👆🏼 🏔️ 🌛 Was ist die Geometrie des Universums? 🧚🏾 👔 🦖

Cloud-Lösungen sind gut, weil Sie damit Projekte beliebiger Komplexität bis hin zu einem virtuellen Rechenzentrum erstellen können. Wenn Sie versuchen, diese Strukturen zu visualisieren, erhalten Sie eine Art Mini-Universum. Spielen wir mit der Geometrie, indem wir versuchen, verschiedene Modelle unseres Universums zu visualisieren.

In unseren Köpfen scheint das Universum unendlich zu sein. Mit Hilfe der Geometrie können wir jedoch verschiedene dreidimensionale Formen betrachten, die eine Alternative zum „gewöhnlichen“ unendlichen Raum bieten.

Wenn Sie in den Nachthimmel schauen, scheint es, als würde sich der Raum in alle Richtungen ausdehnen. Dies ist unser mentales Modell des Universums, aber es ist nicht immer wahr. Am Ende gab es eine Zeit, in der alle dachten, die Erde sei flach, weil die Biegungen unseres Planeten äußerst schwer zu bemerken waren und sie nicht einmal an die Kugelform der Erde dachten.

Heute wissen wir, dass die Erde die Form einer Kugel hat. Aber nur wenige Menschen denken über die Form des Universums nach. So wie eine Kugel zu einer Alternative zu einer flachen Erde geworden ist, bieten andere dreidimensionale Formen eine Alternative zum „gewöhnlichen“ unendlichen Raum.

Wir können zwei verschiedene, aber immer noch eng verwandte Fragen zur Form des Universums stellen. Eine davon bezieht sich auf seine Geometrie: feinkörnige lokale Messungen von Elementen wie Winkeln und Regionen. Eine andere betrifft die Topologie: Wie diese lokalen Teile zu einer gemeinsamen Form zusammengenäht werden.

Kosmologische Beweise legen nahe, dass der Teil des Universums, den wir sehen können, zumindest annähernd glatt und homogen ist. Das lokale Raumgefüge sieht an jedem Punkt und in alle Richtungen gleich aus. Nur drei geometrische Formen passen zu dieser Beschreibung: flach, kugelförmig und hyperbolisch. Schauen wir uns diese Modelle an, einige topologische Annahmen und auch, was kosmologische Daten über die Formen aussagen, die unser Universum am besten beschreiben.

Flache Geometrie (Planimetrie)

Dies ist die Geometrie, die wir in der Schule gelernt haben. Die Winkel des Dreiecks betragen 180 Grad und die Fläche des Kreises beträgt πr2. Das einfachste Beispiel für eine planare dreidimensionale Form ist der übliche unendliche Raum - was Mathematiker den euklidischen Raum nennen -, aber es gibt auch andere flache Formen, die berücksichtigt werden müssen.

Diese Formen sind schwieriger zu visualisieren, aber wir können versuchen zu phantasieren, indem wir in zwei statt in drei Dimensionen denken. Zusätzlich zur üblichen euklidischen Ebene können wir andere flache Formen erstellen, indem wir einen Teil der Ebene ausschneiden und ihre Kanten zusammenhalten. Angenommen, wir schneiden ein rechteckiges Blatt Papier und befestigen es mit gegenüberliegenden Kanten. Durch das Verkleben der Ober- und Unterseite erhalten wir einen Zylinder:

Dann können wir den rechten und den linken Rand kleben, um einen Donut zu erhalten (was Mathematiker einen Torus nennen):

Jetzt denken Sie wahrscheinlich: "Aber es scheint mir nicht flach zu sein." Und du wirst recht haben. Wir haben ein wenig geschummelt und beschrieben, wie der flache Torus funktioniert. Wenn Sie wirklich versuchen würden, auf diese Weise aus einem Stück Papier einen Torus zu machen, würden Sie auf bestimmte Schwierigkeiten stoßen. Es wäre einfach, einen Zylinder herzustellen, aber Sie könnten die Enden des Zylinders nicht kleben: Das Papier würde sich entlang des inneren Kreises des Torus falten und sich nicht weit genug entlang des äußeren Kreises dehnen. Anstelle von Papier müsste etwas Stretchmaterial verwendet werden. Diese Dehnung verzerrt jedoch die Längen und Winkel und verändert die Geometrie.

In einem gewöhnlichen dreidimensionalen Raum ist es unmöglich, aus einem flachen Material einen echten, glatten physischen Torus zu bauen, ohne dessen Geometrie zu verzerren. Aber wir können abstrakt darüber spekulieren, wie es sich anfühlt, in einem flachen Torus zu leben.

Stellen Sie sich vor, Sie sind eine zweidimensionale Kreatur, deren Universum ein flacher Torus ist. Da die Geometrie dieses Universums von einem flachen Blatt Papier stammt, sind alle gewohnten geometrischen Fakten nur im kleinen Maßstab gleich: Die Winkel im Dreieck summieren sich auf 180 Grad und so weiter. Die Änderungen, die wir durch Ausschneiden und Einfügen an der globalen Topologie vorgenommen haben, bedeuten jedoch, dass die Erfahrung, im Torus zu bleiben, sich stark von der gewohnten unterscheidet.

Zunächst gibt es direkte Pfade auf dem Torus, die sich biegen und dorthin zurückkehren, wo sie begonnen haben:

Diese Wege sehen auf einem verzerrten Torus gekrümmt aus, aber sie erscheinen den Bewohnern des flachen Torus direkt. Und da sich das Licht auf geraden Wegen bewegt, können Sie sich von hinten sehen, wenn Sie nach rechts schauen:

Auf einem Blatt Papier wurde das Licht zurückgehalten, bis es den linken Rand erreicht, und dann rechts wieder aufgetaucht, wie in einem Videospiel:

Sie können sich vorstellen es ist anders. Zum Beispiel überschreiten Sie (oder ein Lichtstrahl) eine von vier Grenzen und erscheinen in einem scheinbar neuen „Raum“. Aber eigentlich ist es der gleiche Raum, nur aus einer neuen Perspektive gesehen.

Dies bedeutet, dass Sie auch unendlich viele verschiedene Kopien von sich selbst sehen können, die in verschiedene Richtungen schauen. Dies ist eine Art Spiegelkorridoreffekt, außer dass Kopien von Ihnen keine Reflexionen sind:

Auf dem Donut entsprechen sie vielen verschiedenen Ringen, entlang derer sich das Licht von Ihnen zu Ihnen bewegen kann:

Auf die gleiche Weise können wir einen flachen dreidimensionalen Torus bauen, indem wir die gegenüberliegenden Seiten des Würfels kleben. Es wird nicht funktionieren, diesen Raum als Objekt in einem gewöhnlichen unendlichen Raum zu visualisieren, aber wir können abstrakt über das Leben in ihm sprechen.

So wie das Leben in einem zweidimensionalen Torus dem Leben in einer unendlichen zweidimensionalen Anordnung identischer rechteckiger Räume ähnlich war, war das Leben in einem dreidimensionalen Torus dem Leben in einer unendlichen dreidimensionalen Anordnung identischer kubischer Räume ähnlich. Sie werden unendlich viele Kopien von sich sehen:

Der dreidimensionale Torus ist nur eine von 10 verschiedenen flachen endlichen Welten. Es gibt auch flache unendliche Welten, wie zum Beispiel ein dreidimensionales Analogon eines unendlichen Zylinders. In jeder dieser Welten gibt es unterschiedliche Spiegelräume.

Ist unser Universum eine dieser flachen Formen?

Wenn wir in den Raum schauen, sehen wir nicht unendlich viele Kopien von uns. Es ist jedoch überraschend schwierig, diese flachen Formen auszuschließen. Erstens haben sie alle dieselbe lokale Geometrie wie der euklidische Raum, sodass keine lokale Dimension zwischen ihnen unterscheiden kann.

Und wenn Sie eine Kopie von sich selbst sehen würden, würde dieses entfernte Bild zeigen, wie Sie (oder zum Beispiel Ihre Galaxie) in der fernen Vergangenheit ausgesehen haben, da das Licht lange reisen musste, um Sie zu erreichen. Vielleicht sehen wir dort unerkennbare Kopien von uns. Schlimmer noch, verschiedene Kopien von Ihnen befinden sich in der Regel in unterschiedlichen Entfernungen von Ihnen, sodass die meisten von ihnen unterschiedlich aussehen. Und vielleicht sind sie noch zu weit weg, als dass wir sie sehen könnten.

Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, suchen Astronomen in der Regel nicht nach Kopien von sich selbst, sondern nach Wiederholungen von Merkmalen, die am weitesten von dem entfernt sind, was wir sehen können: kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung (CMB) nach dem Urknall. In der Praxis bedeutet dies, Kreispaare in der CMB zu finden, die übereinstimmende Muster von heißen und kalten Stellen aufweisen, was darauf hindeutet, dass dies wirklich derselbe Kreis ist, den wir von zwei verschiedenen Punkten aus sehen.

Im Jahr 2015 führten Astronomen eine solche Analyse mit Daten aus dem Planck-Weltraumteleskop durch. Sie kämmten Daten über die Arten von zusammenfallenden Kreisen, die wir in einem flachen dreidimensionalen Torus oder einer anderen flachen dreidimensionalen Form, einer sogenannten Platte, erwartet hatten, aber sie konnten sie nicht finden.

Dies bedeutet, dass wenn wir wirklich in einem Torus leben, dieser wahrscheinlich so groß ist, dass sich wiederholende Muster außerhalb des beobachtbaren Universums liegen.

Sphärische Geometrie

Wir alle kennen zweidimensionale Kugeln - die Oberfläche einer Kugel, Orange, Erde. Aber was würde es für unser Universum bedeuten, eine dreidimensionale Kugel zu sein?

Es ist schwierig, sich eine dreidimensionale Kugel vorzustellen, aber es ist einfach, sie mit einer einfachen Analogie zu beschreiben. So wie eine zweidimensionale Kugel eine Sammlung aller Punkte in einem festen Abstand von einem bestimmten Mittelpunkt im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum ist, ist eine dreidimensionale Kugel (oder „Dreikugel“) eine Sammlung aller Punkte in einem festen Abstand von einem bestimmten Mittelpunkt im vierdimensionalen Raum.

Das Leben in drei Bereichen unterscheidet sich stark vom Leben in einem flachen Raum. Um dies zu fühlen, stellen Sie sich vor, Sie sind ein zweidimensionales Wesen, das in einer zweidimensionalen Sphäre lebt. Eine zweidimensionale Kugel ist das gesamte Universum - Sie können keinen der umgebenden dreidimensionalen Räume sehen und darauf zugreifen. Innerhalb dieses kugelförmigen Universums bewegt sich Licht auf den kürzesten Wegen: in großen Kreisen. Für Sie scheinen diese großen Kreise gerade Linien zu sein.

Stellen Sie sich nun vor, Sie und Ihr zweidimensionaler Freund hängen am Nordpol ab und Ihr Freund geht spazieren. Während Ihr Freund geht, wird er zunächst immer weniger in Ihrem visuellen Raum sowie in unserer gewöhnlichen Welt (obwohl er nicht so schnell abnimmt, wie wir es gewohnt sind). Dies liegt an der Tatsache, dass Ihr visueller Raum zwar zunimmt, Ihr Freund jedoch immer weniger Platz einnimmt:

Sobald ein Freund den Äquator passiert, passiert etwas Seltsames: Er scheint immer mehr zu wirken, je weiter er geht . Dies liegt daran, dass der Prozentsatz, den es in Ihrem visuellen Raum einnimmt, zunimmt:

Wenn Ihr Freund drei Meter vom Südpol entfernt ist, sieht er drei Meter von Ihnen entfernt aus:

Und wenn es den Südpol erreicht, kann es in alle Richtungen gesehen werden, sodass es Ihren gesamten visuellen Horizont ausfüllt:

Wenn sich am Südpol niemand befindet, ist Ihr visueller Horizont etwas noch Seltsameres: Sie selbst. Dies liegt daran, dass das von Ihnen ausgehende Licht durch die Kugel wandert, bis es zu Ihnen zurückkehrt.

Dies kann mit dem Leben in der dreidimensionalen Sphäre korreliert werden. Jeder Punkt auf der Drei-Kugel hat einen entgegengesetzten Punkt, und wenn sich dort ein Objekt befindet, sehen wir es als Hintergrund, als wäre es der Himmel. Wenn dort nichts ist, sehen wir uns stattdessen als Hintergrund - als ob unser Äußeres einem Ballon überlagert wäre, dann von innen nach außen gedreht und aufgeblasen, um ein ganzer Horizont zu werden.

Die Dreikugel ist ein grundlegendes Modell der sphärischen Geometrie, aber dies ist nicht der einzige derartige Raum. So wie wir flache Räume gebaut haben, indem wir ein Stück aus dem euklidischen Raum geschnitten und zusammengeklebt haben, können wir sphärische Räume bauen, indem wir ein geeignetes Stück aus drei Kugeln kleben. Jede dieser geklebten Formen, wie im Torus, hat die Wirkung eines „Labyrinths der Reflexionen“, aber in diesen sphärischen Formen gibt es nur eine begrenzte Anzahl von Räumen, durch die Sie gehen können.

Kann unser Universum kugelförmig sein?

Selbst die narzisstischsten Menschen können sich nicht als Kulisse des ganzen Nachthimmels vorstellen. Aber wie im Fall des flachen Torus bedeutet die Tatsache, dass wir kein Phänomen sehen, nicht, dass es nicht existieren kann. Der Umfang eines sphärischen Universums kann größer sein als die Größe des beobachtbaren Universums, wodurch der Hintergrund zu weit entfernt ist, um gesehen zu werden.

Im Gegensatz zum Torus kann das sphärische Universum jedoch durch rein lokale Messungen erfasst werden. Sphärische Formen unterscheiden sich vom unendlichen euklidischen Raum nicht nur in der globalen Topologie, sondern auch in der feinsten Geometrie. Zum Beispiel sind die Dreiecke aufgrund der Tatsache, dass die geraden Linien in der sphärischen Geometrie große Kreise sind, geschwollener als ihre euklidischen Gegenstücke, und die Summe der Winkel beträgt mehr als 180 Grad:

Tatsächlich ist die Messung kosmischer Dreiecke die Hauptmethode, mit der Kosmologen überprüfen, ob das Universum gekrümmt ist. Für jeden heißen oder kalten Punkt auf dem kosmischen Mikrowellenhintergrund sind sein horizontaler Durchmesser und sein Abstand von der Erde bekannt, die drei Seiten des Dreiecks bilden. Wir können den Winkel messen, in dem sich ein Punkt am Nachthimmel versteckt - einer der drei Winkel eines Dreiecks. Überprüfen Sie dann, ob eine Kombination aus Seitenlänge und gemessenem Winkel für eine flache, sphärische oder hyperbolische Geometrie geeignet ist (bei der die Summe der Winkel des Dreiecks mehr als 180 Grad beträgt).

Die meisten dieser Studien zeigen zusammen mit anderen Krümmungsmessungen, dass das Universum entweder flach oder sehr flach ist. Ein Forscherteam gab kürzlich bekannt, dass einige der Daten, die 2018 mit dem Planck-Weltraumteleskop erhalten wurden, auf die Existenz eines sphärischen Universums hinweisen. Andere Forscher wenden sich gegen diese Aussage und glauben, dass dies höchstwahrscheinlich ein statistischer Unfall ist.

Hyperbolische Geometrie

Im Gegensatz zu einer Kugel, die sich von selbst biegt, entfaltet sich die hyperbolische Geometrie nach außen. Dies ist die Geometrie von flexiblen Hüten, Korallenriffen und Sätteln. Das Grundmodell der hyperbolischen Geometrie ist der unendliche Raum, wie ein flacher euklidischer Raum. Da sich die hyperbolische Geometrie jedoch viel schneller als flach nach außen ausbreitet, gibt es keine Möglichkeit, auch nur eine zweidimensionale hyperbolische Ebene in einem gewöhnlichen euklidischen Raum zu platzieren, es sei denn, wir möchten ihre Geometrie verzerren. Hier ist beispielsweise die Vorstellung einer hyperbolischen Ebene, die als Poincare-Scheibe bekannt ist, verzerrt:

Aus unserer Sicht sehen die Dreiecke in der Nähe des Grenzkreises viel kleiner aus als in der Nähe des Zentrums, aber aus Sicht der hyperbolischen Geometrie sind alle Dreiecke gleich groß. Wenn wir versuchen würden, Dreiecke gleicher Größe herzustellen - zum Beispiel Dehnungsmaterial für unsere Scheibe zu verwenden und jedes Dreieck der Reihe nach zu vergrößern, von der Mitte aus -, würde unsere Scheibe wie ein flexibler Hut aussehen und sich immer mehr biegen Wir machten uns auf den Weg nach draußen. Wenn wir uns der Grenze nähern, wird diese Kurve immer unkontrollierbarer.

Unter dem Gesichtspunkt der hyperbolischen Geometrie ist der Grenzkreis unendlich weit von jedem internen Punkt entfernt, da Sie dazu unendlich viele Dreiecke schneiden müssen. Somit erstreckt sich die hyperbolische Ebene genau wie die euklidische Ebene in alle Richtungen bis ins Unendliche. Unter dem Gesichtspunkt der lokalen Geometrie unterscheidet sich das Leben in der hyperbolischen Ebene jedoch stark von dem, was wir gewohnt sind.

In der einfachen euklidischen Geometrie ist ein Kreis direkt proportional zu seinem Radius, in der hyperbolischen Geometrie wächst der Kreis im Vergleich zum Radius exponentiell. Wir können einen exponentiellen Cluster in der Masse der Dreiecke nahe der Grenze einer hyperbolischen Scheibe sehen.

Aufgrund dieser Funktion sagen Mathematiker gerne, dass es in einem hyperbolischen Raum leicht ist, sich zu verlaufen. Wenn Ihr Freund Sie im üblichen euklidischen Raum zurücklässt, wird er kleiner, aber dies geschieht langsam, weil Ihr visueller Kreis nicht so schnell wächst. Im hyperbolischen Raum wächst Ihr visueller Kreis exponentiell, so dass Ihr Freund bald auf einen exponentiell flachen Punkt komprimiert aussieht. Wenn Sie seine Route nicht sorgfältig verfolgt haben, wird es fast unmöglich sein, einen Weg zu ihm zu finden.

In der hyperbolischen Geometrie beträgt die Summe der Winkel eines Dreiecks weniger als 180 Grad. Beispielsweise haben die Dreiecke in unserer Poincare-Plattenkachel Winkel von 165 Grad:

Die Seiten dieser Dreiecke sehen nicht gerade aus, sondern nur, weil wir die hyperbolische Geometrie durch eine verzerrte Linse betrachten. Für einen Bewohner der Poincare-Scheibe sind diese Kurven gerade Linien, da der schnellste Weg von Punkt A nach Punkt B darin besteht, den Weg zur Mitte zu schneiden:

Es gibt einen völlig natürlichen Weg, ein dreidimensionales Analogon der Poincare-Scheibe zu erstellen - machen Sie einfach eine dreidimensionale Kugel und füllen Sie sie mit dreidimensionalen Formen, die werden weniger, wenn Sie sich der Grenzzone nähern, wie Dreiecke in der Poincare-Scheibe. Und genau wie in der ebenen und sphärischen Geometrie können wir eine Reihe anderer dreidimensionaler hyperbolischer Räume erzeugen, indem wir ein geeignetes Stück einer dreidimensionalen hyperbolischen Kugel ausschneiden und ihre Flächen kleben.

Kann unser Universum hyperbolisch sein?

Die hyperbolische Geometrie mit ihren schmalen Dreiecken und exponentiell wachsenden Kreisen entspricht nicht der Geometrie des Raums um uns herum. Wie wir bereits gesehen haben, deuten die meisten kosmologischen Messungen auf ein flaches Universum hin.

Gleichzeitig ist die Möglichkeit, dass wir entweder in einer kugelförmigen oder in einer hyperbolischen Welt leben, nicht ausgeschlossen, da kleine Teile dieser beiden Welten fast flach aussehen. Beispielsweise haben kleine Dreiecke in sphärischer Geometrie Winkel, die nur geringfügig mehr als 180 Grad betragen, und kleine Dreiecke in hyperbolischer Geometrie haben Winkel, die nur geringfügig kleiner als 180 Grad sind.

Es ist kein Zufall, dass die alten Leute glaubten, die Erde sei flach - die Krümmung der Erde war zu klein, um erkennbar zu sein. Je größer die kugelförmige oder hyperbolische Form ist, desto flacher ist jedes kleine Teil. Wenn unser Universum eine extrem große sphärische oder hyperbolische Form hat, kann der Teil, den wir beobachten können, so flach sein, dass seine Krümmung nur mit Hilfe von ultrapräzisen Instrumenten erfasst werden kann, die wir noch nicht erfunden haben.

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