Acht Farben des Regenbogens: Über Farbe in Bezug auf Mathematik

Seit mehr als fünf Jahren veröffentlichen wir auf Habré Artikel zu verschiedenen Themen der Computer Vision. Meistens sind sie mit der Dokumentenerkennung verbunden, da wir immer sehr bemüht sind, Ihnen alles Coole und Neue mitzuteilen , was wir in Smart IDReader getan haben . Obwohl wir ehrlich versuchen, unser Wissen „universell“ zu präsentieren, damit Sie, unsere Habr-Leser, es problemlos in Ihren Projekten und Startups verwenden können. Heute haben wir uns entschlossen, weiter zu gehen und einem breiten Publikum ein grundlegendes mathematisch harmonisches Material zum Thema Farbe zu präsentieren, das in einfachen Worten dargestellt wird.

Farbdefinition

Schrödingers Definition kann als eine der erfolgreichsten Definitionen von Farbe angesehen werden: Farbe ist eine gemeinsame Eigenschaft von Licht unterschiedlicher spektraler Zusammensetzung, um das gleiche visuelle Gefühl hervorzurufen. Was bei dieser Definition wichtig ist, ist das Verständnis von Farbe, nicht als eine absolute Eigenschaft des Lichts, sondern als ein Phänomen, das vom Betrachter abhängt: Wenn zwei Lichtstrahlen dem Betrachter die gleichen Empfindungen verursachen, ist die Farbe dieselbe und ansonsten ist sie unterschiedlich.

Diese Definition kann jedoch nicht als vollständig erfolgreich bezeichnet werden. Schließlich kann es nur unter kolorimetrischen Bedingungen verwendet werden, dh speziell entwickelt, damit eine Person als Messgerät fungieren kann. Zum Beispiel schauen Sie in das Okular und Ihre Augen werden gleichmäßig mit dem Licht einer spektralen Komposition beleuchtet. In all den schwierigeren Situationen, zum Beispiel wenn man sich nur umschaut und ein rotes Hemd oder eine grüne Wiese sieht, stellt sich heraus, dass es nicht möglich ist, einfach die Empfindungen des Betrachters zu studieren und auf dieser Grundlage die Farbtheorie aufzubauen.

Wir wissen aus dem Verlauf der Physik dank Newton, dass im weißen Licht ein Regenbogen ist. Es manifestiert sich in der Streuung der Lichtbrechung in einem Prisma oder einer Suspension, die während des Pilzregens in der Luft auftritt. Dies geschieht wie folgt: Ein Prisma lenkt Licht mit unterschiedlichen Wellenlängen in verschiedene Richtungen, und wir sehen fast monochromatische (d. H. Eine einzelne Wellenlänge) Strahlung in jeder der Richtungen. Wenn wir durch verschiedene Richtungen gehen, sehen wir Licht mit unterschiedlichen Wellenlängen, wodurch wir uns wie ein Übergang von Violett über Blau, Gelb und dann zu Rot fühlen. Jede der Farben des Regenbogens entspricht direkt einer bestimmten Wellenlänge, dies bedeutet jedoch nicht, dass einzelne Wellenlängen im Allgemeinen allen Farben zugeordnet werden können.

Wie der Sensor funktioniert

Da die Farbe von der Wahrnehmung des Betrachters abhängt, wollen wir herausfinden, was ein Sensor ist.. Ein Sensor ist das Organ, das den Betrachter mit umfassenden visuellen Informationen versorgt. Für den Menschen ist dies das Auge und für den Roboter eine RGB-Kamera. Der Farbsensor zeichnet sich durch eine Reihe von lichtempfindlichen Elementen verschiedener Typen aus. Im Auge sind bei hellem Licht drei Arten von Zapfen aktiv: "blau", "rot" und "grün", von denen jeder seine eigene spektrale Empfindlichkeit hat. Die spektrale Empfindlichkeit ist eine Funktion der Größe der Antwort auf ein Quantum, dh auf einen Teil des Lichts einer bestimmten Wellenlänge. Beispielsweise ist der "blaue" Kegel am empfindlichsten für Wellenlängen im Bereich von 450 Nanometern. Wir können davon ausgehen, dass, wenn Strahlung eines Spektrums auf einen kleinen Bereich der Netzhaut fällt, drei Signale von diesem Bereich der Netzhaut ausgehen, drei nicht negative Werte, die zeigen, wie stark die „blauen“ im Durchschnitt auf diesem Bereich angeregt wurden"Rote" und "grüne" Zapfen. Somit projiziert die menschliche Netzhaut oder die lichtempfindliche Matrix der Kamera das Spektralsignal dreidimensionalFarbraum o, dessen Koordinaten angegeben sind$$$R$, $$$G$und $$$B$. Der Ursprung („Null“) darin ist die Abwesenheit von Strahlung - eine Situation, in der keiner der drei Rezeptortypen angeregt wird.

Farbe

Der Abstand von Null im Farbraum wird als Helligkeit bezeichnet , dies ist eine Leistungskennlinie. Wenn wir eine Lichtquelle nehmen und ihre Leistung erhöhen, bewegt sich der entsprechende Punkt im RGB-Farbraum in einer geraden Linie durch den Ursprung von Null weg. Die Hauptdiagonale, dh die Werte von Tripeln, bei denen die Farbkomponenten gleich sind$$$(R=G=B)$- Es ist eine achromatische Achse , auf der graue Farben liegen.

Zur weiteren Analyse entfernen wir die Helligkeit aus der Farbe. Projizieren Sie dazu zentral (mit dem Projektionszentrum auf Null) den gesamten Farbraum auf eine Ebene, die nicht durch Null verläuft. Alle Punkte im Farbraum, die sich nur in der Helligkeit unterscheiden, werden auf denselben Punkt in der Ebene projiziert. Wir erhalten eine Chroma-Ebene , und ein Koordinatenpaar auf dieser Ebene wird als Chroma bezeichnet , dh der Teil der Farbe, der nicht mit der Strahlungsleistung zusammenhängt.

Wie viele Farben hat der Regenbogen?

Betrachten wir nun alle Arten von Farben, die vom menschlichen Auge wahrgenommen werden, und fragen wir uns: Wie wird dieses Set aussehen, wenn wir es auf die Farbebene projizieren?

Führen Sie dazu zunächst alle Wellenlängen des sichtbaren Spektrums (von 380 bis 700 Nanometer) durch und wenden Sie die entsprechenden Punkte ( reine Spektralfarben ) auf die Farbebene an. Wir erhalten eine gekrümmte Kurve (siehe Abbildung ganz am Anfang des Artikels), die als Spektralort bezeichnet wird .

Für Mathematiker wird es interessant sein festzustellen, dass der Spektralort im RGB-Raum eine geschlossene tropfenförmige Kurve mit einem einzelnen Knick am Ursprung ist, die sich bei zentraler Projektion mit einem Zentrum am selben Ursprung in eine offene Kurve auf der Farbebene verwandelt.

Da der Sensor eine lineare Projektion aller Arten von Spektren im sichtbaren Bereich in den Farbraum liefert, können alle erreichbaren Kombinationen (R, G, B) als konvexe Kombination ("Mischung") der Reaktionen erhalten werden, die durch reine Farben erzeugt werden. Dies gilt auch für Projektionen auf der Farbebene. Somit sind Farben, die in der konvexen Hülle des Spektralorts liegen, physikalisch erreichbar . Und da der Spektralort einer Person keine Konkavitäten aufweist, wird er zu einer konvexen Hülle mit einem einzelnen Segment ergänzt, das seine Enden verbindet. Die resultierende Figur wird als Farbdreieck bezeichnet.Wie wir sehen, beträgt der Winkel an diesem „Dreieck“ tatsächlich nur zwei, und anstelle des dritten gibt es eine Rundung im Bereich von 520 Nanometern. Die Farben aller für eine Person sichtbaren Farben bilden also ein Farbdreieck - eine konvexe krummlinige Figur mit zwei Eckpunkten.

Wir betrachten nun den Schnittpunkt der achromatischen Achse im RGB-Raum mit der Farbebene. Dieser Punkt wird als neutral bezeichnet und entspricht Weiß. Jede Richtung vom neutralen Punkt bis zum Rand des Farbdreiecks legt den Farbton fest . Die Farbe eines Punktes am Rand wird als gesättigte Farbe eines bestimmten Tons bezeichnet, und alle Punkte zwischen neutral und gesättigt können als Mischung dieser gesättigten Farbe mit Weiß in unterschiedlichen Anteilen erhalten werden.

Wie aus der Figur ersichtlich ist, sind die meisten gesättigten Farben reine Spektralfarben, dh Punkte des Spektralorts, die der monochromen Strahlung verschiedener Farben des Regenbogens von 380 bis 700 Nanometer entsprechen. Auf einem geraden Liniensegment des Randes des Farbdreiecks von 700 bis 380 Nanometer sehen wir jedoch gesättigte Farben, die keiner reinen Farbe des Spektrums entsprechen. Dies sind magentafarbene Farben, die als nicht spektral bezeichnet werden . Lila Blüten können keiner einzelnen Wellenlänge zugeordnet werden, sie können jedoch als Sensorantwort auf eine Mischung aus roten und violetten Wellen erhalten werden.

Ist es möglich, die lila Farbe im Regenbogen zu sehen? Wir haben bereits herausgefunden, dass dies bei einem einzelnen Regenbogen nicht der Fall ist. Aber manchmal sind am Himmel doppelte Regenbogen verschiedener Art zu sehen. Unter ihnen befindet sich ein reflektierter Regenbogen über der Wasseroberfläche mit sehr niedriger Sonne. In einem solchen Regenbogen geht die violette Farbe wieder rot, orange und so weiter. Und an der Kreuzung von Rot und Lila können Sie ihre Mischung sehen - Lila. Es stellt sich heraus, dass der reflektierte Regenbogen acht Farben enthalten kann!

So sehen Sie nicht vorhandene Farben

Für diejenigen, die die Argumentation genau verfolgt haben, kann sich die Frage stellen: Was ist mit dem Teil der Farbebene, der sich außerhalb des Farbdreiecks befindet? Diese Punkte können sogar recht positive Koordinaten haben.$$$(R, G, B)$. Sind das die Farben? Kann eine Person eine Farbe sehen, die nicht durch spektrale Strahlung verursacht wird, die in ihr Auge fällt? Schwer zu sagen, aber vielleicht ja. Wenn zum Beispiel ein Ziegelstein auf den Kopf fällt und „Vögel“ und „Sterne“ erscheinen, ist es wahrscheinlich, dass einige der Farben, die er sieht, physisch unerreichbar sind. Dies liegt daran, dass im Moment der mechanischen Wirkung auf die Neuronen des Gehirns die Signale in ihnen ziemlich zufällig sind und gleichzeitig eine solche Kombination von Signalen auftreten kann, die niemals als Folge der Wirkung von Strahlung auf das menschliche Auge entsteht. Ebenso können wir davon ausgehen, dass eine Person nicht existierende Farben in einem Traum sehen kann.

Standardbeobachter

Wie oben erwähnt, hängt der Farbraum vom Betrachter ab. Wenn die Sensoren von zwei Beobachtern unterschiedlich auf Strahlung desselben Spektrums reagieren, werden die von ihnen konstruierten Farbräume (und auch die Farbdreiecke) unterschiedlich ausfallen. Daher wurde für numerische Experimente ein Standardbeobachter aufgezeichnet , dessen Empfindlichkeitskurven der Rezeptoren die menschliche Biochemie und Wahrnehmung gut modellieren sollen.

Für einen Standardbeobachter werden die Empfindlichkeitskurven normalisiert, so dass, wenn alle drei Arten von lichtempfindlichen Elementen von einer Quelle angeregt werden, die für jede der Wellenlängen die gleiche spektrale Helligkeit aufweist, dann$$$R-$, $$$G-$und $$$B-$Sensorreaktionen sind gleich. Dies bedeutet, dass weißes Tageslicht (das nur alle Wellenlängen mit ungefähr der gleichen spektralen Helligkeit enthält) auf die achromatische Achse des Farbraums fällt.

Was jedes Mädchen weiß

Wichtige Konsequenzen der Tatsache, dass die Farbwahrnehmung einer Person dreidimensional und die Spektralwelt unendlich dimensional ist, sind die Metamerie der Strahlung und die Metamerie der Farben .

Betrachten Sie zwei verschiedene weiße Lichter - Tageslicht und Leuchtstofflampen. Im Gegensatz zu Tageslicht ist die Leistung von Lumineszenzlicht nicht über das gesamte Spektrum verteilt, sondern in mehreren engen Abschnitten konzentriert. Diese Abschnitte wurden jedoch so ausgewählt, dass die Reaktionen der „blauen“, „roten“ und „grünen“ Kegel gleich waren, dh dass der Betrachter das Licht als weiß wahrnahm.





Wir sehen also, dass der Betrachter sowohl dort als auch dort eine weiße Farbe festlegt, obwohl die anfänglichen Spektren nichts damit zu tun haben - dies nennt man Metamerie. Es ist das Konzept der Metamerie, das in der Definition von Schro dinger verborgen ist: Wenn wir den Sensor fixieren, faktorisieren wir den Spektrumsraum so, dass einige Spektren durch dieselbe Sensorreaktion charakterisiert werden (und dementsprechend sagen wir, dass sie dieselbe Farbe haben), und einige - anders (wir sagen, dass ihre Farbe anders ist). Trotzdem ist es möglich, „zwei weiße Lichter“ zu unterscheiden - wenn wir ein Lumineszenzlicht durch ein Prisma führen, sehen wir einen „zerrissenen“ Regenbogen.

Wunder enden nicht dort. Es kann zwei Farben geben (notwendigerweise mit unterschiedlichen spektralen Eigenschaften), die bei Tageslichtreflexion zu derselben Sensorreaktion führen und Lumineszenz zu unterschiedlichen reflektieren. Oder umgekehrt. Das heißt, für die gleichen Farben tritt Metamerie in einem Licht auf, aber nicht in einem anderen. Und darin gibt es keine Psychologie, nur Mathematik. Und wir sprechen über ganz Lebenssituationen. Wahrscheinlich weiß jedes Mädchen, dass es sich nicht lohnt, einen Rock und eine Bluse zu kaufen, die separat unter fluoreszierender Beleuchtung gekauft wurden, in der Hoffnung, dass sie auf natürliche Weise zueinander passen, obwohl sie nicht weiß, warum.

Das alles ist schon etwas verwirrend, aber wir haben das Schlimmste noch nicht erreicht.

Was ist Farbe?

Die Hauptverwirrung ist, was wir Farbe drei verschiedene Dinge nennen.

Erstens nennen wir Farbe das Gefühl der Färbung . Wenn wir in einem dunklen Schrank nach einem Hemd suchen, sagen wir "Ich sehe ein rotes Hemd" und nicht "Ich sehe ein schwarzes Hemd", obwohl die vom Hemd im Dunkeln reflektierte Strahlung tatsächlich so schwach ist, dass es eher wie Schwarz aussieht. Die rote Farbe ist in diesem Fall ein Merkmal des Farbstoffs, der auf den Hemdstoff aufgetragen wird. Mathematisch kann Farbe als spektrale Eigenschaft angegeben werden - eine Funktion des Reflexionsvermögens in Abhängigkeit von der Wellenlänge.

Zweitens kann die Farbe als Lichtgefühl bezeichnet werden.erstellt von einer Lichtquelle. Zum Beispiel unterscheiden wir, wann eine Person einen grünen Teint hat und wann nur grünes Licht auf ihr Gesicht fällt. Die Beleuchtung wird durch die Spektralfunktion der Strahlungsintensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge bestimmt.

Und drittens gibt es Farbe in der kolorimetrischen Bedeutung, dh ein Gefühl der Strahlung, die in unsere Augen „geflogen“ ist. Da wir immer reflektiertes Licht beobachten, ist dies die Strahlung einer Lichtquelle, die vom beobachteten Objekt reflektiert und gleichzeitig verändert wird. Nach den Gesetzen der Physik ist seine Spektralfunktion das Produkt der Spektralfunktionen von Beleuchtung und Farbe:

$$

$$F(\lambda)=S(\lambda)\cdot\Phi(\lambda),$$

Wo $$$F\left(\lambda\right)$- Spektralfunktion der in das Auge eintretenden Strahlung, $$$S\left(\lambda\right)$- Spektralfunktion der Lichtquelle, $$$\Phi\left(\lambda\right)$- spektrale Charakteristik der Farbe des Objekts.

Farbkonsistenz

Beim Menschen ist der Mechanismus der Farbkonstanz bekannt - die Fähigkeit des visuellen Systems, die Farbe unter verschiedenen Lichtbedingungen zu bewerten. Dies ist eine evolutionär wichtige Fähigkeit: Zum Beispiel muss ein Affe wissen, ob die Frucht rot geworden ist oder ob das Sonnenuntergangslicht auf ihn gefallen ist. Um dieses Problem zu lösen, kann das menschliche visuelle System, das sogar unterschiedliche Signale von den Sensoren empfängt, die beiden Farben dennoch gleich, aber unterschiedlich beleuchtet finden. Dies ist ein Phänomen höherer Ordnung als die Metamerie. Es gehört zum Bereich der höheren Nervenaktivität und ist noch nicht ausreichend untersucht.

Wie gesagt, wir können davon ausgehen, dass von jedem Punkt des Sichtfelds aus 3 Zahlen in das Gehirn gelangen - die Reaktionen der Rezeptoren „blauer“, „roter“ und „grüner“ Kegel. Ihre Werte werden als Integral über die Wellenlänge angegeben:

$$

$$\vec{c}=\int_{0}^{\infty}{F\left(\lambda\right)\cdot\vec{\chi}\left(\lambda\right)d\lambda}=\int_{0}^{\infty}{S\left(\lambda\right)\cdot\Phi\left(\lambda\right)\cdot\vec{\chi}\left(\lambda\right)d\lambda},$$

Wo $$$\vec{c}$- Sensorantwortvektor $$$(R, G, B)$, $$$\vec{\chi}\left(\lambda\right)$- die Vektorfunktion der Empfindlichkeit der "Zapfen" von drei Typen.

Die Berechnung eines solchen Integrals erfolgt physikalisch, wenn Licht von einem Objekt reflektiert wird, und dann elektrochemisch, wenn Licht eine Reaktion von Netzhautrezeptoren hervorruft, was zu drei Zahlen führt, die die Farbe charakterisieren.

Um die Farbe eines Objekts zu bestimmen, löst das menschliche visuelle System das umgekehrte Problem: Für jeden Bildpunkt werden aus diesen drei Zahlen und möglicherweise dem System der Eigeneigenschaften bekannt Informationen über die spektralen Verteilungen des Reflexionsvermögens und der Helligkeit der Beleuchtung extrahiert.

Diese beiden Funktionen fallen als Produkt unter das Integral, sodass die Aufgabe, sie zu bestimmen, wie ein Spott aussieht. Dennoch kann argumentiert werden, dass die Farbkonsistenz bei einer Person funktioniert. Die Entwicklung von Farbkonstanzalgorithmen für das technische Sehen ist eine dringende wissenschaftliche Aufgabe.

Wo kann man dieses Wissen anwenden?

Bei Smart Engines verfügen wir nicht nur über seriöses Fachwissen in Bezug auf die Erkennung und Authentifizierung von Dokumenten . Wir beteiligen uns ständig an kundenspezifischen Projekten zu verschiedenen Themen der Bildverarbeitung . Daher wurde die im Artikel beschriebene Farbtheorie im Röntgenbereich angewendet, um Diamanterz in Jakutien zu sortieren. Die durch das Gestein hindurchtretende Strahlung wurde von zwei Detektoren aufgezeichnet, die für unterschiedliche Wellenlängenbereiche empfindlich waren. Es stellte sich heraus, dass alle Diamanten dieselbe Farbe haben, die sich von der Farbe des leeren Erzes unterscheidet. Eine solche "Färbung" machte es leicht, Diamanten zu identifizieren, die auf andere Weise nicht von Erz zu unterscheiden waren.

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