Definieren von Punktwolken-Transformationsparametern

Formulierung des Problems

Betrachten Sie das Problem, den Drehwinkel und die Verschiebung einer Punktwolke zu ermitteln. Eine Punktwolke bedeutet eine Reihe von Punkten auf einer Ebene, die die relative Position voneinander während ihrer räumlichen Bewegung beibehalten.

Jene. Es gibt zwei Punktmengen: die Anfangswolke und die willkürlich im Raum transformierte Wolke (siehe Abb. 1). Jede Transformation einer Punktwolke im Raum kann als Rotation und Verschiebung interpretiert werden. Daher muss bestimmt werden, in welchem ​​Winkel die ursprüngliche Punktwolke gedreht werden muss und in welcher Entfernung sie von der ursprünglichen Punktwolke verschoben werden soll, damit dieselbe Punktwolke auf beliebige Weise konvertiert wird.

Feige. 1 Beispiel einer Punktwolke, auf die eine Drehung von 15 Grad angewendet wird, und ein Versatz entlang der X-Achse: 10, entlang der Y-Achse: 30

Algorithmus

1. Bestimmen des Versatzes der Punktwolke

, . . , .

, .

$x_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{x}}{N}; y_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{y}}{N}$

: (0;0) (10;30). , : 10, Y: 30.

2.

(. 2). , . 90 , 4 .

. 2

, . , , .

$$$\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy}\\ I_{yx} & I_{yy}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

, :

$$$I_{xx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)^2]}$
$$$I_{xy} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yy} = \sum_{n=1}^{N}{[(y - y_c)^2]}$

.

:
— : (33334 0; 0 11667), : (1; 0) (0; 1), 0 90 .
— : (31882.5 -54167.5; -54167.5 13118.4), (0.9659 -0.2588) (0.2588 0.9659), -15 75 .
, 15, 105, 195 285 . , 15 .

: . Matlab, .

. 3

. 4

. 5

Mit der oben beschriebenen Methode können Sie den Drehwinkel und den Versatz der ursprünglichen Punktwolke relativ zu einer anderen bestimmen. Was durch jede räumliche Bewegung der ursprünglichen Punktwolke erhalten wird. Darüber hinaus funktioniert diese Methode bei Vorhandensein eines kleinen Fehlers (Normalverteilung) auch stabil (siehe Abb. 3 und Abb. 5).

Diese Methode kann auch in der digitalen Bildverarbeitung verwendet werden, wenn der räumliche Standort eines Objekts bestimmt werden muss.

Die Hauptidee dieses Artikels ist, dass der Leser die beschriebene Methode sofort anwendet, wenn er jemals auf eine ähnliche Aufgabe stößt und keine Zeit damit verbringt.