Mathematische Logik, mit deren Hilfe mehr Personen auf Coronavirus überprüft werden können

Schnelltests von Patienten während einer Pandemie sind von größter Bedeutung. Aber wenn es nicht genug COVID-19-Tests gibt [in Großbritannien] oder die Tests langsam sind, ist es dann möglich, einen Weg zu finden, um diesen Prozess zu verbessern? Als Mathematiker und Ingenieur fragte ich mich, ob ein Theoretiker irgendetwas tun kann, um Ärzten dabei zu helfen, die Anforderungen der WHO zur Überprüfung der maximal möglichen Anzahl von Patienten zu erfüllen .

Vielleicht gibt es eine Möglichkeit, viele Patienten mit einer kleinen Anzahl von Röhrchen zu testen. Anstatt für jeden Test ein Reagenzglas zu verwenden, könnten wir mehrere Röhrchen verwenden, um mehr Proben zu testen - wenn wir auf Logik zurückgreifen .

Die Idee ist einfach. Eine Probe von jedem unserer theoretischen Patienten wird in der Hälfte aller Röhrchen verteilt, die wir in verschiedenen Kombinationen haben. Wenn wir zehn Röhrchen haben, verteilen wir die Proben von jedem Patienten in fünf verschiedene Röhrchen und kombinieren sie unterschiedlich.

Jedes Reagenzglas mit einem negativen Ergebnis zeigt an, dass alle Patienten, deren Proben hineinfielen, ein negatives Ergebnis liefern. Tests mit einem positiven Ergebnis können Proben von mehreren positiven Patienten enthalten - und jeder einzelne Patient wird als positiv angesehen, wenn alle zugehörigen Röhrchen ein positives Ergebnis liefern.

Dieser Ansatz ist besonders effektiv in den frühen Stadien der Epidemie, wenn eine kleine Anzahl von Menschen ein positives Ergebnis erzielen kann.

Wir ändern den Ansatz

Je mehr Patienten infiziert werden, desto schwieriger ist es festzustellen, welcher von ihnen das Virus hat, da Reagenzgläser mit positivem Ergebnis Material von einer größeren Anzahl von Patienten enthalten. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Ansatz wie im folgenden Beispiel gezeigt beheben.

Nehmen wir an, wir haben sechs Reagenzgläser und 20 Patienten. Die Röhren sind in der Reihenfolge angeordnet und nummeriert: Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4, Nr. 5 und Nr. 6. Jedem Patienten wird eine sechsstellige Anzahl von Nullen und Einsen zugewiesen (im Binärsystem). Jede Ziffer entspricht einem bestimmten Röhrchen - 0 bedeutet, dass die Probe des Patienten nicht in dieses Röhrchen gelangt ist, und 1 bedeutet, dass der Patient dies getan hat.



Beispielsweise hat Patient Nr. 1 die Nummer [0 0 0 1 1 1], was bedeutet, dass nur die Röhrchen Nr. 4, 5 und 6 sein Material enthalten. Patient Nr. 2 erhielt die Nummer [0 0 1 0 1 1], was bedeutet dass seine Proben Röhrchen Nr. 3, 5 und 6 enthalten. Und so weiter für jeden der 20 Patienten.

Nachdem wir Proben von allen 20 Patienten in Reagenzgläser verteilt haben, senden wir sie zur Überprüfung. Wenn wir danach positive Tests für die Röhrchen Nr. 4, 5 und 6 erhalten, können wir sagen, dass nur der Patient Nr. 1 mit der Nummer [0 0 0 1 1 1] ein positives Ergebnis erzielt, da nur die Proben dieses Patienten zu drei hinzugefügt wurden von diesen Röhren Nr. 4, 5 und 6 und zu keinem anderen.

Nun der schwierigste Teil. Angenommen, wir haben positive Ergebnisse für die Röhrchen Nr. 3, 4, 5 und 6 erhalten. Wir können Patienten, deren Proben sich in den Röhrchen Nr. 1 und Nr. 2 befanden, sofort verwerfen, haben jedoch keine Gewissheit über den Rest, da wir diese Röhrchen haben Es gibt mehrere Möglichkeiten. Sind Patienten mit den Nummern [0 0 1 0 1 1] und [0 0 1 1 1 0] krank oder mit [0 0 0 1 1 1], [0 0 1 0 1 1] und [0 0 1 1 0] 1] oder sind sie alle zusammen? Alle diese Kombinationen ergeben ein positives Ergebnis für die Röhrchen Nr. 3, 4, 5 und 6. Ist es möglich, eine eindeutige Antwort darauf zu erhalten, welcher der Patienten krank ist?

Ja, aber nur, wenn der Test nicht nur ein positives oder negatives Ergebnis, sondern auch einen gewissen Grad an Positivität liefern kann - bestimmen Sie beispielsweise die Anzahl der Antikörper in der Probe. Dann können wir das Ausmaß der Positivität in verschiedenen Röhrchen vergleichen, um eine Vorstellung von der richtigen Kombination positiver Patienten zu erhalten.

Grad der Positivität

Zurück zu unserem Beispiel: Wenn die Positivität für die Röhrchen Nr. 4 und Nr. 5 gleich ist (zum Beispiel haben sie die gleiche Anzahl von Antikörpern), sich jedoch in den Röhrchen Nr. 3 und Nr. 6 unterscheidet, können wir schließen, dass Patienten [0 0 0 1 1 1] und [0 0 1 0 1 1] kann nicht positiv sein, da sich die Probe des ersten Patienten [0 0 0 1 1 1] in den Röhrchen Nr. 4 und Nr. 5 und die Probe des zweiten [0 0 1 0 1 1] in Röhrchen befindet Nr. 5 (aber nicht Nr. 4). Dies bedeutet, dass die Positivität in diesen Röhrchen nicht gleich sein kann, wenn beide Patienten krank sind (in Röhrchen Nr. 5 gibt es eine Positivität beider Patienten, und in Röhrchen Nr. 4 gibt es nur eine).

Die gleiche Positivität in beiden Röhrchen Nr. 4 und Nr. 6 wird nur bei Patienten [0 0 0 1 1 1] und [0 0 1 1 1 0] sein, da Proben von beiden in beide Röhrchen Nr. 4 und Nr. 5 gegeben wurden, was die gleiche Positivität ergab in beiden Reagenzgläsern.

Im obigen Beispiel konnten wir 20 Patienten mit nur sechs Röhrchen testen. Diese Methode kann jedoch auf Tausende von Patienten skaliert werden, und es werden viel weniger Röhrchen benötigt, um sie zu testen. Und selbst wenn Maschinen, die in der Lage sind, Tests in fünf Minuten durchzuführen, bereits in der Entwicklung sind, kann dieser Ansatz immer noch schneller und billiger sein, wenn die Ressourcen knapp sind.

Es stellt sich heraus, dass wir mit Hilfe der Mathematik die Überprüfung gesammelter Proben verbessern können, insbesondere an Orten und zu einem Zeitpunkt, an dem die Überprüfung auf Schwierigkeiten stößt. In solchen Fällen könnte dieser Ansatz möglicherweise dazu beitragen, die Auswirkungen des neuen Coronavirus zu mildern und viele Leben zu retten.