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Eine "atemberaubende" mathematische Brücke, die über Fermats großen Satz hinausgeht

Mathematiker fanden heraus, wie sie die mysteriöse Brücke zwischen den beiden entfernten Kontinenten der mathematischen Welt verlängern können




Als Andrew John Wiles Anfang der neunziger Jahre Fermats großen Satz bewies , war dies nicht nur für Mathematiker, sondern für die gesamte Menschheit ein monumentaler Schritt. Die Aussage des Satzes ist sehr einfach - sie behauptet, dass die Gleichung x n + y n = z n istEs gibt keine ganz positiven Lösungen für n> 2. Diese einfache Aussage zog jedoch eine große Anzahl von Menschen an, die sie mehr als 350 Jahre lang beweisen wollten, da der französische Mathematiker Pierre de Fermat die Aussage des Theorems 1637 beiläufig am Rande von Diophantus '„Arithmetik“ skizzierte. Berühmt ist auch Fermats Formulierung: Er "fand wirklich wunderbare Beweise dafür, aber die Ränder des Buches sind zu eng für ihn." Seit Jahrhunderten suchen professionelle Mathematiker und Amateur-Enthusiasten nach Fermats Beweisen - oder was auch immer.

Der letztendlich von Wiles (mit Hilfe von Richard Taylor ) erhaltene Beweis wäre Fermat niemals eingefallen. Es hatte keinen direkten Einfluss auf den Satz, sondern baute eine riesige Brücke, die laut Mathematikern existieren sollte - eine Brücke zwischen zwei entfernten mathematischen "Kontinenten". Wiles 'Beweis bestand darin, diese Brücke zu definieren, die zwei kleine Landstriche zwischen zwei Kontinenten verbindet. Der Beweis war voller neuer und tiefgreifender Ideen und brachte auf beiden Seiten dieser Brücke Kaskaden neuer Ergebnisse hervor.

Unter diesem Gesichtspunkt lösten die großartigen Beweise von Wiles einen winzigen Teil eines viel größeren Rätsels. Sein Beweis war "eines der besten mathematischen Ereignisse des 20. Jahrhunderts", sagte Toby Guyvom Imperial College London. Und doch gehörte es zu der "winzigen Strecke" der Brücke, die als geometrische Entsprechung von Langlands bekannt ist .

Die gesamte Brücke würde es Mathematikern ermöglichen, Licht in die Weiten der Mathematik zu bringen und Konzepte von einem Teil zum anderen zu vermitteln. Viele Aufgaben, einschließlich des Großen Satzes von Fermat, scheinen auf einer Seite der Brücke schwierig zu sein, werden jedoch schnell zu einfacheren Aufgaben und bewegen sich auf die andere Seite.

Nachdem Wiles seinen Beweis erbracht hatte, begannen andere Mathematiker, diese Brücke mit Begeisterung auf größere Teile der beiden Kontinente auszudehnen. Und dann stießen sie auf ein Hindernis. Es gibt zwei natürliche Richtungen für die Erweiterung dieser Brücke, aber in beiden schien die Taylor-Wiles-Methode auf eine unüberwindbare Barriere zu stoßen.


Der Mathematiker Andrew Wiles, der Fermats großen Satz bewies und 2016 den Abel-Preis erhielt

"Die Leute wollten das schon lange", sagte Anna Karayani vom Imperial College London. Aber "wir haben im Allgemeinen nicht gedacht, dass dies im Prinzip möglich ist."

Jetzt haben zwei Werke - die den Höhepunkt der Arbeiten von mehr als zehn Mathematikern darstellen - diese Barriere überwunden und im Wesentlichen beide Probleme gelöst. Eines Tages können diese Entdeckungen Mathematikern helfen, Fermats großen Satz für ein numerisches System zu beweisen, das über positive ganze Zahlen hinausgeht.

Dies sind "Top-Ergebnisse", sagte Matthew Emerton von der University of Chicago. "Sie enthüllen einige grundlegende Phänomene aus der Zahlentheorie, und wir beginnen gerade zu verstehen, was sie sind."

Nadel im Vakuum


Eine der Seiten der Langlands-Brücke konzentriert sich auf fast die einfachsten Gleichungen, die aufgeschrieben werden können: Dies sind diophantinische Gleichungen oder Kombinationen von Variablen mit Exponentialen und ganzzahligen Koeffizienten, z. B. y = x 2 + 6x + 8 oder x 3 + y 3 = z 3 . Seit Jahrtausenden versuchen Mathematiker herauszufinden, welche Kombinationen von ganzen Zahlen eine bestimmte diophantinische Gleichung erfüllen. Grundsätzlich basiert ihre Motivation auf der Einfachheit und Natürlichkeit dieses Themas, aber in letzter Zeit hat ein Teil ihrer Arbeit eine unerwartete Fortsetzung in Bereichen wie der Kryptographie erhalten.

Seit dem antiken Griechenland kennen Mathematiker einen Weg, ganzzahlige Lösungen diophantinischer Gleichungen mit nur zwei Variablen und keinen Graden größer als 2 zu finden. Bei höheren Graden ist das Finden ganzzahliger Lösungen jedoch keineswegs einfach - beginnend mit elliptischen Kurven. Dies sind Gleichungen mit y 2 links vom Gleichheitszeichen und einer Kombination von Termen mit einem maximalen Grad von 3 rechts, zum Beispiel x 3 + 4x + 7. Guy sagte, dass dies im Vergleich zu Gleichungen mit niedrigeren Graden „ ein radikal komplexeres Problem. "

Auf der anderen Seite der Brücke befinden sich lebende Objekte, sogenannte automorphe Formen, die dem Färben von Kacheln mit einem sehr hohen Symmetriegrad ähneln. In den von Wiles untersuchten Fällen ähneln die Kacheln möglicherweise etwas ähnlichem wie Eschers Mosaik , bei dem die Fische oder Engel mit Dämonen auf den Scheiben abnehmen, wenn sie sich der Grenze nähern. Im allgemeineren Langlands-Universum können Kacheln eine dreidimensionale Kugel oder eine andere Figur in höheren Dimensionen pflastern.

Diese beiden Arten von mathematischen Objekten unterscheiden sich vollständig voneinander. Trotzdem zeigten Mathematiker Mitte des 20. Jahrhunderts tiefe Beziehungen zwischen ihnen, und Anfang der 1970er Jahre äußerte Robert Langlands vom Institute for Advanced Studies die Hypothese, dass diophantinische Gleichungen und automorphe Formen auf bestimmte Weise miteinander korreliert werden können.


Robert Langlands, der vor 50 Jahren die Hypothese der Compliance aufstellte, hält 2016 einen Vortrag am Institute for Advanced Studies in Princeton, New Jersey.

Nämlich: Sowohl in diophantinischen Gleichungen als auch in automorphen Formen gibt es eine natürliche Möglichkeit, unendliche Folgen von Zahlen zu erzeugen. Mit diophantinischen Gleichungen kann die Anzahl der Lösungen in modularer Arithmetik berechnet werden (sie kann als Zahlen auf dem Zifferblatt dargestellt werden; im Fall des 12-Stunden-Zifferblatts beispielsweise 10 + 4 = 2). Und für solche automorphen Formen, die in Übereinstimmung mit den Langlands erscheinen, können Sie eine endlose Liste von Zahlen erhalten, die den Niveaus der Quantenenergie ähnlich sind.

Wenn wir eine modulare Arithmetik verwenden, die nur auf Primzahlen basiert, werden diese beiden Arten von Sequenzen laut Langlands in einem erstaunlich breiten Spektrum unterschiedlicher Bedingungen zusammenfallen. Mit anderen Worten, für jede automorphe Form steuern ihre Energieniveaus die modulare Sequenz einer diophantinischen Gleichung und umgekehrt.

Diese Verbindung ist "seltsamer als Telepathie", sagte Emerton. "Die Art und Weise, wie diese beiden Seiten miteinander kommunizieren, erscheint mir erstaunlich und unglaublich, obwohl ich dieses Phänomen seit mehr als 20 Jahren studiere."

In den 1950er und 1960er Jahren fanden Mathematiker die ersten Anzeichen für die Existenz dieser Brücke in einer der Richtungen: wie man von bestimmten automorphen Formen zu elliptischen Kurven mit Koeffizienten übergeht, die rationale Zahlen sind (Brüche, die aus ganzen Zahlen bestehen). In den neunziger Jahren fand Wiles zusammen mit Taylor eine andere Richtung für die Brücke für eine bestimmte Familie elliptischer Kurven. Ihr Ergebnis lieferte automatisch einen Beweis für Fermats großen Satz, da Mathematiker bereits gezeigt hatten, dass mindestens eine dieser elliptischen Kurven keine entsprechende automorphe Form haben würde, wenn sie falsch wäre.

Fermats großer Satz war weit entfernt von der einzigen Entdeckung, die sich aus dem Bau dieser Brücke ergab. Zum Beispiel verwendeten Mathematiker es, um zu beweisenSato-Tate-Hypothese , ein zehn Jahre altes Problem, das sich auf die statistische Verteilung der Anzahl modularer Lösungen einer elliptischen Kurve sowie auf die Hypothese bezieht , die der legendäre Mathematiker vom Anfang des 20. Jahrhunderts, Srinivasa Ramanujan Iyengor, in Bezug auf die Energieniveaus automorpher Formen formulierte .

Nachdem Wiles und Taylor ihre Ergebnisse veröffentlicht hatten, wurde klar, dass ihre Methode immer noch voller Möglichkeiten war. Bald erkannten Mathematiker, wie man es auf elliptische Kurven mit rationalen Koeffizienten erweitert. Später Mathematiker dachte , wie Koeffizienten mit einfachen irrationalen Zahlen zu decken, wie 3 + √2.

Was ihnen jedoch nicht gelang, war die Erweiterung der Taylor-Wiles-Methode auf elliptische Kurven mit komplexen Koeffizienten wie i (√-1) oder 3 + i oder √2i. Sie konnten auch nicht mit diophantinischen Gleichungen mit Potenzen fertig werden, die viel mehr als elliptische Kurven waren. Gleichungen mit Grad 4 auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens anstelle von 3 konnten mit der Taylor-Wiles-Methode leicht gelöst werden. Sobald der Grad jedoch auf 5 anstieg, funktionierte die Methode bereits nicht mehr.

Nach und nach wurde den Mathematikern klar, dass das Problem mit diesen beiden natürlichen Erweiterungen der Langlands-Brücke nicht nur darin bestand, die Taylor-Wiles-Methode geringfügig zu verbessern. Anscheinend war das Hindernis grundlegend.

Dies waren "nur die folgenden Beispiele, die mir in den Sinn kamen", sagte Guy. "Aber sie sagten dir: Nein, diese Dinge sind hoffnungslos unerreichbar."

Das Problem bestand darin, dass die Taylor-Wiles-Methode eine automorphe Form findet, die der diophantinischen Gleichung entspricht, indem sie sukzessive unter Verwendung anderer automorpher Formen approximiert wird. Wenn jedoch komplexe Zahlen oder eine Potenz höher als die vierte in den Gleichungskoeffizienten auftreten, gibt es nur sehr wenige automorphe Formen - so wenige, dass fast jede automorphe Form höchstwahrscheinlich nicht die nächsten automorphen Formen hat, die zur Annäherung verwendet werden könnten.

Unter Wiles ähnelt die automorphe Form, die wir benötigen, einer „Nadel im Heuhaufen, aber dieser Stapel existiert“, sagte Emerton. "Und dies kann mit einem Stapel Metallspäne verglichen werden, zu denen Sie einen Magneten bringen - die Späne sind ausgerichtet und zeigen auf die Nadel, die Sie benötigen."

Bei komplexen Koeffizienten oder Graden höherer Ordnung ähnelt es ihm jedoch eher "einer Nadel im Vakuum".

Flug zum Mond


Viele der heutigen Experten für Zahlentheorie wuchsen zu einer Zeit auf, als Wiles seinen Beweis vorlegte. "Dies war das einzige Beispiel für Mathematik, das ich auf den Titelseiten von Zeitungen gesehen habe", erinnert sich Guy, der damals 13 Jahre alt war. "Es hat viele Menschen inspiriert, sie wollten es herausfinden, und aus diesem Grund haben sie begonnen, in diesem Bereich zu arbeiten."

Als 2012 zwei Mathematiker - Frank Kalegari von der University of Chicago und David Gerati (jetzt Facebook-Forscher) - einen Weg vorschlugen , um das Hindernis zu überwinden, das eine Erweiterung der Taylor-Wiles-Methode nicht ermöglichte, löste diese Idee begeisterte Kritiken einer neuen Generation von Experten für Zahlentheorie aus.

Ihre Arbeit zeigte, dass "dieses grundlegende Hindernis, das unseren Fortschritt behinderte, überhaupt kein Hindernis war", sagte Guy. Er erklärte, dass die offensichtlichen Einschränkungen der Taylor-Wiles-Methode tatsächlich darauf hindeuten, dass „Sie nur den Schatten der realen, allgemeineren Methode gespürt haben, die uns Calegari und Gerati vorgestellt haben“.


David Geraty an der Boston University im Jahr 2015

In Fällen, in denen plötzlich ein Hindernis auftritt, leben automorphe Formen auf Kacheln mit höheren Dimensionen als die von Wiles untersuchten zweidimensionalen Esher-Kacheln. In diesen höherdimensionalen Welten ist es unangenehm, dass automorphe Formen sehr selten sind. Fliesen mit höheren Abmessungen ergeben jedoch häufig eine reichhaltigere Struktur als zweidimensionale. Kalegari und Gerati hatten die Idee, diese reichhaltige Struktur zu verwenden, um den Mangel an automorphen Formen auszugleichen.

Genauer gesagt können Sie für jede bestimmte automorphe Form die „Färbung“ ihrer Kacheln als Messwerkzeug verwenden, mit dem Sie die durchschnittliche Farbe eines beliebigen Teils Ihrer ausgewählten Kachel berechnen können. In einer zweidimensionalen Situation sind automorphe Formen tatsächlich das einzige verfügbare Messinstrument. Aber die höher dimensionierten Fliesen haben neue Werkzeuge, die sogenannten Torsionsklassen und mit ihrer Hilfe kann jedem Kachelabschnitt nicht die durchschnittliche Farbe zugewiesen werden, sondern die Anzahl aus der modularen Arithmetik. Und solche Torsionsklassen sind ein Dutzend.

Kalegari und Gerati schlugen vor, dass es sich bei einigen diophantinischen Gleichungen herausstellen könnte, die entsprechende automorphe Form durch Approximation nicht durch andere automorphe Formen, sondern durch Verdrehen von Klassen zu finden. "Diese Idee von ihnen erwies sich als fantastisch", sagte Karajani.

Kalegari und Gerati präsentierten ein Schema für den Bau einer viel breiteren Brücke von diophantinischen Gleichungen zu automorphen Formen im Vergleich zu dem, was Wiles und Taylor bauten. Ihre Idee konnte jedoch nicht als vollwertige Brücke angesehen werden. Damit es funktioniert, mussten zunächst drei große Theoreme bewiesen werden. Laut Kalegari kann dies mit der Tatsache verglichen werden, dass ihre Arbeit mit Gerati das Schema des Fluges zum Mond beschreibt, wenn es nur ein Raumschiff, Raketentreibstoff und Raumanzüge gibt. Und diese drei Sätze waren „außerhalb unserer Reichweite perfekt“, sagte Kalegari.

Insbesondere die Methode von Calegari und Gerati erforderte das Vorhandensein einer fertigen Brücke in die andere Richtung, von automorphen Formen bis zu diophantinischen Gleichungen. Und diese Brücke sollte nicht nur automorphe Formen, sondern auch verdrehte Klassen kombinieren. "Ich denke, viele Leute hielten dies für eine hoffnungslose Aufgabe, als Calegari und Gerati ihr Programm zum ersten Mal beschrieben", sagte Taylor, der jetzt an der Stanford University ist.

Weniger als ein Jahr nach der Veröffentlichung der Arbeiten von Kalegari und Gerati ist Peter Scholze ein junges Genie der Universität Bonn , das den Feldpreis erhalten hat, die höchste Auszeichnung für Mathematik, verblüffte Spezialisten für Zahlentheorie und fand heraus, wie man bei elliptischen Kurven, deren Koeffizienten einfache komplexe Zahlen wie 3 + 2i oder 4 - √5i sind, von verdrehten Klassen zur Seite diophantinischer Gleichungen wechselt. "Er hat viele erstaunliche Dinge getan, aber dies ist wahrscheinlich seine erstaunlichste Leistung", sagte Taylor.


Der Mathematiker Peter Scholze

Scholze bewies den ersten der drei Sätze von Calegari und Gerati. Und die paar nachfolgenden gemeinsamen Arbeiten von Scholze und Karayani kamen dem zweiten Satz sehr nahe, um das Vorhandensein der richtigen Eigenschaften an der von Scholze gefundenen Brücke zu demonstrieren.

Es bestand das Gefühl, dass dieses Programm leicht gemeistert werden kann, und so organisierten Karajani und Taylor im Herbst 2016 laut Kalegari den „geheimen Workshop“ am Institute for Advanced Studies, um weitere Fortschritte zu erzielen. "Wir haben dort ein Publikum besetzt und niemanden hereingelassen", sagte Kalegari.

Nach ein paar Tagen vorbereitender Gespräche begannen die Workshop-Teilnehmer zu verstehen, wie man gleichzeitig mit dem zweiten Satz umgeht und den dritten umgeht. "Und vielleicht haben wir sie alle innerhalb eines Tages nach der Formulierung aller Aufgaben gelöst", sagte Guy, einer der Projektteilnehmer.

Den Rest der Woche widmeten sich die Teilnehmer einer detaillierten Untersuchung verschiedener Aspekte der Evidenz und formalisierten in den nächsten zwei Jahren ihre Entdeckungen in der Arbeit.Autorenschaft von zehn Personen - ein solcher Betrag ist für Arbeiten zur Zahlentheorie unbekannt. Tatsächlich begründen ihre Arbeiten die Existenz einer Langlands-Brücke für elliptische Kurven mit Koeffizienten aus jedem Zahlensystem, das aus rationalen Zahlen und einfachen irrationalen und komplexen Zahlen besteht.


Anna Karayani und Richard Taylor

"Der Workshop wurde hauptsächlich organisiert, um zu verstehen, wie nahe Sie der Lösung kommen können", sagte Guy. "Ich glaube, keiner von uns hat erwartet, dass wir alles beweisen."

Fortsetzung der Brücke


In der Zwischenzeit entwickelte sich eine andere Geschichte, die sich auf die Fortsetzung der Brücke jenseits der elliptischen Kurven bezog. Calegari und Guy arbeiteten mit George Boxer (der jetzt an der Higher Normal School in Lyon, Frankreich, arbeitet) an Fällen, in denen der höchste Grad an diophantinischen Gleichungen 5 oder 6 beträgt (anstelle von 3 und 4, wie bereits bekannt). Drei Mathematiker steckten jedoch an einem wichtigen Punkt ihres Beweises fest.

Und dann, am nächsten Wochenende, nachdem Vincent Pilloni von der Higher Normal School den „geheimen Workshop“ abgehalten hatte, veröffentlichte er ein Papier, in dem gezeigt wurde, wie man dieses Hindernis umgeht. "Jetzt müssen wir unsere Arbeit verlangsamen und mit Pilloni zusammenarbeiten!" - Laut Kalegari haben sich drei Forscher sofort informiert.

Innerhalb weniger Wochen lösten vier Mathematiker dieses Problem, obwohl es einige Jahre Arbeit und fast 300 Seiten einer detaillierten Beschreibung der Ideen dauerte. Ihre Arbeit sowie die Autorenarbeit von 10 Personen wurde im Dezember 2018 mit einer Differenz von vier Tagen im Internet veröffentlicht.


Frank Calegari, Toby Guy und Vincent Pilloni

"Dies ist eine sehr ernste Leistung", kommentierte Emerton diese beiden Werke. Er nannte sie und die Bausteine, die ihnen vorausgingen, ein „Kunstwerk“.

Obwohl diese beiden Arbeiten tatsächlich beweisen, dass die mysteriöse telepathische Verbindung zwischen diophantinischen Gleichungen und automorphen Formen auf die neuen Bedingungen übertragen wird, gibt es einen Haken: Sie bilden keine ideale Brücke zwischen zwei mathematischen Ufern. Die Arbeiten geben nur die „potenzielle Präsenz von Automorphismus“ an. Dies bedeutet, dass jede diophantinische Gleichung eine entsprechende automorphe Form hat, aber wir wissen nicht genau, ob diese automorphe Form auf dem Teil des Kontinents lebt, auf dem sie sich laut Wissenschaftlern befinden sollte. Ein möglicher Automorphismus reicht jedoch für viele Anwendungen aus - zum Beispiel für die Sato-Tate-Hypothese über die Statistik modularer Lösungen diophantinischer Gleichungen, deren Funktionsfähigkeit in einer viel breiteren Landschaft als zuvor von zehn Autoren bewiesen werden konnte.

Mathematiker beginnen bereits zu verstehen, wie diese Ergebnisse mit potenziellem Automorphismus verbessert werden können. Im Oktober haben drei Mathematiker - Patrick Allen von der University of Illinois in Urbana-Campaign, Chandrasekar Hare von der University of California in Los Angeles und Jack Thorne von der University of Cambridge - bewiesen, dass ein wesentlicher Teil der in der Arbeit mit 10 Autoren berücksichtigten elliptischen Kurven Brücken aufweist genau an die richtigen Stellen kommen.

Brücken mit solch einer höheren Genauigkeit in der Zukunft könnten es Mathematikern ermöglichen, eine ganze Reihe neuer Theoreme zu beweisen, einschließlich einer Verallgemeinerung von Fermats großem Theorem vor einem Jahrhundert. Letzterer behauptet, dass die Gleichung dieses Theorems immer noch keine Lösungen haben wird, selbst wenn wir anstelle von x, y und z nicht nur ganzzahlige Werte, sondern Kombinationen von ganzen Zahlen und einer imaginären Einheit ersetzen .

Zwei Arbeiten im Rahmen des Calegari-Gerati-Programms liefern wichtige Beweise für die Funktionsfähigkeit des Konzepts, sagte Michael Harris von der Columbia University. Sie, sagte er, "zeigen, dass die Methode in einem weiten Bereich anwendbar ist."

Und obwohl neue Werke Brücken zu viel breiteren Teilen der Langlands-Kontinente verbinden als zuvor, lassen sie weite Gebiete immer noch unbekannt. Von der Seite der diophantinischen Gleichungen umfassen diese Gleichungen alle Gleichungen mit Graden größer als 6 sowie Gleichungen mit mehr als zwei Variablen. Andererseits gehören unbekannte Gebiete zu automorphen Formen, die in komplexeren symmetrischen Räumen leben als die bis heute untersuchten.

"Heute ist diese Arbeit der Höhepunkt des Erfolgs", sagte Emerton. "Aber irgendwann werden sie als einer der Schritte zur Erreichung des Ziels angesehen."

Langlands selbst hat nie daran gedacht, sich zu verdrehen und automorphe Formen zu studieren. Eine der schwierigen Aufgaben für Mathematiker wird es daher sein, eine einheitliche Sicht auf diese beiden unterschiedlichen Ansätze zu finden. "Wir erweitern unser Sortiment", sagte Taylor. "Wir sind in irgendeiner Weise mit den Langlands von der Straße abgekommen und wissen nicht, wohin wir wollten."

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