🤜🏾 🗑️ 🙍🏿 COVID-19-Pandemie mit den Augen eines Mathematikers oder warum das klassische SEIRD-Modell nicht funktioniert 👹 ✋🏾 🧒🏾

Abstrakt oder über die Freizeit junger Wissenschaftler

In den letzten Wochen haben meine Kollegen und ich den Arbeitstag beendet, indem wir mit verschiedenen nichtlinearen Regressionsmethoden um die Genauigkeit der Prognose für die Entwicklung der COVID-19-Epidemie in Russland konkurrierten. Und wenn sich die Prognose für morgen zwangsläufig als gut herausstellt, spiegelt die Prognose für einen Zeitraum von mehr als einer Woche die Realität nur allgemein wider. Es scheint, dass alles klar ist: Es gibt epidemiologische Modelle , es gibt Optimierungsmethoden , es gibt ausreichend detaillierte Daten - es reicht aus, diese zu kombinieren und eine genaue Prognose für einen Monat oder sogar sechs Monate im Voraus zu erhalten. In diesem Artikel werde ich meine Gedanken darüber teilen, was mit dem klassischen SEIRD-Modell nicht stimmt und wie man es behebt. Und natürlich werde ich mit Ihnen den Schleier der Geheimhaltung öffnen, der unsere Zukunft umgibt.

Lehnen Sie sich zurück, ein wütender Matan erwartet uns für diejenigen, die die Differentialgleichungen kennen (im Übrigen sind schöne Bilder beigefügt).

Die obige Abbildung zeigt die Gesamtzahl der bestätigten Fälle von COVID-19 auf logarithmischer Ebene für Russland und die drei europäischen Länder in den Top 5 in Bezug auf die Anzahl der Infizierten. Die Erklärung ist weiter im Text.

UFO Care Minute

Die Pandemie COVID-19, eine potenziell schwere akute Atemwegsinfektion, die durch das SARS-CoV-2-Coronavirus (2019-nCoV) verursacht wird, wurde weltweit offiziell angekündigt. Zu diesem Thema gibt es viele Informationen zu Habré - denken Sie immer daran, dass es sowohl zuverlässig / nützlich sein kann als auch umgekehrt.

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Modell SEIRD

Das SEIRD-Epidemiemodell gehört zur Klasse der sogenannten Kompartimentmodelle , deren Kern darin besteht, die Bevölkerung in mehrere Gruppen ( englische Kompartimente) zu unterteilen, in unserem Fall:

$inline$ ( Englisch anfällig) - anfällig,

$inline$ ( Eng. Exponiert) - diejenigen, die die Krankheit in der Inkubationszeit haben,

$inline$ ( Englisch ansteckend) - krank,

$inline$ ( Englisch wiederhergestellt) - wiederhergestellt,

$inline$ ( Englisch tot) - die Toten. Dann wird die Größe jeder Gruppe mit einer Variablen im System der Differentialgleichungen verglichen, um zu lösen, welche Sie die Dynamik der Epidemie vorhersagen können. Es gibt viele Modifikationen des SEIRD-Modells, zum Beispiel ist SEIR ein vereinfachtes Modell, das Fälle von Genesung und Tod nicht separat betrachtet. Um andere Modelle kennenzulernen, kann ich einen guten Artikel zu diesem Thema empfehlen .

Ein bisschen Theorie

Zum ersten Mal ein epidemisches Modell in Form eines Systems von drei Differentialgleichungen für Variablen

$inline$ erschien in der Arbeit von W. Kermak und A. McKendrick im Jahr 1927.
Diese Differentialgleichungen haben die Form:

$\ begin {align} \ frac {dS} {dt} & = - \ beta \ frac {SI} {N}, \\ \ frac {dI} {dt} & = \ beta \ frac {SI} {N} - \ gamma I, \\ \ frac {dR} {dt} & = \ gamma I, \ end {align}$

Dabei erscheinen zusätzlich zu den uns bekannten Variablen folgende Konstanten:

$inline$ - Gesamtbevölkerungsgröße,

$\ beta$ - Infektionsübertragungsrate,

$\ gamma$ - Geschwindigkeit der Genesung.

Die Bedeutung der Kermak- und McKendrick-Gleichung lautet wie folgt: Die Anzahl der anfälligen Personen nimmt proportional zu ihrer Anzahl mal dem durchschnittlichen Anteil der Infizierten in der Bevölkerung ab

$inline$ Die Anzahl der Infizierten wächst im gleichen Tempo, angepasst an die Tatsache, dass einige von ihnen

$\ gamma I$ Erholung und die Anzahl der Rekonvaleszen steigt aufgrund einer Abnahme der Anzahl der Infizierten. Es ist erwähnenswert, dass das SIR-Modell Nichtlinearität enthält

$inline$ , wodurch die analytische Lösung des Gleichungssystems im Allgemeinen unmöglich wird, aber glücklicherweise können die Methoden der numerischen Differenzierung diese Aufgabe leicht bewältigen.

Hier wird eine weitere Variable hinzugefügt

$inline$ (die Anzahl der Menschen mit der Krankheit in der Inkubationszeit) erhalten wir das SEIR-Modell:

$\ begin {align} \ frac {dS} {dt} & = - \ beta \ frac {SI} {N}, \\ \ frac {dE} {dt} & = \ beta \ frac {SI} {N} - \ kappa E, \\ \ frac {dI} {dt} & = \ kappa E- \ gamma I, \\ \ frac {dR} {dt} & = \ gamma I, \ end {align}$

wo eine andere Konstante erscheint

$\ kappa$ - die Übergangsrate der Krankheit von der Inkubationsphase zur offenen. Abbildung aus dem Artikel entnommen .

Es ist sofort klar, dass das SEIR-Modell nicht sehr gut zur Beschreibung von COVID-19 geeignet ist, schon allein deshalb, weil in diesem Modell versteckte Infektionsträger vorhanden sind

$inline$ nicht ansteckend. Dieser Mangel kann durch Einführung nach Pengpeng et al. optionaler Parameter

$\ theta$ , Charakterisierung des Infektionsgrades latenter Infektionsträger im Vergleich zu erkrankten. Das modifizierte SEIR-Modell, das wir versuchen werden, auf die aktuelle Epidemie anzuwenden, sieht folgendermaßen aus:

$\ begin {align} \ frac {dS} {dt} & = - \ beta \ frac {S (I + \ theta E)} {N}, \\ \ frac {dE} {dt} & = \ beta \ frac {S (I + \ theta E)} {N} - \ kappa E, \\ \ frac {dI} {dt} & = \ kappa E- \ gamma I, \\ \ frac {dR} {dt} & = \ gamma I. \ end {align}$

Das resultierende Modell verspricht auf den ersten Blick absolut glaubwürdig zu sein.

Numerisches Experiment mit dem SEIR-Modell

Für die Modellierung werden wir versuchen, die folgenden Parameter zu verwenden, wobei wir uns auf offene Daten konzentrieren . Unter der Annahme, dass die Krankheit durchschnittlich 14 Tage dauert (zumindest wie lange die milde Form anhält , was bis zu 80% der Fälle ausmacht), finden wir den Wert

$$ \ gamma = 1/14 = $ 0,0714$ . Wird akzeptieren

$$ \ beta = 3/14 = $ 0.2143$ . Größe

$$ \ theta = $ 0,6$ entlehnt von Pengpeng et al . Nehmen Sie bei einer durchschnittlichen Inkubationszeit von 3 Tagen

$$ \ kappa = 1/3 = $ 0,33$ . Wir akzeptieren die Bevölkerung Russlands gleich

$N = 144,5 \ cdot10 ^ 6$ Person.

Als Ausgangsbedingungen verwenden wir die Daten für Russland am 2. April, als die Ende März eingeführten Maßnahmen zur Begrenzung der Ausbreitung von Infektionen ihre Wirkung entfalten sollten, nämlich:

$\begin{align} &S_0=3548,\\ &I_0= 3283,\\ &E_0=0,5 I_0. \end{align}$

Bewertung

$inline$ Wir haben es relativ willkürlich genommen, und es spielt keine Rolle, denn wie Sie wissen, wird etwas schief gehen.

Als Ergebnis der Modellierung nach der Euler-Methode mit einem Schritt von 1 Tag vom 2. bis einschließlich 24. April erhalten wir die folgenden Diagramme: links in der linearen Skala, rechts im logarithmischen Maßstab.

Runde Markierungen markieren reale Daten zur Gesamtzahl der Fälle in Russland, quadratische Markierungen zur Anzahl der Patienten. Auf den ersten Blick sehen die Ergebnisse gut aus, bis auf eines: Mit den Parametern des Modells haben wir eindeutig nicht geraten. Und hier helfen uns Optimierungsmethoden.

Optimiere es

Optimierungsmethoden sind Algorithmen, die es ermöglichen, das Minimum einer objektiven Funktion zu finden, wenn der Leser mit ihnen nicht vertraut ist. In unserem Fall haben wir das Problem der nichtlinearen Regression vor uns: Wie wählt man den Vektor der Parameter der Differentialgleichung?

$\mathbf{x} = (\beta, \gamma, \kappa, E_0)^\top$ so dass die Menge der Lösungspunkte der Differentialgleichung

$inline$ war so nah wie möglich an den Beobachtungspunkten

$\mathcal{F}$ .

Wir verwenden die Standardabweichung als Maß für den Modellfehler. Die Zielfunktion wird die Form annehmen

$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{M}\sqrt{\sum_{i=1}^{M}(F_{i} - \mathcal{F}_{i})^2 + \sum_{i=1}^{M}(G_{i} - \mathcal{G}_{i})^2},$

$inline$ - die Anzahl der Punkte

$inline$ - die Gesamtzahl der Infektionsfälle, die das Modell angibt,

$\mathcal{F}$ - die tatsächliche Gesamtzahl der Fälle,

$inline$ - die Anzahl der Patienten im Moment, die das Modell ergibt,

$\mathcal{G}$ - die tatsächliche Summe der derzeit aktiven Fälle.

Mit der Optimization Toolbox in MATLAB passen wir die Modellparameter an die Beobachtungsdaten an. Als Ergebnis erhalten wir die in der folgenden Abbildung gezeigte Lösung.

Auf den ersten Blick ist alles in Ordnung. Die Diskrepanz stellte sich als gleich heraus

$f(\mathbf{x}) = 131,98$ und "auf dem konvexen Meeresauge" ging die Passform der Lösung gut. Schauen wir uns die empfangenen Parameter an:

$\begin{align} &\beta = 0,374,\\ &\gamma = 0,0117,\\ &E_0 = 7,84\cdot 10^6,\\ &\kappa = 4,81\cdot 10^{-5}. \end{align}$

Der Wert von fast 8 Millionen latenten Patienten mit etwa 60.000
am 24. April registrierten Fällen ist zweifelhaft. Wir fanden auch heraus, dass die durchschnittliche Übergangszeit zur aktiven Phase der Krankheit beträgt

$1/\kappa = 2079$ Tage.

Warum ist das passiert? Alles wird klar, wenn wir die Form der Kurve auf einer langen Zeitskala analysieren. Nehmen Sie dazu unser SEIR-Modell mit „plausiblen“ Parametern und simulieren Sie es über einen langen Zeitraum (in diesem Experiment habe ich eine neue Bedeutung erhalten

$\beta=0,186$ ):

Die der Gesamtzahl der Fälle entsprechende Kurve hat eine charakteristische S-Form auf einer linearen Skala. Das Optimierungsprogramm hat versucht, dieser Form eine Kurve zu geben. Darüber hinaus ist die Prognose selbst mit „plausiblen“ Parametern schrecklich - demnach werden bis September fast 90% der Bevölkerung des Landes krank sein - es ist offensichtlich unrealistisch, wenn man die Ergebnisse für andere Länder betrachtet (dasselbe Bild wie am Anfang des Artikels, nur auf einer linearen Skala ):

Hier vergleiche ich die drei europäischen Länder in den Top 5 der Fallzahlen und Russland. Es ist ersichtlich, dass wir ungefähr einen Monat hinter dem Tempo der Epidemie zurückbleiben und dass das Wachstum der Gesamtzahl der Fälle in allen drei Ländern im Gegensatz zu den im SEIR-Modell erzielten Ergebnissen fast einen Monat lang nahezu linear (und sogar langsamer als linear) ist. Dies wirft drei Fragen auf:

?
SEIR, ?
, , ?

Ich werde zunächst die dritte Frage beantworten. Wenn wir etwas vorhersagen, stehen wir vor einer ziemlich unangenehmen Aufgabe: Die Daten, auf denen wir das Modell aufbauen, sind nicht ideal - sie enthalten Fehler, Rauschen, und das auf ihrer Basis erstellte Modell enthält auch einige Fehler. Wenn wir die Zeitreihe mit unseren Modellpunkten fortsetzen, akkumuliert sich der Fehler - und zwar ziemlich schnell, wenn wir eine Funktion vorhersagen, die mit der Zeit zunimmt. Und das ist in unserem Fall der Fall. Darüber hinaus ist das Modell ein Modell, das die reale Situation widerspiegelt, ist sehr begrenzt. Die plötzliche Entwicklung der Epidemie in einer neuen Großstadt, die Anwendung einer effektiveren Behandlungsmethode, eine Änderung der Methode zur Informationserfassung - all dies kann so viele Fehler in realen Daten verursachen, dass eine langfristige Prognose völlig weit von der Realität entfernt sein wird.

Krücken und Fahrräder: Wir modifizieren das SEIR-Modell

Versuchen wir, die Frage zu beantworten, warum sich das Wachstum der Epidemie auf ein lineares verlangsamt. Bei der Anzahl der infizierten Menschen, die wir jetzt haben, spielen die Skaleneffekte, die mit der begrenzten Kommunikationsgeschwindigkeit zwischen Menschen verbunden sind, eine bedeutende Rolle.

Genauer gesagt erinnern wir uns: Die Anzahl der Fälle im SEIR-Modell ist direkt proportional zur durchschnittlichen Anzahl der Fälle in der Bevölkerung

$inline$ . Diese Regel funktioniert gut in kleinen Populationen, in denen jeder mit jedem kommunizieren kann und die Patienten gleichmäßig verteilt sind. In der Realität, insbesondere auf der Skala von Zehntausenden und Hunderttausenden von Menschen, stellt sich heraus, dass zwei zufällig kranke Menschen nicht nur nie miteinander kommunizierten und sich nicht sahen, sondern auch nicht im selben U-Bahn-Wagen fuhren. Und tatsächlich leben sie in verschiedenen Städten. Alles, was sie verbindet, ist eine Kette sozialer Bindungen, die dazu führte, dass das Virus auf sie übertragen wurde.

Als Beispiel habe ich ein Epidemiemodell in Form eines zellularen Automaten erstellt, bei dem jede Zelle mit nur 4 benachbarten interagiert. Dies entspricht der Tatsache, dass jeder Einzelne in der Bevölkerung 4 soziale Kontakte hat - dies ist eine sehr kleine Zahl für die menschliche Bevölkerung, aber je schneller sich die Einschränkung sozialer Verbindungen manifestiert. Bei jeder Iteration mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 kann jeder der 4 Nachbarn der infizierten Zelle infiziert werden. Die Krankheit dauert durchschnittlich 14 Tage. Die Simulationsergebnisse für einen Pool von 200 x 200 Zellen sind in der folgenden Abbildung dargestellt

$inline$ Ist die Iterationsnummer.

Blaue Farbe zeigt anfällig, gelb - krank, grün - erholt an. Das Interessanteste ist, wie die Grafiken der Anzahl der Fälle aussehen. Und sie sehen ungefähr so aus wie geplant: Nach einer kurzen Phase des subexponentiellen Wachstums, genau wie im SEIR-Modell, gibt es eine langwierige Phase des linearen Wachstums - genau wie in der Realität.

Mein Ziel war es nicht, ein Bild zu bekommen, das quantitativ der Realität ähnelte. Wenn Sie mehr Glaubwürdigkeit wollen, kann ich das Projekt von Sergey Potekhin empfehlen, das kürzlich auf Habré veröffentlicht wurde . Für akribische Leser ist der strengere Beweis für lineares Wachstum unten angegeben.

Beweis des linearen Wachstumsepidemiesatzes in einer großen Population

$inline$ - . . , 20 ( )

$d \approx 4$ .

$inline$ - .

$n^{\frac{1}{d}}$ , ,

$inline$ ,

$inline$ . , ,

$n_{k+1}=\left(n_k^{\frac{1}{d}} + 2P \right)^d,$

$inline$ :

$n_k = n(t_k); n_{k+1} = n(t_k + 1)$ . , :

$n'_{k+1}=n'_{k}\left(1 + \frac{2P}{n_k^{\frac{1}{d}}} \right)^{d-1}.$

$inline$

$n'_{k+1}=n'_{k}$ , , .

4% 16- .

Wenn wir uns der globalen Statistik über die Epidemie zuwenden, werden wir dasselbe sehen: Seit einem Monat ist das Wachstum linear, obwohl klassische Modelle uns eine Fortsetzung des exponentiellen Anstiegs der Fallzahlen versprachen.

Aufgaben für Neugierige

COVID-19, offline .
.1 ?
.1 2, .

Nun zur Modifikation des SEIR-Modells. Das Einfachste, was wir tun können, ist, die nichtlineare Komponente mit einer Funktion zu multiplizieren, abhängig von der Anzahl der Patienten. Bei einer kleinen Anzahl von Fällen sollte diese Funktion nahe bei 1 liegen, bei einer großen Anzahl sollte sie asymptotisch gegen Null tendieren. Der am einfachsten geeignete Kandidat ist

$\mathcal{\varphi}(I,E) = e^{-\alpha(I +\theta E)^{K_0}}.$

Auswahl der Parameter

$\alpha$ und

$inline$ kann das exponentielle Wachstum im ursprünglichen Modell kompensieren.

Fügen Sie dem Modell weitere Informationen und die Komponente hinzu

$inline$ - die Anzahl der Todesfälle. Holen Sie sich eine modifizierte Version des SEIRD-Modells:

$\ begin {align} \ frac {dS} {dt} & = - \ beta \ frac {S (I + \ theta E) \ mathcal {\ varphi} (I, E)} {N}, \\ \ frac {dE} {dt} & = \ beta \ frac {S (I + \ theta E) \ mathcal {\ varphi} (I, E)} {N} - \ kappa E, \\ \ frac {dI} {dt } & = \ kappa E- \ gamma I- \ mu D, \\ \ frac {dR} {dt} & = \ gamma I, \\ \ frac {dD} {dt} & = \ mu I. \ end { ausrichten}$

Die Simulationsergebnisse sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Der Standardfehler im Vergleich zum Originalmodell bleibt nahezu unverändert. Die Parameterwerte sind bereits realistisch. Der Einfachheit halber habe ich die anfängliche Anzahl der in der aktiven Phase infizierten Personen als bezeichnet

$inline$ .

$\ begin {align} & \ beta = 0.219, \\ & \ gamma = 0.0102, \\ & E_0 = 0.13 \ cdot I_0, \\ & \ kappa = 1/3, \\ & \ mu = 1 , 13 \ cdot 10 ^ {- 3}. \ end {align}$

Das Modell interpoliert auch Derivate sehr gut - die Werte des täglichen Anstiegs der Anzahl der Fälle und der Anzahl der Todesfälle.

Versuchen wir eine Prognose zu erstellen. Wir nehmen einen Prognosehorizont von 2 Monaten an und modellieren weiterhin Lösungen mit den vom Optimierungsprogramm gefundenen Parametern.

Auf den ersten Blick nicht schlecht, aber Sie können Ihrem geliebten Heimatland keine solche Prognose wünschen: Die Zahl der Neuerkrankungen wird weiter sinken, aber die Gesamtzahl wird weiter steigen. In diesem Fall kann eine Epidemie nur mit Hilfe eines Impfstoffs oder durch Warten auf die Krankheit der gesamten Bevölkerung gestoppt werden. Die Zahl der neuen Todesfälle wird auf ungefähr 200 pro Tag festgelegt. Dies ist ein klares Beispiel dafür, was passieren wird, wenn wir die Maßnahmen zur Bekämpfung der Epidemie nicht verstärken. Erwartet uns das? Und um dieser nicht sehr glänzenden Zukunft willen sitzen viele von uns fleißig zu Hause, nachdem sie Buchweizen und Toilettenpapier gekauft haben?

Im Folgenden werde ich zwei Szenarien betrachten. Wenn ich mir die neblige Entfernung der kommenden Monate des 28. April 2020 anschaue, kann ich nicht sicher sagen, welches die Ereignisse weiterentwickeln wird. Jetzt, da wir die Kurve neuer Fälle durchbrechen, sind wir an einem Punkt angelangt, an dem es doppelt problematisch ist, etwas vorherzusagen.

US-Skript

Der Welthegemon befand sich in einer äußerst nicht beneidenswerten Position. Er ist verzögert, wichtige Entscheidungen zu treffen, die das Wachstum der Epidemie am Anfang verlangsamen würden, und kann die natürliche Zunahme neuer Fälle immer noch nicht bewältigen.

Das modifizierte SEIRD-Modell, das ab dem 2. März an den ersten 33 Punkten trainiert wurde, sagt den Verlauf der Epidemie im April plus oder minus realistisch voraus.

Wie Sie sehen, ist das Wachstum im April nahezu linear. Das Modell überschätzt die Sterblichkeit im April leicht, aber das Gesamtbild ist korrekt.

Dieses Bild zeigt die tägliche Zunahme neuer Fälle und Todesfälle in den Vereinigten Staaten. Es ist sehr ähnlich zu dem, was das Modell für Russland vorhergesagt hat.

Deutschland-Szenario

Disziplinierte Deutsche haben es geschafft, die Kurve zu ihren Gunsten zu drehen, und ihr Wachstum ist langsamer als linear. Um das Modell relevant zu machen, musste ich außerdem am 6. April manuell eine Erhöhung der Wiederherstellungsrate hinzufügen

$\ gamma$ 1,7-fach, sonst kann ein derart starker Rückgang der Fallzahlen im Sinne des SEIRD-Modells nicht erklärt werden.

Das Modell wurde ab dem 10. März an den ersten 27 Punkten trainiert. Ich habe auch die nichtlineare Funktion geändert. Für Deutschland ist der zeitabhängige Exponent besser:

$\ mathcal {\ varphi} (t) = K_0 e ^ {- \ alpha t}.$

Diese Art von Funktion weist auf eine kumulative Zunahme der Anzahl unterbrochener sozialer Bindungen und dementsprechend auf die Ausbreitung der Infektion hin. Hier haben Sie ein klares Beispiel für die Vorteile der Selbstisolation.

Das Obige zeigt die tägliche Zunahme neuer Fälle und Todesfälle. Wie in den USA enthalten reale Daten ausgeprägte Schwankungen mit einem Zeitraum von 7 Tagen. Dies bedeutet, dass an Wochenenden die Anzahl der Kontakte zunimmt und folglich die Anzahl der infizierten Kontakte zunimmt. [UPD: Im Gegenteil, es nimmt ab, wie der Yandex -Selbstisolationsindex indirekt bezeugen kann . ]]

Fazit

Vorhersagen zu treffen - sowohl kurzfristig als auch langfristig - ist nicht nur eine Hommage an die Neugier. Im Falle einer Epidemie müssen Sie wissen, wie viele Betten vorbereitet werden sollten, wie viele Beatmungsgeräte hergestellt werden müssen und wie viele Monate, um persönliche Schutzausrüstung für Ärzte aufzubewahren. Die Beamten müssen verstehen, ob die ergriffenen Maßnahmen ausreichend sind oder ob neue Verbote und Beschränkungen eingeführt werden sollten. Idealerweise sollte das Modell die Realität so gut widerspiegeln, dass es möglich wäre, die Wirkungskraft jeder neu verabschiedeten Maßnahme zu erkennen, und dann wäre es möglich, nützliche Maßnahmen zu stärken und Entscheidungen aufzuheben, die sich als nutzlos herausstellten.

Obwohl mit einigen Vorbehalten, kann jeder, der noch keine Immunität von COVID-19 erworben hat, wirklich mit dem Brief beschrieben werden

$inline$ , die ganze Vielfalt der Kranken - der Brief

$inline$ , usw. Darüber hinaus kann das SEIRD-Modell sogar etwas erklären. Aber sie kann etwas in ferner Zukunft sehr grob vorhersagen.

Ich habe in dem Artikel bewusst nur ein negatives Szenario zitiert, wenn wir das Schicksal der Vereinigten Staaten in Bezug auf die Dynamik der Epidemie wiederholen. Wenn sich dieses Szenario als wahr herausstellt, werden wir bis Ende Juni mehr als 300.000 registrierte Krankheitsfälle und mehr als 10.000 Todesfälle haben. Obwohl es Voraussetzungen dafür gibt, dass dieses Szenario nicht in die Realität umgesetzt wird, würde ich Ihnen raten, sich nach dem Prinzip darauf zu beziehen: "Hoffnung auf das Beste, Vorbereitung auf das Schlimmste". Wie das Sprichwort sagt, wenn die besten Köpfe der NASA den Kampf gegen die Epidemie in den Vereinigten Staaten aufgenommen haben , dann ist dies wirklich eine schlechte Sache.

Bisher müssen wir nur noch weniger öffentliche Orte besuchen, um sie zu nutzenWaschen Sie Ihre Hände mit geeigneten Atemschutzmasken , vergessen Sie nicht, das Smartphone nach dem Herausnehmen auf der Straße mit Alkohol abzuwischen, und befolgen Sie andere einfache Empfehlungen.

Ist es dennoch möglich, genauere Vorhersagen zu treffen? Ja natürlich. Aber darüber ein andermal.

Wenn Sie mit dem Quellcode spielen und selbst ein Entwicklungsszenario vorschlagen möchten , finden Sie hier den Link zum Github .

COVID-19-Pandemie mit den Augen eines Mathematikers oder warum das klassische SEIRD-Modell nicht funktioniert