursen, wie Sie einen begehrten Beruf von Grund auf neu erlernen oder Ihre Fähigkeiten und Ihr Gehalt verbessern können:




More articles:


All Articles